A+O0.2)={xf(),B=(xf(x)≥6} 注意A是紧集,∫连续,故∫在A上可达到上确界不妨设x0∈A, ∫(x)=sup∫(x)=,由于∫不是0泛函,于是∫在O0上不可 能全取0值。不失一般性,设有x∈O|0 2))(x)>0,则 x+x'∈A+O0,,从而 sup∫(x)=K<+f(x)=∫(x+x)≤n2, 定理得证 最后,作为Hahn- Banach定理和隔离定理的应用,让我们看一 下 Helly第一和第二矩量定理 定理6(He)设X是线性赋范空间,{xn}∈X是一列元素, an∈④,B>0.则存在∫∈x满足/B,f(x)=an(Wn21) 的充要条件是 ∑k叫P∑kx,k∈,n21 证明1若满足所说条件的∫∈X”存在,则 Eka=Ek/()s/2k- ≤∑x n.k.∈Φ 2若所说的不等式成立,设E=span{xn,n≥l},令7 { } ( ) 2 0, ; 2 a A O xf x r   +⊂≤     ， B ⊂ ≥ {xf x r ; ( ) 2}. 注意 A 是紧集， f 连续，故 f 在 A 上可达到上确界. 不妨设 0 x ∈ A ， ( ) () 0 1 sup x A f x fx r ∈ = = ，由于 f 不是 0 泛函，于是 f 在 0, 2 a O      上不可 能全取 0 值。不失一般性，设有 0, 2 a x O  ′∈     ， f x( ′)＞0 ， 则 0 0, 2 a x x AO  +∈+ ′     ，从而 sup ( ) 11 0 0 2 ( ) ( ) x A f x r r fx fx x r ∈ = + = +≤ ＜ ′ ， 定理得证. 最后，作为 Hahn－Banach 定理和隔离定理的应用，让我们看一 下 Helly 第一和第二矩量定理. 定理 6（Helly） 设 X 是线性赋范空间，{xn} ⊂ X 是一列元素， n a ∈Φ ， β＞0 . 则存在 f X ∗ ∈ 满足 f ≤ β ， f ( x a n n ) = （ ∀ ≥ n 1） 的充要条件是 1 1 n n ii ii i i ka kx β = = ∑ ∑ ≤ ， i k ∈Φ ， n ≥1 （1） 证 明 1 D 若满足所说条件的 f X ∗ ∈ 存在，则 ( ) 11 1 nn n ii i i ii ii i ka k f x f kx == = ∑∑ ∑ = ≤ 1 n i i i β k x = ≤ ∑ ， , i ∀n k ∈Φ 2D 若所说的不等式成立，设 E = span {x n n , 1 ≥ } ，令