第二十八讲 Green函数(一) §28.1点源的数学表示函数 ★介绍一种新的“函数”,函数 ★函数是由物理学家P.A.. Dirac首先引进的,在近代物理学中有着广泛的应用.它可以 用于描写物理学中的一切点量,例如点质量点电荷、瞬时源等,物理图象清晰 ★在数学上,函数可以当作普通函数一样进行运算,如进行微分和积分变换,甚至应用于 求解微分方程,而且得到的结果和物理结论是一致的 ★运用函数,可以为我们处理有关的数学物理问题,带来极大的便利 ★函数是一类“奇怪”的函数,按照“古典的数学概念是无法理解的它的严格数学理 论,要涉及泛函分析的知识 ★本节将从物理学的直观出发,引进δ函数的概念,介绍它的最基本的知识及其初步应用 作为函数的物理背景,先讨论点源、例如点电荷的电荷分布密度函数的数学表示.为 简单起见,主要讨论一维情形 如图28.1,设在无穷直线上0<x<1区间内有均匀的电 1() 荷分布,总电量为1个单位,在区间外无电荷,则电荷密度函 1 数为 0,当x< ()=当-<x< 0.当x>2 -202 对于任意一个在-1/2<x<1/2内连续的函数f(x),根据中 图28.1单位点电荷的电荷密度 值定理,有 f()i()dx=f(l),-1/2≤0≤1/2. 实际上,积分限不一定是士∞.只要a<-1/2,b>1/2,就有 f()()dx=f(),-1/2≤0≤1/2Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ Green ✆✝ (✞) §28.1 ✟✠✡☛☞✌✍ δ ✎☛ F ✏✑✒✓✔✕ ✖ ✗✘✙✚ δ ✗✘✛ F δ ✗✘✜ ✢✣✤ ✥✦ P. A. M. Dirac ✧★ ✩✪✕✚✫✬✭✣✤ ✥✮✯✰ ✱✲✕✳✴✛✵✶ ✷ ✴✸✹ ✺✣✤ ✥✮✕✒✻✼✽✚✾✿✼❀✽❁✼ ❂❃❁❄❅❆❇✚✣✤ ❈❉❊❋✛ F ✫✘ ✥●✚ δ ✗✘✶ ✷❍■❏❑✗✘✒▲✪▼◆❖✚✿✪▼P◗❘❙◗❚❯✚❱❲✳✴✸ ❳❨P◗❩❬✚❭❪❫❴✕❵❛❘✣✤❵❜✜ ✒❝✕✛ F ◆✴ δ ✗✘✚✶ ✷❞❡❢❣✤✯ ❤✕ ✘ ✥✣✤ ✐❥✚❦❧♠♥✕♦♣✛ F δ ✗✘✜✒ q ✖ rs✙ ✕ ✗✘✚t✉ ✖✈✇✙ ✕ ✘ ✥①②✜③④✤❨ ✕ ✛✵ ✕⑤⑥✘ ✥✤ ❜✚⑦ ⑧⑨✲✗◗⑩✕❶❷✛ F ❸ ❹❺❻✣✤ ✥✕❼❽ ❾❿✚✩✪ δ ✗✘✕ ①②✚✏✑✵ ✕➀➁❸✕❶❷⑨➂➃ ➄✳✴✛ ■❞ δ ✗✘✕ ✣✤➅➆✚★➇❜✼❆❁✾✿✼ ❂❃✕ ❂❃◗➈ ➉➊✗✘✕ ✘ ✥➋➌✛❞ ➍➎➏➐✚➑⑦➇❜✒➒➓➔✛ →➣ 28.1 ✚↔↕➙➛➜➝➞ 0 < x < l ➟➠ ➡➢➤➥➦ ➧ ➨➩➫✚➭ ➧➯➲ 1 ➳➵➸✚↕ ➟➠➺➙ ➧ ➨ ✚➻ ➧ ➨➼➽➾ ➚ ➲ δl(x) =    0, ➪ x < − l 2 ; 1 l , ➪ − l 2 < x < l 2 ; 0, ➪ x > l 2 . ➶➹➘➴➷➳ ↕ −l/2 < x < l/2 ➡➬➮➦➾➚ f(x) ✚➱✃ ❐ ❒❮❰✚➢ Ï 28.1 ÐÑÒÓÔÕÓÔÖ× Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx = f(θl), −1/2 ≤ θ ≤ 1/2. ØÙ➞✚Ú➩ÛÜ➷❮Ý ±∞ ✛Þß a < −l/2, b > l/2 ✚à➢ Z b a f(x)δ(x)dx = f(θl), −1/2 ≤ θ ≤ 1/2