Rieman积分:不存在 上积分:f(x)dx=)△ r maxl(x)x≤x≤x+△x 下积分:f(x)dx=∑△xmin(x)x≤x≤x+△x 上下积分不相等,积分不存在。 Lebesgue积分:存在,积分值为0,因为f(x)≠0的点构成的集合的测度为0 既然f(x)仅在有理数上为1,就可以按以下做法,将这些函数值不为0的点都覆盖住 任取一个宽度为ε的小纸片,对第一个f(x)≠0的点撕下一半盖住 再撕一半盖住第二个f(x)≠0的点,可以一直做下去,盖住所有fx)≠0的可数点集 如此,我们只用一张宽度为ε的小纸片,盖住了所有f(x)≠0的点 而这张小纸片的宽度ε可以任意小,因此其测度为0 因此 Lebesgue积分为0 dx=0表明 f(x)=)cny()并非在a≤x≤b区间上的每一点都成立,但f(x)≠)cmy(x)的点集测度为0 1. Sturm-Liouville算符的自伴性及其性质 若实函数,|a),l)满足 Sturm- Liouville边条: p(x),-up(x),=0 定义两函数的内积为 ul)≡|ax)v(x)dx 观察:(uC1n),注意这里算符作用于它右边的函数且C=ap(x)a--q(x) uLLv= u(x)Lr(x)dx= u(x)-lp(x) u(x)q(r)r(x)d dla dux) x)q(x)u(x)dx m- Liouville边条 v(x)ux)dx=(valu) 故:Sum- Liouville算符C是自伴的( self-adjoint),称为自伴算符 若la,l)为复函数,定义内积: l)≡|rx)n(x)dx 若复算符H满足 d时C)a=mpa 则称算符%H是厄米算符 实函数的自伴算符是厄米算符的特殊形式。因而厄米算符的性质,自伴算符也都满足。 数学上可以证明:厄米算符,有以下性质 1.本征值都是实的Rieman 积分：不存在 上积分： f (x) x =  k Δxi max[f (x)] xi ≤ x ≤ xi + Δxi = 1 下积分：  f (x) x =  k Δxi min[f (x)] xi ≤ x ≤ xi + Δxi = 0 上下积分不相等 ，积分不存在 。 Lebesgue 积分：存在，积分值为 0，因为 f (x) ≠ 0 的点构成的集合的测度为 0。 既然 f (x) 仅在有理数上为 1，就可以按以下做法 ，将这些函数值不为 0 的点都覆盖住 任取一个宽度为 ε 的小纸片 ，对第一个 f (x) ≠ 0 的点撕下一半盖住 ， 再撕一半盖住第二个 f (x) ≠ 0 的点，可以一直做下去 ，盖住所有 f (x) ≠ 0 的可数点集 如此，我们只用一张宽度为 ε 的小纸片 ，盖住了所有 f (x) ≠ 0 的点。 而这张小纸片的宽度 ε 可以任意小 ，因此其测度为 0。 因此 Lebesgue 积分为 0。 综上： lim N∞a b f (x) −  n=0 N cn yn(x) 2 x = 0 表明 f (x) =  n=0 ∞ cn yn(x) 并非在 a ≤ x ≤ b 区间上的每一点都成立 ，但 f (x) ≠  n=0 ∞ cn yn(x) 的点集测度为 0 。 1. Sturm-Liouville 算符的自伴性及其性质 若实函数，u〉, v〉 满足Sturm–Liouville 边条： v p(x) u x − u p(x) v x a b = 0 定义两函数的内积为： 〈u v〉 ≡ a b u(x) v(x) x 观察：〈u ℒ v〉，注意这里算符作用于它右边的函数且 ℒ =  x p(x)  x  − q(x) 〈u ℒ v〉 ≡ a b u(x) ℒ v(x) x = a b u(x)  x p(x) v(x) x x − a b u(x) q(x) v(x) x = − p(x) v u x − p(x) u v x a b Sturm–Liouville 边条 + a b v(x)  x p(x) u(x) x x − a b v(x) q (x) u(x) x = a b v(x) ℒ u(x) x = 〈v ℒ u〉 故：Sturm–Liouville算符 ℒ 是自伴的 (self-adjoint)，称为自伴算符 若 u〉, v〉 为复函数，定义内积： 〈u v〉 ≡ a b u*(x) v(x) x 若复算符 ℋ 满足 u ℋ v = v ℋ u * 即：a b u*(x) ℋ v(x) x = a b v(x) ℋ* u* (x) x 则称算符ℋ 是厄米算符。 实函数的自伴算符是厄米算符的特殊形式。因而厄米算符的性质，自伴算符也都满足。 数学上可以证明：厄米算符，有以下性质 1. 本征值都是实的 4 z15a.nb