命题kerq和img是V的子空间 证明容易证明它们关于加法和数乘封闭。 vi)、q的余核定义为 co ker=imp 命题线性映射∫是单的当且仅当ker={0},∫是满的当且仅当 coker∫={0} 定理(同态基本定理)设∫:U→V是数域K上的线性空间的满线性映射,则映射 0: U/ker f>k a+kerfhf(a) 是同构映射 证明首先证明是良定义,即若a=a'∈U/kerf,则o(a)=a(a)由于a=a 存在y∈kerf,使得α=a+y。于是f(a)=f(a+y)=f(a")+f(y)=f(a),即 (a)=a(a)。 再证明σ是线性映射。va,B∈U/kerq,k,l∈K o(ka+B)=f(ka +lB)=kf(a)+lf(B)=ko(a)+lo(B) 易见σ是满射,且有V=imf。只要再证明σ是单射即可,即证明kerσ={0}。设 a∈kera,则a(a)=f(a)=0,于是a∈kerf,即有a=0。证毕 命题设φ:U→V是线性映射,dimU=n,则下述三条等价: i)、单 )p将U中任意线性无关组映为V中的线性无关组; i)、dimq(U)=n 证明 1)→i)若a1,ax2…ar∈V线性无关,则令 kq(a)+k2(a2)+…+k(a1)=0,由线性映射的定义,纵(ka1+k2a2+…+ka1)=0。 q单,于是ka1+k2a2+…+ka1=0,则k=k2=…=k=0,i)成立;i)→ⅲ)若 取U的一组基E1,E2…,En,则由已知,(E1)(E2),…(En)线性无关,而imq中任意 向量可以被纵(1),(E2)…以(En)线性表出,于是(E1)0(E2),…,(En)构成img的一组 基,ⅲ)成立;i)→i)由同态基本定理知U/kerφ≡img,于是 dimU- dim ker= dim img→ dim ker q=0,即有kerq={0}。证毕命题 ker 和 im 是 V 的子空间。 证明 容易证明它们关于加法和数乘封闭。 vi）、  的余核定义为 co ker /im   =V 。 命题 线性映射 f 是单的当且仅当 ker f = {0}， f 是满的当且仅当 coker f = {0} 。 定理（同态基本定理） 设 f :U →V 是数域 K 上的线性空间的满线性映射，则映射 : / ker , ker ( ). U f V f f    → + 是同构映射。 证明 首先证明  是良定义，即若  = ' / ker U f ，则     ( ) ( ') = 。由于  = '， 存在  ker f ，使得    = +' 。于是 f f f f f ( ) ( ' ) ( ') ( ) ( ')       = + = + = ，即     ( ) ( ') = 。 再 证 明  是 线 性 映 射 。      , / ker U ， k l K ,  ，            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k l f k l kf lf k l + = + = + = + 。 易见  是满射，且有 V f = im 。只要再证明  是单射即可，即证明 ker {0}  = 。设   ker ，则    ( ) ( ) 0 = = f ，于是  ker f ，即有  = 0 。证毕。 命题 设  :U V → 是线性映射， dimU n = ，则下述三条等价： i）、  单； ii）、  将 U 中任意线性无关组映为 V 中的线性无关组； iii）、 dim ( )  U n = 。 证 明 i ）  ii ） 若 1 2 , , ,   t V 线性无关，则令 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 t t k k k       + + + = ，由线性映射的定义， 1 1 2 2 ( ) 0 t t     k k k + + + = 。  单，于是 1 1 2 2 0 t t k k k    + + + = ，则 1 2 0 t k k k = = = = ，ii）成立；ii）  iii）若 取 U 的一组基 1 2 , , , n    ，则由已知， 1 2 ( ), ( ), , ( )       n 线性无关，而 im 中任意 向量可以被 1 2 ( ), ( ), , ( )       n 线性表出，于是 1 2 ( ), ( ), , ( )       n 构成 im 的一组 基 ， iii ）成立； iii ）  i ）由同态基本定理知 U / ker im    ，于是 dim dim ker dimim U − =    dim ker 0  = ，即有 ker {0}  = 。证毕