从而x=(1-)0+∈A,故{xA(x)<cA.现在设A是开集, 若x∈A 定有>0使得(1+E)x∈A或x∈,A,从而 n1()s1+g1,故4c{xA(x)<1于是A=(xp1() 定理4设X是(实或复)线性赋范空间,A,B是X中的非空凸 集,A≠,A∩B=②.则存在非零线性泛函∫∈X”和实数r使得 Acr;Re(r)<r,Bc; Ref(x)2r) 其中Ref(x)表示∫(x)的实部 证明不妨设0∈A,因为若∫,r满足上面条件,则Vx∈X xo+Acr, Ref(x)<Ref(o)+r) x+Bc{xRef(x)≥Re∫(x)+ 特别地取x0∈A并且考虑A-x,则至多改变r的值,结论仍然成立 我们只须就实空间的情况证明之,因为由第16讲定理2前面的说 明,复空间上的一个实泛函决定了唯一的复泛函并且成为它的实部, 此时复泛函连续当且仅当它的实部连续 现在考虑集合C=A+x0-B,其中x∈B,则C是开凸集并且 由于A≠,0∈C.此外xC,否则0∈A-B从而得出 A°∩B=,与假设矛盾 设山C是集合C的 Minkowski泛函.由定理3,c是在整个空间X 上有定义的次可加正齐性泛函,并且C={xH(x)<1},由于xEC 故(x)≥15 从而 ( ) 1 0 x x rr A r =− + ∈ i ，故 {x;µ A ( x A )＜1} ⊂ . 现在设 A 是开集， 若 x∈ A ，一定有 ε＞0 使 得 (1+ ε ) x∈ A 或 1 1 x A ε ∈ + ，从而 ( ) 1 1 A µ x ε ≤ + ＜1，故 Ax x ⊂ { ;µ A ( )＜1} . 于是 Ax x = { ;µ A ( )＜1} . 定理 4 设 X 是（实或复）线性赋范空间， A, B 是 X 中的非空凸 集， A ≠ ∅ D ， A B = ∅ D ∩ . 则存在非零线性泛函 f X ∗ ∈ 和实数 r 使得 A x fx r ⊂ ≤ { ;Re ( ) }， B ⊂ ≥ {x fx r ;Re ( ) } 其中 Re f ( x) 表示 f ( ) x 的实部. 证 明 不妨设 0∈ AD ，因为若 f ,r 满足上面条件，则 0 ∀x ∈ X x0 0 +⊂ ≤ + A x fx fx r { ;Re Re ( ) ( ) } ， x0 0 +⊂ ≥ + B x fx fx r { ;Re Re ( ) ( ) } . 特别地取 0 x ∈ AD 并且考虑 A x − 0 ，则至多改变 r 的值，结论仍然成立. 我们只须就实空间的情况证明之，因为由第 16 讲定理 2 前面的说 明，复空间上的一个实泛函决定了唯一的复泛函并且成为它的实部， 此时复泛函连续当且仅当它的实部连续. 现在考虑集合 CA x B = +−0 D ，其中 0 x ∈ B ，则 C 是开凸集并且 由 于 A ≠ ∅ D ， 0∈C . 此 外 0 x ∉C ，否则 0∈ A B−D 从而得出 A B = ∅ D ∩ ，与假设矛盾. 设 µC 是集合 C 的 Minkowski 泛函. 由定理 3，µ C 是在整个空间 X 上有定义的次可加正齐性泛函，并且 Cx x = { ;µC ( )＜1}，由于 0 x ∉C ， 故 ( ) 0 1 C µ x ≥