f6∑kx 这里{xn}未必是线性无关的,但若另有vx=∑kx,则(1)表明 k叫≤B∑x 由此知道,(x)有确定的意义,此外显然‖l≤B 由保范延拓定理,存在∫∈X,=l|sB,在E上 f(x)=6(x)=∑ka,特别地f(x)=an,n≥1 定理证毕 定理7(Hely)设X是 Banach空间,f1…,f∈X",M>0 c,…cn∈Φ,则V6>0,丑x∈X使得|M+6,f(x)=c (i=1…,n)的充要条件是 va1,…,an∈Φ 证明必要性若V6>0,x2存在,即|x|≤M+ f(x)=c(i=1…,n),则va1,…,an∈④, E是任意的,故有∑alsM∑a 充分性不妨设∫1,…,f厂彼此线性无关,否则考虑其中的最大线 性无关组∫2…,∫m’当对于后者证明了定理的结论时,根据线性相关 性的条件,结论对于整个f12…,∫也一定成立.此外我们仅就X为实8 0 1 1 n n ii ii i i f kx ka = =   =     ∑ ∑ ， 1 n i i i x k x = ∀ = ∑ 这里 {xn} 未必是线性无关的，但若另有 1 n i i i x k x = ∀ = ∑ ′ ′ ，则 (1) 表明 1 1 n n ii ii i i ka ka = = ∑ ∑− ′ ′ 1 1 0 n n ii ii i i β kx kx = = ≤ ∑ ∑− = ′ ′ ， 由此知道， f0 ( ) x 有确定的意义，此外显然 0f ≤ β . 由保范延拓定理，存在 f X ∗ ∈ ， 0 f f = ≤ β ， 在 E 上 () () 0 1 n i i i f x f x ka = = = ∑ ，特别地 f ( x a n n ) = ， ∀n ≥1. 定理证毕. 定理 7（Helly） 设 X 是 Banach 空间， 1, , n f f X ∗ " ∈ ， M＞0， 1, , n c c " ∈Φ ， 则 ∀ε＞0 ， ∃xε ∈ X 使 得 x M ε ≤ + ε ， fi i ( ) x c ε = ( ) i n =1, , " 的充要条件是 1 1 n n ii i i i i ac M a f = = ∑ ∑ ≤ ， 1, , ∀α " αn ∈Φ (2) 证 明 必要性 若 ∀ε＞0 ， xε 存在，即 x M ε ≤ + ε ， fi i ( ) x c ε = (i n =1, , " ) ，则 1, , ∀α " αn ∈Φ ， ( ) 11 1 nn n ii i i i i ii i ac k f x a f x ε ε == = ∑∑ ∑ = ≤ . ε 是任意的，故有 1 1 n n ii i i i i ac M a f = = ∑ ∑ ≤ . 充分性 不妨设 1, , n f " f 彼此线性无关，否则考虑其中的最大线 性无关组 1, , m f " f ，当对于后者证明了定理的结论时，根据线性相关 性的条件，结论对于整个 1, , n f " f 也一定成立. 此外我们仅就 X 为实