第一学期第二十三次课 第四章§3线性映射与线性变换 431线性映射的定义 定义设U,V为数域K上的线性空间,q:U→V为映射,且满足以下两个条件 i)、φ(a+B)=(a)+o(B),(va,B∈U/) i)、q(ka)=ko(a),(a∈U,k∈K) 则称φ为(由U到V的)线性映射, 由数域K上的线性空间U到V的K的线性映射的全体记为Homx(U,V),或简记为 Hom(U,V)。 定义中的i)和ⅱ)二条件可用下述一条代替 q(ka+lB)=k(a)+k(B),(a,B∈U,k,∈K) 例Mmn(K)是K上的线性空间,M,0(K)也是K上线性空间,取定一个K上的 s×m矩阵A,定义映射 q:Mmn(K)→M,x(K) xhAX 则q是由Mmn(K)到M2(K)的线性映射。 例考虑区间(a,b)上连续函数的全体,它是R上的线性空间,令 U=L(, sin x, sin 2x, .. Sin nx) L(l, cos. 再令 f(x)HAX 则是由U到V的一个线性映射。 定义设φ:U→V是线性映射 i)、如果是单射,则称φ是单线性映射( monomorphism); i)、如果φ是满射,则称φ是满线性映射( endomorphism) ⅲi)、如果φ既单且满,则称φ为同构映射(简称为同构, isomorphism),并说U与V是 同构的,同构映射也称为线性空间的同态( homomorphism),同构映射的逆映射也是同构 映射 iv)、￠的核( kernel)定义为kerq={a∈Ul(a)=0} v)、φ的像( Image)定义为m={∈a∈U,st(a)=B},也记为q(U)第一学期第二十三次课 第四章 §3 线性映射与线性变换 4.3.1 线性映射的定义 定义 设 U V, 为数域 K 上的线性空间，  :U V → 为映射，且满足以下两个条件： i）、          ( ) ( ) ( ), ( , ) + = +  U ； ii）、      ( ) ( ), ( , ) k k U k K =    ， 则称  为（由 U 到 V 的）线性映射， 由数域 K 上的线性空间 U 到 V 的 K 的线性映射的全体记为 Hom (U,V) K ，或简记为 Hom (U,V) 。 定义中的 i）和 ii）二条件可用下述一条代替：          ( ) ( ) ( ), ( , , , ) k l k k U k l K + = +    。 例 ( ) M K m n 是 K 上的线性空间， ( ) M K s n 也是 K 上线性空间，取定一个 K 上的 s m 矩阵 A ，定义映射 : ( ) ( ), . M K M K m n s n x AX    → 则  是由 ( ) M K m n 到 ( ) M K s n 的线性映射。 例 考虑区间 ( , ) a b 上连续函数的全体，它是 上的线性空间，令 U L x x nx = (1,sin ,sin 2 , ,sin ), V L x x nx = (1,cos ,cos 2 , ,cos ). 再令 : , ( ) . U V f x AX  → 则  是由 U 到 V 的一个线性映射。 定义 设  :U V → 是线性映射 i）、如果  是单射，则称  是单线性映射（monomorphism）； ii）、如果  是满射，则称  是满线性映射（endmorphism）； iii）、如果  既单且满，则称  为同构映射（简称为同构，isomorphism），并说 U 与 V 是 同构的，同构映射也称为线性空间的同态（homomorphism），同构映射的逆映射也是同构 映射； iv）、  的核（kernel）定义为 ker { | ( ) 0}     =  = U ； v）、  的像（image）定义为 im ={ | , . ( ) }          = V U s t ，也记为 ( ) U ；