《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 及凑微分或令y"=z解伯努利方程。 教学要求和注意点 1、知道解一阶线性微分方程的常数变易法,并掌握一阶非齐次线性方程 的通解公式。 2、知道一阶非齐次线性方程的通解为对应的齐次方程的通解和非齐次方 程的一个特解之和 3、齐次方程与线性齐次方程的作用 第五节全微分方程 、内容要点 全微分方程的定义及其条件,解的表达式常见的积分因子。 本单元的讲课提纲 1、全微分方程的解法关键在于首先将方程写成 P(x, y)dx+o(x, y)dy=0 验证 如果成立,则可把上式写成d=Px+h=0解为U(x,y)=C 求U(x,y)有下列三种方法 1)线积分法2)偏积分法3)分组观察凑全微分法 2、若P(x)+Qx,y)=0中=2,则可以寻求一个积分因子 山(x,y),使得(P)=(1Q),即存在U(x,y)使得dU=m(Px+Qhy)=o从 而U(x,y)=C是通解 二、教学要求和注意点 判断和求解全微分方程的方法;寻找积分因子的分组观察法 第六节可降阶的高阶微分方程 、内容要点 可降阶的高阶微分方程的三种类型:ym=f(x),F(x,y,y")=0 F(y,y,y")=0,找出解的表达式及解法。 本单元的讲课提纲: 1、关于高阶微分方程的解法 求解的思路是通过变量代换把高阶方程的求解化为较低阶方程求解,教材 介绍了三种可降阶方程的类型,对于不属于这三类方程的特殊高阶方程有时也 能通过换元或者全微分等手段变成这三种类型进行求解。 =f(x) 只需逐步积分即可求解,在求积分过程中每次都需增加一个常数,最后的 解应包含n个常数 3、可降阶的二阶微分方程 通常的二阶微分方程为F(y,y,y")=0,有四个变数,仅当缺少x或y 第十二章微分方程第4页共6页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第十二章微分方程第 4 页 共 6 页 及凑微分或令 = −n y 1 z 解伯努利方程。 二、教学要求和注意点 1、知道解一阶线性微分方程的常数变易法，并掌握一阶非齐次线性方程 的通解公式。 2、 知道一阶非齐次线性方程的通解为对应的齐次方程的通解和非齐次方 程的一个特解之和 3、齐次方程与线性齐次方程的作用 第五节 全微分方程 一、内容要点： 全微分方程的定义及其条件，解的表达式常见的积分因子。 本单元的讲课提纲 1、全微分方程的解法关键在于首先将方程写成 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 验证 x Q y P   =   如果成立，则可把上式写成 du = Pdx + Qdy = 0 解为 U(x, y) = C , 求 U(x, y) 有下列三种方法： 1）线积分法 2）偏积分法 3）分组观察凑全微分法 2、若 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 中 x Q y P   =   ，则可以寻求一个积分因子 (x, y) ，使得 ( ) ( Q) x P y     =   ，即存在 U(x, y) 使得 dU = (Pdx + Qdy) = o 从 而 U(x, y) = C 是通解。 二、教学要求和注意点 判断和求解全微分方程的方法；寻找积分因子的分组观察法； 第六节 可降阶的高阶微分方程 一、内容要点： 可 降 阶 的 高 阶 微 分 方 程 的 三 种 类 型 ： ( ), ( ) y f x n = F(x, y  , y ) = 0, F( y, y  , y ) = 0 ，找出解的表达式及解法。 本单元的讲课提纲： 1、关于高阶微分方程的解法 求解的思路是通过变量代换把高阶方程的求解化为较低阶方程求解，教材 介绍了三种可降阶方程的类型，对于不属于这三类方程的特殊高阶方程有时也 能通过换元或者全微分等手段变成这三种类型进行求解。 2、 ( ) ( ) y f x n = 只需逐步积分即可求解，在求积分过程中每次都需增加一个常数，最后的 解应包含 n 个常数。 3、可降阶的二阶微分方程 通常的二阶微分方程为 F( y, y  , y ) = 0 ，有四个变数，仅当缺少 x或y