《线性代数》第四章习题解答 Er(p心-*N 解由P-日：得日gp,从 6g⑧ 面后引所以 62 4-1)°-32”2(-10=2 气6-1)”-3.2m13-101-2*2 20.设三阶方阵A的特征值为1,2,3，与其对应的特征向量依次为a1=(114)T,a=(124)T, a3=(139)1,且 B=(113)T。 1)将B用a1a2a3线性表示： (2)求AB(n为自然数) 解(1)设B-x1a+x2a+xa:,则 1111月(1111 (aaa)1231-0120 14930011 可知B=2a-2ata 1 (2)令P=(a1a:aa),B=2,则PAP=B,A=PEP，从而A=pBP 3/ 《线性代数》第四章习题解答 10 P=（P1 P2 P3）=               − − − − 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 ，P -1AP=              − 3 1 1 1 19.已知 P=         − − 3 2 2 1 ，P -1AP=        − 0 2 1 0 ，求 An 解 由 P -1AP=        − 0 2 1 0 ， 得 A=P        − 0 2 1 0 P -1， 从而 An= P n        − 0 2 1 0 P -1=P         − n n 0 2 ( 1) 0 P -1 而 P -1=         − − 3 2 2 1 ， 所以 An=         − − 3 2 2 1         − n n 0 2 ( 1) 0         − − 3 2 2 1 =         − −  − − − −  − = + + + + + 1 1 2 1 1 6( 1) 3 2 3( 1) 2 4( 1) 3 2 2( 1) 2 n n n n n n n n 20．设三阶方阵 A 的特征值为 1，2，3，与其对应的特征向量依次为α1=（1 1 4）T，α2=（1 2 4）T， α3=（1 3 9）T， 且 β1=（1 1 3）T 。 （1） 将β用α1α2α3 线性表示； （2） 求 Anβ （n 为自然数）. 解（1）设β=x1α1+ x2α2+ x3α3 ，则 (    ) 1 2 3 =           1 4 9 3 1 2 3 1 1 1 1 1 →           0 0 1 1 0 1 2 0 1 1 1 1 可知 β=2α1-2α2+α3 （2）令 P=（α1α2α3），B=           3 2 1 ，则 P -1 AP=B，A=PBP-1 ，从而 A n =PBn P -1