考虑子空间M={x;t∈R}和M上的非零线性泛函f(xn)=t 当t≥0时 f6(x0) (x)=(a) 当t≤0时,由于2(x)20,显然f6(1x)=t≤(tx),根据定理1, 存在X上线性泛函∫,∫是J的延拓,并且f(x)≤A(x) ∫是连续的,实际上当x∈C时,f(x)sk( x∈C∩(-C),同样有-f(x)≤(-x)<1,从而 1<-C(-x)≤f(x)≤(x)<1,vx∈Cn(-C) 注意C∩(-C)具有非空内点,故∫连续,又由x∈M知道 ∫(x)=f6(x)=1 现在x∈A,y∈B,则x+x0-y∈C从而 f(x+x-y)≤(x+x0-y)≤1,f(x)≤f(y) 记r=supf(x),则∫(x)≤r,Wx∈A;同时r≤f(y),Vy∈B 由于Ac{xf(x)并且后者是闭集,故A={x,f(x)≤r 但对于凸集而言,f=A,故Ac{x∫(x)≤ 定理5设X是(实或复)线性赋范空间,A,B是X中的非空凸 集,A∩B=②,若A是紧集,B是闭集,则存在f∫∈X”,实数n12 <F2,使得 Ac{xf(x)≤n},Bc{xRef(x)≥n} 证明同样的,只须对于实空间证明结论成立 我们已经知道此时a=d(A,B)=infd(xy)>0,于是 A+O|0.5为开凸集并且4+O|0.B=②.根据上面定理4 存在连续线性泛函∫和n2∈R,使得6 考虑子空间 M = ∈ {tx t R 0 ; } 和 M 上的非零线性泛函 f0 0 (tx t ) = ， 当 t ≥ 0 时 f00 0 0 ( ) tx t t x tx =≤ = µ µ C C ( ) ( )， 当 t ≤ 0 时，由于 ( ) 0 0 C µ tx ≥ ，显然 f00 0 (tx t tx ) = ≤ µC ( ) ，根据定理 1， 存在 X 上线性泛函 f ， f 是 0f 的延拓，并且 f ( x x ) ≤ µC ( ) ， f 是连续的，实际上当 x∈C 时 ， fx x ( ) ≤ µC ( )＜1 ， 若 x∈ − C C ∩( ) ，同样有 − ≤− fx x ( ) µC ( )＜1，从而 − −≤ ≤ 1＜- ＜1 µ µ C C ( ) x fx x ( ) ( ) ， ∀x∈ − C C ∩( ) 注 意 C C ∩(− ) 具有非空内点，故 f 连续，又由 0 x ∈ M 知 道 fx f x ( ) 0 00 = = ( ) 1. 现在 ∀ ∈x AD ， y B ∈ ，则 0 x + x yC − ∈ 从而 ( 0 0 ) ( ) 1 C fx x y x x y +− ≤ +− ≤ µ ， f ( x fy ) ≤ ( ) 记 sup ( ) x A r fx ∈ = ，则 f ( ) x r ≤ ， ∀x∈ AD ；同时 r fy ≤ ( ) ， ∀ y B ∈ . 由于 A ⊂ ≤ {xf x r ; ( ) } D 并且后者是闭集，故 A xf x r ⊂ ≤ { ; ( ) } D ， 但对于凸集而言， A A =D ，故 A ⊂ ≤ {xf x r ; ( ) }. 定理 5 设 X 是（实或复）线性赋范空间， A, B 是 X 中的非空凸 集， A B ∩ = ∅ ，若 A 是紧集， B 是闭集，则存在 f X ∗ ∈ ，实数 1 2 r r, ， 1 2 r r ＜ ，使得 A ⊂ ≤ {xf x r ; ( ) 1} ， B ⊂ ≥ {x fx r ;Re ( ) 2}. 证 明 同样的，只须对于实空间证明结论成立. 我们已经知道此时 a d AB = ( , ) ( ) , inf , x Ay B d xy ∈ ∈ = ＞0 ，于是 0, 2 a A O  +     为开凸集并且 0, 2 a AO B       +   = ∅     ∩ . 根据上面定理 4， 存在连续线性泛函 f 和 2r R ∈ ，使得