。100 北京科技大学学报 第31卷 工程应用25q 在内侧塑性变形区有o>o9,存在边界条件 o,(R)=F/(BR方在外侧塑性变形区则有o,<og, 3基于一般板弯曲理论的解析分析方法及 模型 存在边界条件G(R1)=0.将式(8)代入式(6，解 方程可得内侧塑性变形区径向应力计算式： 根据带材拉伸弯曲变形的特点，提出以下应用 =Mmg-最p∈R.P- (9) 板弯曲理论进行建模与分析的基本假设：①变形前 的带材横截面在变形过程中仍保持为平面刂：②将 式中，6，为径向应力，M为中间参量(M=2ō/3)， 带材的变形看作平面应变问题，轴向应变为0：③带 R为弯曲带材最内层曲率半径，P为变形区内任意 材为各向同性的理想弹塑性材料. 层的曲率半径，p-为带材内侧屈服临界层的曲率 3.1变形带材的受力分析及力学模型 半径. 对于取定的微角度α所对应的带材段，变形区 外侧塑性变形区径向应力计算式： 的应力和应变关于圆柱坐标系z轴呈轴对称分布， (10) 其大小只与径向坐标有关且变形区内任意点对应 G=MIn RPE[R 的曲率半径就等于其径向坐标值.结合图3所示的 式中，R1为弯曲带材最外层曲率半径，P,为带材外 切向应力分布，微角度α所对应的带材段上的塑性 侧屈服临界层的曲率半径. 和弹性变形区如图4所示. 在弹性变形区，根据广义虎克定律： da , (11) o+do. 式中，E为材料弹性模量，σ为应力偏量. 塑性 因e=0,可得以下关系式： 弹性 e=E9+(+2) 1-2 (12) 塑性 式中，σ为切向应力，为切向应变，μ为泊松比. 定义切向应变为0的纤维层为切向应变中性 层.由带材初始横截面在变形过程中始终保持为平 面的假设条件，可将带材内任意点切向应变表示为： es-In Po (13) 图4带材弹塑性变形状态 式中，P。为切向应变中性层的曲率半径 Fig.4 Elastic-plastic state of a strip 由径向应力沿径向应保持连续的特点，可列出 3.2带材拉伸弯曲变形的解析分析 条件(P)=Mn(P/R1),将式(12)代入式(6)，可 考察如图4所示的微角度增量dα对应的微单 得弹性变形区径向应力计算式： 元体，可列出其平衡方程并简化为： PE1P+E(1-) Godp+I o,-(o+do,)(P+dp)=0 (6) = MIn R NIn PoN(1-2) 在塑性变形区，根据列维一米塞斯塑性流动方程： 1-2 1-4 +Q,p∈(p-s,P) (14) e=入o时 (7) 采用米塞斯屈服条件，并因€：=0，对于理想弹塑性 其中N=1--2Q=h号卡别 材料，可得以下关系式： 分别将式(9)和式(10)代入式(8)，将式(14)代 |g,-gl=50 (8) 入式(12)，可得式(15)所示的切向应力表达式： Min R+M P∈[P,R] 会+9 +Q+是 p∈(p-,P) (15) MlnR、E P BR-M p∈[R,p-J工程应用 [ 2, 5, 10] . 3 基于一般板弯曲理论的解析分析方法及 模型 根据带材拉伸弯曲变形的特点 ,提出以下应用 板弯曲理论进行建模与分析的基本假设 :①变形前 的带材横截面在变形过程中仍保持为平面[ 1] ;②将 带材的变形看作平面应变问题 ,轴向应变为 0 ;③带 材为各向同性的理想弹塑性材料. 3.1 变形带材的受力分析及力学模型 对于取定的微角度 α所对应的带材段, 变形区 的应力和应变关于圆柱坐标系 z 轴呈轴对称分布 , 其大小只与径向坐标有关, 且变形区内任意点对应 的曲率半径就等于其径向坐标值.结合图 3 所示的 切向应力分布, 微角度 α所对应的带材段上的塑性 和弹性变形区如图 4 所示 . 图 4 带材弹塑性变形状态 Fig.4 Elastic-plastic state of a strip 3.2 带材拉伸弯曲变形的解析分析 考察如图 4 所示的微角度增量 d α对应的微单 元体 ,可列出其平衡方程并简化为 : σφdρ+[ ρσr -(σr +dσr)(ρ+dρ)] =0 (6) 在塑性变形区, 根据列维-米塞斯塑性流动方程 : ε · i j =λ · σ′ij (7) 采用米塞斯屈服条件 ,并因 ε · z =0 ,对于理想弹塑性 材料 ,可得以下关系式: σr -σφ = 2 3 σs (8) 在内侧塑性变形区有 σr >σφ, 存在边界条件 σr(R)=F/(BR);在外侧塑性变形区则有 σr <σφ, 存在边界条件 σr(R 1)=0 .将式(8)代入式(6), 解 方程可得内侧塑性变形区径向应力计算式 : σr =Mln R ρ - F BR , ρ∈[ R , ρ-s] (9) 式中, σr 为径向应力 , M 为中间参量(M =2 σs/ 3), R 为弯曲带材最内层曲率半径 , ρ为变形区内任意 层的曲率半径 , ρ-s为带材内侧屈服临界层的曲率 半径. 外侧塑性变形区径向应力计算式 : σr =Mln ρ R 1 , ρ∈[ ρs , R 1] (10) 式中 , R 1 为弯曲带材最外层曲率半径 , ρs 为带材外 侧屈服临界层的曲率半径. 在弹性变形区 ,根据广义虎克定律: εij =1 +μ E σ′ij (11) 式中, E 为材料弹性模量 , σ′ij为应力偏量. 因 εz =0 , 可得以下关系式 : σφ= Eεφ+(μ+μ 2)σr 1 -μ2 (12) 式中, σφ为切向应力 , εφ为切向应变 , μ为泊松比. 定义切向应变为 0 的纤维层为切向应变中性 层 .由带材初始横截面在变形过程中始终保持为平 面的假设条件,可将带材内任意点切向应变表示为: εφ=ln ρ ρ0 (13) 式中, ρ0 为切向应变中性层的曲率半径. 由径向应力沿径向应保持连续的特点, 可列出 条件 σr(ρs)=Mln(ρs/ R 1),将式(12)代入式(6),可 得弹性变形区径向应力计算式: σr = Mln ρs R 1 - E N ln ρs ρ0 + E(1 -μ) N(1 -2 μ) · ρs ρ 1-2μ 1 -μ +Q , ρ∈(ρ-s , ρs) (14) 其中 N =1 -μ-2μ 2 , Q = E N ln ρ ρ0 - 1 -μ 1 -2 μ . 分别将式(9)和式(10)代入式(8),将式(14)代 入式(12),可得式(15)所示的切向应力表达式: σφ= Mln ρ R 1 +M ρ∈[ ρs , R 1] μ 1 -μ Mln ρs R 1 - E N ln ρs ρ0 + E(1 -μ) N(1 -2 μ) ρs ρ 1 -2μ 1 -μ +Q + E N ρ∈(ρ-s , ρs) Mln R ρ - F BR -M ρ∈[ R , ρ-s] (15) · 100 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷