15 正交函数及其物理应用 在球坐标和柱坐标系, Helmholtz方程分离变量,得到微分方程,分别为 V2vmG,Bd)+1v(,.6)=0m(=B Φ"+yΦ=0 2P)+r2-+1)R=0 2v(p,,)+Aw(p,,)=0m,=)=p)(的)z() +HZ=0 +y=0 P2R"+pR+a-H)P2-xR=o 前面我们较为详细地讨论了两个蓝色的方程,分别对应于 Legendre方程与Bess方程 其中紫色显示的是由边界条件或自然条件或周期条件确定的分离变量常数 物理上的方程当然不局限于 Helmholtz方程。其它方程类似地也会遇到一个 由边界条件或自然条件或周期条件来确定(分离变量)常数的常微分方程 这类方程有一些共同的特征:具有生成函数、递推关系、正交、完备、微分积分表示等等。 数学家们总喜欢归纳成一类数学问题,这就是 Sturn- Liouville问题。 为此,在讨论其它正交函数之前,我们先讨论Stum- Liouville问题及其解的一般性质 151 Sturm- orville方程 具有以下形式的常微分方程,称为Stum- Liouville方程 P(x)--q(x)y+aw(x)y=0 其中:A为待定常数, 数y(x)定义于a≤x≤b并且在端点a,b满足某种边条(Sum- Liouville边条,以下会讨论) 由边条确定常数λ的允许取值(以免微分方程仅有平庸解,即0解) 例1. Legendre方程 +∥+1)y=0 dx 该方程显然是 Sturm- Liouville方程的特殊情况,相当于Surm- Liouville方程中 p(x)=1-x2,q(x)=0,w(x)=1,A=+1) 目例2. Bessel方程15 正交函数及其物理应用 在球坐标和柱坐标系，Helmholtz方程分离变量，得到微分方程，分别为 ∇2w(r, θ, ϕ) + λ w(r, θ, ϕ) = 0 w(r,θ,ϕ)=R(r) Θ(θ) Φ(ϕ) Φ″ + γ Φ = 0 1 sin θ  θ (sin θ Θ′ ) + l(l + 1) − γ sin2 θ Θ = 0  r r2 R′  +λ r2 − l(l + 1) R = 0 ∇2w(ρ, ϕ, z) + λ w(ρ, ϕ, z) = 0 w(ρ,ϕ,z)=R(ρ) Φ(ϕ) Z (z) Z″ + μ Z = 0 Φ″ + γ Φ = 0 ρ2 R″ +ρ R′ +(λ − μ) ρ2 −γ R = 0 前面我们较为详细地讨论了两个蓝色的方程，分别对应于 Legendre 方程与Bessel方程。 其中紫色显示的是由边界条件或自然条件或周期条件确定的分离变量常数。 物理上的方程当然不局限于Helmholtz方程。其它方程类似地也会遇到一个 由边界条件或自然条件或周期条件来确定 （分离变量 ） 常数的常微分方程 这类方程有一些共同的特征：具有生成函数、递推关系、正交、完备、微分积分表示等等。 数学家们总喜欢归纳成一类数学问题，这就是 Sturm-Liouville 问题。 为此，在讨论其它正交函数之前，我们先讨论 Sturm-Liouville 问题及其解的一般性质。 15.1 Sturm-Liouville方程 具有以下形式的常微分方程，称为 Sturm-Liouville 方程  x p(x) y x − q(x) y + λ w(x) y = 0 其中：λ 为待定常数， 函数 y(x) 定义于 a ≤ x ≤ b 并且在端点 a, b 满足某种边条 （Sturm − Liouville 边条，以下会讨论 ） 由边条确定常数 λ 的允许取值 （以免微分方程仅有平庸解 ，即 0 解） ☺ 例 1. Legendre方程  x 1 − x2 y x + l(l + 1) y = 0 该方程显然是Sturm − Liouville 方程的特殊情况 ，相当于Sturm − Liouville 方程中 p(x) = 1 − x2, q(x) = 0, w(x) = 1, λ = l(l + 1) ☺ 例 2. Bessel方程