2 z15anb x2y+xy+(2-m2)y=0 好像属Sum- Liouville方程,怎么没有“分离变量”常数?(m不由此方程确定) 再回头看该方程从分离变量中得到的原始形式 d[ dR P-R+pR+ 匕较Sum- Liouville方程 gx)y+Aw(x)y=0 原来对应于:p)=x9s勿 (x)=x,A=a2果然逃不过Surm- liouville 物理上的许多问题,都可以化为 Sturm-Liouville方程,d|px)421-y(x)y+A(x)y=0 为简化起见,把它改写成: d Cb)=-wby),其中:C= qx)是个算符。 这种形式看起来似乎很爽,特像量子力学。特别是将函数yx)写成U)形式 这个形式看起来怎么有点眼熟,试着令w=-1看看—原来是个本征值问题。 这就对了,我们已把 Sturm- Liouville方程写成:广义本征值问题的形式 ——怪不得我们把它称为微分方程的本征值问题 满足 Cbm)=-λmwbm) 的非平庸函数bm)=ym(x)称为 Sturm-Liouville本征值问题中对应于本征值m的本证函数 现在,我们就可证明在一定条件下,Surm- Liouville方程对应于不同本征值的本证函数正交。 证明:出发点,当然是Surm- Liouville方程 Llm)=-lm 1 vm) w(x)ym=0 (1) gx)yn+An w (x)yu=0 Wn-p(x) -am -an)w(x)ym yn 两边同时积分,并利用分部积分 dx=lyn p(x) 4[-C4a 如果yn,ym满足适当的边界条件(上式左边为0),则有 C"ax)=0一SmL算符等不问本征值的木证函数正交 其中:v(x)称为权函数 那么,什么条件才能保证上式中紫色部分为0? n plr) m p(r) ar=0?? Surm- Liouville边条x2 y′′ + x y + x2 − m2 y = 0 ⟹  x x y x + x − m2 x y = 0 好像属Sturm − Liouville 方程，怎么没有 “分离变量 ” 常数？（m 不由此方程确定 ） 再回头看该方程从分离变量中得到的原始形式 ： ρ2 R″ + ρ R′ + (λ − μ) α2 ρ2 − m2 R = 0 ⟹  ρ ρ R ρ + α2 ρ − m2 ρ R = 0 比较Sturm − Liouville 方程：  x p(x) y x − q(x) y + λ w(x) y = 0 原来对应于 ：p(x) = x, q(x) = m2 x , w(x) = x, λ = α2 果然逃不过Sturm − Liouville 物理上的许多问题，都可以化为 Sturm-Liouville 方程：  x p(x) y x  − q(x) y + λ w(x) y = 0。 为简化起见，把它改写成： ℒ y〉 = −λ w y〉, 其中：ℒ =  x p(x)  x − q(x) 是个算符 。 这种形式看起来似乎很爽，特像量子力学。特别是将函数 y(x) 写成 y〉 形式。 这个形式看起来怎么有点眼熟，试着令 w = −1 看看 —— 原来是个本征值问题。 这就对了，我们已把Sturm-Liouville 方程写成：广义本征值问题的形式 —— 怪不得我们把它称为微分方程的本征值问题。 满足 ℒ ym〉 = −λm w ym〉 的非平庸函数 ym〉 = ym(x) 称为Sturm-Liouville本征值问题中对应于本征值 λm 的本证函数。 现在，我们就可证明在一定条件下，Sturm-Liouville 方程对应于不同本征值的本证函数正交。 a b ym(x) yn(x) w(x) x = 0 if λm ≠ λn 证明：出发点，当然是Sturm − Liouville方程 ℒ ym〉 = −λm w ym〉 ⟹  x p(x) ym x − q(x) ym + λm w(x) ym = 0 (1)  x p(x) yn x − q(x) yn + λn w(x) yn = 0 (2) (1)×yn − (2)×ym 得： yn  x p(x) ym x − ym  x p(x) yn x = −(λm − λn) w(x) ym yn 两边同时积分 ，并利用分部积分 ：a b yn  x p(x) ym x x = yn p(x) ym x a b − a b p(x) yn x ym x x 得： yn p(x) ym x − ym p(x) yn x a b = −(λm − λn) a b w(x) ym yn x 如果 yn, ym 满足适当的边界条件 （上式左边为 0），则有： a b w(x) ym yn x = 0 —— Sturm − Liouville 算符不同本征值的本证函数正交 其中：w(x) 称为权函数 那么，什么条件才能保证上式中紫色部分为 0？ yn p(x) ym x − ym p(x) yn x a b = 0 ？？—— Sturm–Liouville 边条 2 z15a.nb