也即确保Surm- Liouville算符不同本征值的本证函数正交? 1.最简单的,是问题在两端点a,b满足以下三者之 a)=y(b)=0 Dirichlet齐次边条 ya)=y(b)=0 Neumann齐次边条 y(a)+ay(a)=y(b)+By(b)=0 Robin齐次边条 证明 这三类齐次边条可写成: ym(a)+aym(a)=0 ayn(a)+a,yn(a)=0 这是一个关于(a1,a2)的二元一次方程组,a1,a2不同时为0 故:|a(a)ya ym(a) ym l=0=(nyom-yom =0满足Stum- Liouville边条 2.当然,周期边条也行 且p(a)=p(b) 3.“还有还有,那梦中的橄榄树”:自然边条 不过,这时x=a,b是Stum- Liouville方程: p(r) g(x)y+ Aw(x)y=0 的奇点—不能保证方程的解yx)在端点一定有限 此需要自然边界条件才能确定本征值。 Legendre方程就属此类 通常,若a,b为有限,由以上这些边界条件确定的本征值构成半无限的可数集合 可数集合:集合中的元素能与正整数或正整数的一个子集建立一一对应关系。 有限个元素的集合一定是可数集合,有理数构成的集合也是可数集合 形象一点(不那么严谨)地说:就是本征值是分立的。 如 Legendre方程中/取正整数,又如Bese方程中取 Bessel函数的根(也是分立的) 数学上还可以证明 Sturn- Liouville算符构成区域a≤x≤b内分段连续函数f(x)正交完备归一的基函数 f(x)=>cn]n(x), cn=f(yn(odr 级数:Scmy(x)平均收敛于f(x,即满足 f(x)->cn,n(x) dx=0 换言之,f(x)≠Scny()的点构成的集合的测度为0 ■关于测度的讨论:U(x)Pdx=0是否等价于f(x)=0? 假设函数f(x)定义于闭区间[0,1,f(x)= 当x为有理数时 0当x为无理数时 然,f(x)不恒等于0 f(x)dx=?也即确保 Sturm-Liouville 算符不同本征值的本证函数正交? 1. 最简单的,是问题在两端点 a, b 满足以下三者之一: y(a) = y(b) = 0 Dirichlet 齐次边条 y′ (a) = y′ (b) = 0 Neumann 齐次边条 y(a) + α y′ (a) = y(b) + β y′ (b) = 0 Robin 齐次边条 证明 这三类齐次边条可写成 : α1 ym(a) + α2 ym ′ (a) = 0 α1 yn (a) + α2 yn ′ (a) = 0 这是一个关于 (α1, α2) 的二元一次方程组 ,α1, α2 不同时为 0 故: ym(a) ym ′ (a) yn (a) yn ′ (a) = 0 ⟹ (yn ym ′ − ym yn ′ ) x=a = 0 满足 Sturm–Liouville 边条 2. 当然,周期边条也行: y(a) = y(b) y′ (a) = y′ (b) 且 p(a) = p(b) 3. “还有还有,那梦中的橄榄树”:自然边条 p(a) = p(b) = 0, 不过,这时 x = a, b 是Sturm − Liouville 方程: x p(x) y x − q(x) y + λ w(x) y = 0 的奇点—— 不能保证方程的解 y(x) 在端点一定有限 因此需要自然边界条件才能确定本征值 。Legendre方程就属此类 。 通常,若 a, b 为有限,由以上这些边界条件确定的本征值构成半无限的可数集合。 可数集合:集合中的元素能与正整数或正整数的一个子集建立一一对应关系。 有限个元素的集合一定是可数集合 ,有理数构成的集合也是可数集合 。 形象一点 (不那么严谨 ) 地说:就是本征值是分立的 。 如Legendre方程中 l 取正整数 ,又如 Bessel方程中取 Bessel函数的根 (也是分立的 )。 数学上还可以证明: Sturm − Liouville 算符构成区域 a ≤ x ≤ b 内分段连续函数 f (x) 正交完备归一的基函数 ,即: f (x) = n=0 ∞ cn yn(x), cn = a b f (t) yn(t) t 级数: n=0 ∞ cn yn(x) 平均收敛于 f (x),即满足: lim N∞a b f (x) − n=0 N cn yn(x) 2 x = 0 换言之, f (x) ≠ n=0 ∞ cn yn(x) 的点构成的集合的 测度为 0 ◼ 关于测度的讨论:a b f (x) 2 x = 0 是否等价于 f (x) = 0? 假设函数 f (x) 定义于闭区间 [0, 1],f (x) = 1 当 x 为有理数时 0 当 x 为无理数时 显然,f (x) 不恒等于 0 0 1 f (x) x = ? z15a.nb 3