第1期 王文广等：宽带材拉伸弯曲变形的理论模型 101。 由材料本构方程，可得径向应变计算式： E”是片h花+h号 MN P p∈[P,R] Er= p∈(0-，P) (16) Eh-产h+是+h 、P p∈[R,p- 3.3切向应变中性层的曲率半径的求解 层径向应力在内屈服临界层的极限值σ(p→十 带材切向应力在屈服临界层处不连续刂，但弹 p-.),由式(9计算得出o(p-). 性区切向应力在外侧屈服临界层有极限值存在，可 判断下式是否成立： 表示为： |o,(p→十p-)-o,(p-)≤ξ (20) i=-μnR1+1-a2no (17) 式中，ξ为迭代收敛精度 第二步，若式(20)成立，将当前P0值作为迭代 根据米塞斯屈服准则，在屈服临界层应有等效 最终结果；否则根据G(p→十p-)与G(p-)大小 应力=··因此可得带材外侧屈服临界层的曲率 关系，修正P0值，返回第一步. 半径计算式： b+b-4ac 4两种理论模型的对比计算 P,-exp (18) 2a 将“梁弯曲”模型和本文建立的“板弯曲”模型分 同理可得带材内侧屈服临界层的曲率半径计算 别编程进行对比计算.选择如下工况：材料弹性模 式 量E=210GPa,屈服应力为210MPa平均张应力 P-s-exp bbi-4aici (19) 为50MPa,带材变形后厚度为3mm.采用两种理论 2a1 模型分别计算切向应变中性层偏移量、径向应力和 式中，a、b、c、a1、b和a为中间变量.令d1= 应变. M2N2,d2=E2(1-μ+u2),d=MNE(1+μ)， 4.1切向应变中性层偏移量计算结果比较 d4=nR一T/(MBR),则a、b、c、a1、b1和c1计算 切向应变中性层偏移量是表征带材拉伸弯曲变 公式如下： 形程度的重要参数，两种模型的计算结果见图5所 a=d1+d2-d3, 示.显然“板弯曲”模型的计算结果更符合带材拉伸 a1=d1+d2-d3, 弯曲变形的实际情况一中性层偏移量随弯曲半径 b=(d3-2d2)nPo+(2d1-d3)nR, 的变化而变化. b=(d3-2d2)InPo+(2d1-d3)InR- 0.37 NT 合一“板弯曲”模型 [E(1+)-2MN]. 目0.36 一日一“梁弯曲”模型 G 日 日日日日日日日 c=2diln'R1-d3InRiInPo+ 035 d2ln2po-2o(1-u2)2, 出 ci=didi-d3lngod4+d2ln2 Po-22(1). 0.34 由函数单调性不难证明，对于式(18)和式(19)， 0.33 405060708090100110120 Po越大，P.和p-计算值越大：由式(14)可知，Po和 弯曲最内层曲率半径mm P,越大，弹性变形区任一点径向应力计算值越大： 图5中性层偏移量计算结果 由式(9)可知，P-越大，内层塑性屈服临界层径向 Fig.5 Offset of the neutral layer 应力计算值越小. 4.2弯曲区径向应力和应变计算结果 根据以上关系，可以构建出以下中性层曲率半 如图6所示：“板弯曲”模型求得的径向应力始 径Po数值迭代求解方法. 终表现为压应力，且最大压应力出现在中性层附近： 第一步，根据Po迭代值，分别由式(18)和 径向应变沿径向单调变化，且径向应变并不关于带 式(19)计算出P,和P-·再由式(14)计算得出弹性 材几何中心层对称.表明平直状态下带材中心层的由材料本构方程 ,可得径向应变计算式 : εr = MN E(1 -μ) ln ρs R 1 - μ 1 -μ ln ρ ρ0 +ln ρ ρs ρ∈[ ρs , R 1] 1 1 -μ MN E ln ρs R 1 -ln ρs ρ0 + 1 -μ 1 -2 μ ρs ρ 1-2μ 1 -μ +ln ρ ρ0 - 1 +μ N ρ∈(ρ-s , ρs) MN E(1 -μ) ln R ρ-s - μ 1 -μ ln ρ-s ρ0 + FN BRE +ln ρ ρ-s ρ∈[ R , ρ-s] (16) 3.3 切向应变中性层的曲率半径的求解 带材切向应力在屈服临界层处不连续[ 1] , 但弹 性区切向应力在外侧屈服临界层有极限值存在 , 可 表示为: lim ρ※-ρs σφ= μM 1 -μln ρs R 1 + E 1 -μ 2ln ρs ρ0 (17) 根据米塞斯屈服准则, 在屈服临界层应有等效 应力 σ=σs .因此可得带材外侧屈服临界层的曲率 半径计算式: ρs =exp b + b 2 -4ac 2a (18) 同理可得带材内侧屈服临界层的曲率半径计算 式: ρ-s =exp b1 + b 2 1 -4a1 c1 2a1 (19) 式中 , a 、b 、c 、a1 、b1 和 c1 为中间变量.令 d1 = M 2N 2 , d2 =E 2(1 -μ+μ2), d3 =MNE(1 +μ), d4 =ln R -T/(MBR),则 a 、b 、c 、a1 、b1 和 c1 计算 公式如下 : a =d 1 +d 2 -d 3 , a1 =d 1 +d 2 -d 3 , b =(d3 -2d 2)lnρ0 +(2d 1 -d3)ln R 1 , b1 =(d 3 -2d 2)lnρ0 +(2d 1 -d 3)lnR - N T BR [ E(1 +μ)-2 MN] , c =2d 1ln 2 R 1 -d 3lnR 1lnρ0 + d2ln 2ρ0 -2σ 2 s(1 -μ 2) 2 , c1 =d 1 d 2 4 -d3lnρ0 d 4 +d 2ln 2ρ0 -2 σ 2 s(1 -μ 2) 2 . 由函数单调性不难证明, 对于式(18)和式(19), ρ0 越大, ρs 和 ρ-s计算值越大;由式(14)可知, ρ0 和 ρs 越大,弹性变形区任一点径向应力计算值越大 ; 由式(9)可知 , ρ-s越大 , 内层塑性屈服临界层径向 应力计算值越小 . 根据以上关系 ,可以构建出以下中性层曲率半 径 ρ0 数值迭代求解方法. 第一 步, 根据 ρ0 迭代值 , 分 别由 式(18)和 式(19)计算出 ρs 和 ρ-s .再由式(14)计算得出弹性 层径向应力在内屈服临界层的极限值 σr(ρ※+ ρ-s),由式(9)计算得出 σr(ρ-s). 判断下式是否成立 : σr(ρ※+ρ-s)-σr(ρ-s) ≤ξ (20) 式中, ξ为迭代收敛精度. 第二步 ,若式(20)成立 , 将当前 ρ0 值作为迭代 最终结果 ;否则根据 σr(ρ※+ρ-s)与 σr(ρ-s)大小 关系,修正 ρ0 值,返回第一步 . 4 两种理论模型的对比计算 将“梁弯曲”模型和本文建立的“板弯曲”模型分 别编程进行对比计算 .选择如下工况 :材料弹性模 量 E =210 GPa , 屈服应力为 210 MPa , 平均张应力 为 50 MPa ,带材变形后厚度为3 mm .采用两种理论 模型分别计算切向应变中性层偏移量、径向应力和 应变. 4.1 切向应变中性层偏移量计算结果比较 切向应变中性层偏移量是表征带材拉伸弯曲变 形程度的重要参数 , 两种模型的计算结果见图 5 所 示 .显然“板弯曲”模型的计算结果更符合带材拉伸 弯曲变形的实际情况———中性层偏移量随弯曲半径 的变化而变化. 图5 中性层偏移量计算结果 Fig.5 Offset of the neutral layer 4.2 弯曲区径向应力和应变计算结果 如图 6 所示:“板弯曲”模型求得的径向应力始 终表现为压应力, 且最大压应力出现在中性层附近; 径向应变沿径向单调变化 ,且径向应变并不关于带 材几何中心层对称 .表明平直状态下带材中心层的 第 1 期 王文广等:宽带材拉伸弯曲变形的理论模型 · 101 ·