Heft z1 SOMMERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle 379 namlich auf die Einfuhrung der freien Weglange neuen wellenmechanischen Auffassung erhalte ils einer geometrischen, durch die Konfiguration sie konnen von den Rontgen wellen direkt auf die des Metallgitters gegebenen GroBe, und habe eine Elektronenwellen ubertragen werden physikalische Vertiefung dieses Begriffes im Sinne Die Forderung, dab die verteilung der Elek der Wellenmechanik gefordert. Das ist durch eine tronen auf die verschiedenen Winkel statistisch oeben fertiggestellte Arbeit von W. V. Houston stationar sein solle, trotz der fortgesetzten Streu- wirklich geleistet worden mit dem Ergebnis, daB ungseffekte, welche Elektronen aus einer Richtung in weitem Umfange befriedigend gelost erscheinen, bedin andere ablenken, liefert eine Gleichgewichts nunmehr die Probleme der elektrischen Leitung in eine die mit derjenigen Die Methode von HOUSTON besteht in der ber- culare Bewegung verglichen werden kann. Dies tragung von Vorstellungen und Formeln, die ur- Vergleich ermoglicht es, das wellenmechanisch spruinglich fuir ROntgenstrahlen entwickelt waren, Analogon der freien weglange eindeutig zu defi- auf die Bewegung der Metallelektronen; sie legt also nieren. Die freie Weglange ergibt sich so als ebenso wie die neuesten Arbeiten uber, Beugungs- Funktion der Geschwindigkeit v des Elektrons, ringe" von Elektronenstrahlen Zeugnis ab von des Atomgewichtes a des Metallions, der Metall der Fruchbarkeit der wellenmechanischen Auf- dichte d, der von DEBYE eingefuhrten charakte fassung corpuscularer Vorgange, kurz gesagt, von ristischen Temperatur e fir die Gitterschwingu der. Wellennatur des Elektrons gen des Metalls und der absoluten Temperatur T In dieser neuen Theorie der freien Weglange schlieBlich hangt sie ab von dem verhaltnis der ed das Atom(besser gesagt das Metallion ein- Ausdehnung der Elektronenatmosphare im'Metall schlieBlich seiner durchschnittlichen Umgebung ion, gemessen durch die schon genannte Lange b, von freien Elektronen) nicht mehr gedacht als zur Wellenlange 2, die nach DE BRoGLIe der harte Kugel von definiertem Radius, sondern als Elektronengeschwindigkeit entspricht. Die Formel Kern mit elektrischer Atmosphare, deren Abnahme lautet des wasserstoffatoms im Grundzustande nach- (I3) Z= Const. 43202 dH(c)更(x) gebildet wird. Als charakteristischer Parameter Die Funktionen H, g und ihre Argumente c und r tritt darin diejenige Lange b auf, in der die Dichte sind folgendermaBen definiert: der Atmosphare nach auBen hin um e abnimmt b kann bezeichnet werden als effektive Ausdeh (-/(a+0,则/a nung des Atoms. An einer solchen Atmosphare (14) wird die de Broglie-Welle, welche das freie Elektro reprasentiert, gestreut (gebeugt), d. h. aus der einem angebbaren betrage fur jeden ablenkungs. Die Konstante in (13) hat den Wert 24e4La winkel,Dies liefert den einen Faktor des Beugungs- (wie k= BOLTZMANNsche Konstante, e= Elektro phanomens, optisch gesprochen, die Beugung am nenladung, L= LoScHMIDsche Zahl einzelnen s bjekstc de s iczeitenr gitter rieh Die Anzahl der freien Elektronen pro liche Punkt in der HoUSTONschen Theorie ist nun ersten Note des Verf. Wenn man sie z. B bei aber der, daB die abgelenkten Elektronenwellen wertigen Ionen gleich z setzen wurde, so wurde miteinander interferieren, ahnlich wie die ROntgen- in Gl(I3) der Nenner z hinzutreten strahlen im Krystall. Dieser Umstand liefert den Zur bestimmung der Leitfahigkeit o komm zweiten Faktor des Beugungsphanomens, optisch es, wie oben hervorgehoben, nur auf den Wert gesprochen die Beugung, die von der regelmaBigen von i fur die Halbwertsgeschwindigkeit v an Anordnung der beugenden Elemente(z, B. der Die Temperaturabhangigkeit von o ist nach Gl(Ir) Aufeinanderfolge der Gitterstriche) herruhrt Gegen- dieselbe wie die von L (o). Die Temperaturabhangig uber dem typischen Laue-Phanomen besteht dabei der folgende Unterschied: Die de Broglie-Weller keit des spe lange des Elektrons ist (vgl. oben) groBer als der also direkt dargestellt durch die Funktion Atomabstand der Metallionen, so daB sich diskrete aus GL(I4). Ist a<I, also T>e, so folgt ar Interferenzstrahlen am idealen Gitter im all- der Definition von (a) unmittelbar emeinen nicht ausbilden werden. Aber es bleibt die kontinuierliche Streuung, die von der ther 中p(x) mischen Unordnung des Gitters herruihrt und die mit der Temperatur zunimmt. Diese Streuung Fir hohe Temperaturen ergibt ich so die wohl- ist von den LAUE-Aufnahmen her als kontinuier- bekannte Proportionalitat zwischen Widerstand und licher Untergrund bekannt und wurde von DEBYE absoluter Temperatur. Das bisher unerreichte Ziel im Jahre I9I4 nach der gewohnlichen Statistik der fruheren Theorien, dieses Gesetz zu erklaren, berechnet. Die DEBYEschen Formeln bleiben in wird also auf wellenmechanischem Wege zwanglosHeft 21. ] 25. 5. I928J SOMMERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle. n~mlich auf die Einffihrung der freien %Vegl~nge als einer geometrischen, durch die Konfiguration des Metatlgitters gegebenen Gr6ge, und habe eine physikalische Vertiefung dieses Begrilfes im Sinne der Wellenmechanik gefordert. Das ist durch eille soeben fertiggestellte Arbeit yon W. V. HOUSTON wirklich geleistet worden mit dem Ergebnis, dab llunmehr die Probleme der elektrischen Leitung in weitem Umfange befriedigend gel6st erscheinen. Die Methode yon HOUSTOX besteht in der 13ber￾tragung von Vorstellungen und Formeln, die ur￾sprfinglictl ffir 1R6ntgenstrahlen entwickelt warell, auf die Bewegung der Metallelektronen; sie legt also ebenso wie die neuestell Arbeiten fiber ,,Beugungs￾tinge" yon Elektronenstrahlen Zeugnis ab yon der Fruchbarkeit der wellenmechanischen Auf￾fassung eorpuscul~rer Vorg~nge, kurz gesagt, yon der ,,Wellennatur des Elektrons". In dieser neuen Theorie der freien \¥egl~nge wird das Atom (besser gesagt das Metallion eill￾schlieBlich seiner durchschllittlichen Umgebung yon freien Elektronen) nicht mehr gedacht als harte Kugel yon definiertem Radius, sondern als Kern mit elektrischer Atmosphere, deren Abnahme naeh auBen der SCHR6DIN~E~schen Eigenfunktion des VVasserstoffatoms im Grundzustande nach￾gebildet wird. Als charakteristiseher Parameter tritt darin diejenige L~llge b auf, in der die Dichte I der Atmosphlire nach auBen hin um e abllimmt. b kanll bezeichnet werden als effektive Ausdeh￾hung des Atoms. An einer solchen Atmosph~Lre wird die de Broglie-Welle, welche das freie Elektron reprXsentiert, gestreut (gebeugt), d. h. aus der urspriinglichen Richtung abgetenkt, lind zwar mit einem angebbaren Betrage Ifir jeden Ablenkungs￾winkel. Dies liefer£ dell einen Faktor des Beugungs￾pla~nomens, optisch gesprochen, die Beugung am einzelnen Objekt (dem einzelnen Gitterstrich im Falle eines optischen Strichgitters). Der wesellt￾liche Punkt in der HousToxschen Theorie ist nun aber der, dab die abgelenkten EIektronenwelten miteinander interferieren, ~hnlich wie die R6ntgen￾strahlen im Krystall. Dieser Umstand liefert den zweiten Faktor des Beligungsph~nomells, optisch gesprochen die t3eugung, die yon der regelmXfligell Anordnung der beugenden Elemente (z. B. der Aufeinanderfolge der Gitterstriche) herrtihrt. Gegen￾fiber dem typischen Laue-Ph~nomen besteht dabei der folgende Unterschied: Die de Broglie-Wellell￾l~nge des Elektrons ist (vgl. oben) gr6ger als der Atomabstand der Metallionen, so dab sich diskrete Interferenzstrahlen am idealen Gitter im all￾gemeillen nicht ausbilden werden. Aber es bleibt die kolltinuierliche Streuung, die roll der ther￾misehell Unordnung des Gitters herriihrt u~d die mit der Temperatur zunimmt. Diese Streuung ist roll den LAtJI~-Aufnahmen her Ms kolitinuier￾licher Untergrund bekannt und wurde yon DEBYE im Jahre I914 naeh der gewShntichell Statistik berechnet. Die DEBYEschen Formeln bleiben in ihrer Anwendung auf das Metallgitter auch in der 379 lleuen wellenmeehanischen Auffassullg erhalten; sie kSnnen yon den RSntgenwellen direkt auf die Elektrolienwellen fibertragen werdell. Die Forderulig, dab die Verteilung der Elek￾trolien auf die versehiedeneli Wilikel statistisch stationer sein solle, trotz der fortgesetzten Streu￾ungseffekte, welche Elektronen aus einer Richtung ill eine andere ablellken, liefert eine Gleichgewichts￾bedingung, die mit derjenigen ffir die corpus￾cutare Bewegung verglichen werden kann. Dieser Vergleich erm6glicht es, das wellenmechanische Analogon der ]reien WegRgnge eindeutig zu deft￾nieren. Die freie Wegl~nge ergibt sich so Ms Fuliktion der Geschwindigkeit v des Elektrons, des Atomgewichtes A des Metallions, der Metall￾diehte d, der voli DEBYE eingefiihrten charakte￾ristischen Temperatur O ffir die Gitterschwingun￾gen des Metalls und der absoluten Temperatur T; schlieBlich h~ngt sie ab yon dem VerhAltnis der Ausdehnung der Elektronenatmosph~tre imtMetall￾ion, gemessell durch die scholi gellannte L~nge b, zllr Wellenl~nge 2, die naeh I)~ BROGLIE der Elektronengeschwindigkeit entspricht. Die Formel lautet A2 0v ~ (I3) I =: Const aH(~) ~(x)" Die Fullktionen H, ~ ulld ihre Argumelite c ulid x silld folgendermaBen definiert: 1 z I H(~) - f --u~-~e ~(x) = ~ f ~d~ -J(u + ~)~ ' -~je~z 1' (I4) 0 ~. 2 @° k Die Konstante in (13) hat den Wert 2--4~e4j5 ~ (~-ie /~ = BOLTZMANNsche Konstallte, e = Elektro￾nenladung, L = LOSCI~MIDSChe Zahl). Die Anzahl der freien Elektronen pro Atom ist dabei gleich I angenommen, ~hlllich wie in der ersten Note des Verf. Wenn mall sie z. B. bei mehr￾wertigen Ionen gleich z setzen wfirde, so wfirde in G1. (13) der Nenner z 2 hinzutreten. Zur Bestimmung der Leitf~higkeit o kommt es, wie oben hervorgehoben, nut auf den Wert yon I fiir die Halbwertsgeschwindigkeit ~ all. Die Temperaturabh~ngigkeit yon o ist nach G1. (I I) dieselbe'~wie[die yon I (~). Die Temperaturabh~ngig￾I " keit des spezifischen Widerstandes e =~- wird also direkt dargestMtt dutch die Fullktion ~ (x} aus GI. (14). Ist x~I, also T>>O, so folgt aus der Definition roll #(x) unmittelbar 1 T ~(x) = x- = ~" _Fi~r hohe Temperaturen ergibt sich so die wohl￾bekannte ProportionalitSt zwischen Wide~'stand und absoluter Te.mperatur. Das bisher unerreichte Ziel der frfiheren Theorien, dieses Gesetz zu erkli~ren, wird also auf wellenmechanischem Wege zwanglos, ohne kfillstliehe Almahmen gewonnen. Ist anderer-