(4)设函数f(1)有二阶连续的导数,r=√+y2,8xy=(),求9的 解因为 所以 =-三f(,=xr+2x-yr 利用对称性 +23 =f"()+f() 6)求直线1=0与5丝么:2y-1=3 x-y=0 的距离 4 解直线l4的对称式方程为4:x==三.记两直线的方向向量分别为 l1=(1,1,0),l2=(4,-2,-1),两直线上的定点分别为P(00.0)和P(2,1,3), a=PP2=(2,1,3) ×2=(-1-6).由向量的性质可知,两直线的距离 d (×2)_1-2+1-181_19 ④1+1+3638-V2 二(本题共15分)、设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数,并且 f"(x)>0,limf(x)=a>0,limf(x)=B<0,且存在一点x0,使得f(x0)<0 x→ 证明:方程∫(x)=0在(-∞,+∞)恰有两个实根 证1.由lmf(x)=a>0必有一个充分大的a>x,使得f(a)>0 f"(x)>0知y=f(x)是凹函数,从而f(x)>f(a)+f(a)x-a)(x>a) 当x→+∞时,f(+∞)+f(a)x-a)->+ 故存在b>a,使得 ∫(b)>f(a)+f(a)(b-a)>0 (6分)(4) 设函数 f ( t )有二阶连续的导数， 2 2 r xy = + ， 1 gxy f (, ) () r = ，求 2 2 2 2 . g g x y ∂ ∂ + ∂ ∂ 解    因为 , r xr y x ryr ∂ ∂ = = ∂ ∂ ，所以 3 1 ( ) g x f x r r ∂ =− ′ ∂ ， 2 2 22 2 6 5 12 1 ( ) ( ). gx xy f f x rr r r ∂ − = + ′′ ′ ∂ 利用对称性， 2 2 2 24 3 1 111 () () g g f f x y r rr r ∂ ∂ += + ′′ ′ ∂ ∂ (5) 求直线 1 0 : 0 x y l z ⎧ − = ⎨ ⎩ = 与直线 2 2 1 : 4 2 x yz l 3 1 − − − = = − − 的距离. 解    直线 的对称式方程为 1 l 1 : 110 x y z l = = . 记两直线的方向向量分别为 ， ，两直线上的定点分别为 和 ， . 1 l = (1 0) G a P = = G JJ ,1, 1 2 P JJG 2l = −− (4, 2, 1) JG (2,1,3) 1P(0,0,0) 2 P (2,1,3) 1 2 l l × =− − ( 1,1, 6) G JG . 由向量的性质可知，两直线的距离 1 2 1 2 ( ) | 2 1 18 | 19 1 1 1 36 38 2 al l d l l ⋅ × −+− = = == × + + G G JG G JG 9 二（本题共 15 分）、 设函数 在xf )( −∞,+∞)( 上具有二阶导数，并且 f x ′′( ) 0, > lim ( ) 0 x f x α →+∞ ′ = > ， limx f x( ) β 0 →−∞ ′ = < ，且存在一点 ，使得 .    0 x 0)(xf 0 < 证明：方程 xf = 0)( 在 恰有两个实根 ,+∞−∞ )( . 证 1.    由 lim ( ) 0 x f x α →−∞ ′ = > 必有一个充分大的 > xa 0 ，使得 f a′() 0 > . f x ′′() 0 > 知 是凹函数，从而 y fx = ( ) f ( ) ( ) ( )( ) ( ) x fa f a x a x a >+ − > ′ 当 x → +∞时， f fax a ( ) ( )( ) +∞ + − → +∞ ′ . 故存在 ，使得 > ab                fb fa f a b a ( ) ( ) ( )( ) 0 > + −> ′                    ………………    （6 分）    2