空间的情况进行证明,对于复空间,只须作细节上的修正 考虑映射T:X→R",T(x)=((x)…m(x),x∈X,容易验 证T是有界线性算子。T是到上的,实际上,T(x)是R”的线性子空 间,若dim7(x)<n,则存在不全为0的n个数a1…,a ∑a∫(x)=0,Vx∈x,于是∑aJ=0。这与f1…f。线性无关 性矛盾 X,R都是 Banach空间,于是T是开映射 VE>0,记E={x|叫≤M+s},则EC={xx<M+}是 0∈X的领域,于是T(E2)是0∈R”的领域,即0∈R是T(E)的内 点·若不存在x∈E,使得∫(x)=c1(=1…,m),即 c=(c,…cn)gT(E),注意到T(E)是R"中的凸集,由隔离定理(定 理4)存在Rn上的连续线性实泛函F和实数r>0,使得 F(Tx)≤r,x∈E,F(c)>r 不妨设F(y)=b+…+byn,V(n,…y)∈R”,其中 h…b∈R,则F(Tx)=∑b(x)注意x∈E当且仅当-x∈E, 故必有 b,(x)=F(Txl<r 于是 sup b,(x)=sup >b/ (x)(M+E) M +)= ∑b|srF()=∑bc f…,f线性无关,故∑b≠0,从而9 空间的情况进行证明，对于复空间，只须作细节上的修正. 考虑映射 : n TX R → ，Tx f x f x ( ) = ( 1 ( ), , " n ( )) , x∈ X ，容易验 证 T 是有界线性算子。 T 是到上的，实际上， T x( ) 是 n R 的线性子空 间，若 dimTx n ( )＜ ，则存在不全为 0 的 n 个 数 1, , n a a " ， ( ) 1 0 n i i i af x = ∑ = ， ∀ ∈x X ，于是 1 0 n i i i a f = ∑ = 。这与 1, , n f " f 线性无关 性矛盾. , n X R 都是 Banach 空间，于是 T 是开映射. ∀ε＞0 ， 记 E xx M ε = ≤+ { ; ε} ， 则 { } 0 E xx M ; ε = ＜ +ε 是 0∈ X 的领域，于是 ( ) 0 T Eε 是 0 n ∈ R 的领域，即 0 n ∈ R 是 T E( ) ε 的内 点 . 若不存在 xε ∈ Eε ，使得 fi i ( x c ε ) = (i n =1, , " ) , 即 ( ) 1, , n cc c = " ∉T E( ) ε ，注意到 T E( ε ) 是 n R 中的凸集，由隔离定理（定 理 4）存在 n R 上的连续线性实泛函 F 和实数 r＞0 ，使得 F ( ) Tx r ≤ ， ∀ ∈x Eε， F (c r )＞ . 不妨设 F ( ) 1 1 n n y by b y = ++ " ， ( 1, , ) n n ∀ ∈ y yR " ，其中 1, , n b bR " ∈ ，则 ( ) () 1 n i i i F Tx b f x = = ∑ . 注意 x∈ Eε 当且仅当 −x∈ Eε ， 故必有 ( ) ( ) 1 n i i i b f x F Tx r = ∑ = ≤ , 于是 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sup sup n n ii ii xM x i i bf x bf x M ε ε ≤+ ≤ = = ∑ ∑ = + ( ) ( ) 1 1 1 sup n n i i ii x i i M ε b f r F c bc ≤ = = =+ ≤ = ∑ ＜ ∑ . 1, , n f " f 线性无关，故 1 0 n i i i b f = ∑ ≠ , 从而