(1)4在整个X上有定义 (2)若t20,H4(x)=1(x),Wx∈x (3)H4(x+y)=4(x)+(y),Vxy∈x; (4){x,H4(x)<l}cAc{x,H(x)≤1}若A是开集,则 A={x(x)<1 (1),(2),(3)说明H4是X上的正齐性次可加泛函.我们称H4是集 合A的 Minowski泛函 证明1°对于每个x∈X,x>0,A是0∈X的领域,故存在 n,fcA,即x∈nA,所以集合{>0,x∈r4≠⑦,H1(x)有意 2°由于x∈rA当且仅当tr∈trA,故 tu,()=inf (r; xE rA=inf(tr; xE) =inf{r,x∈m4}=4(ax) 3设r,s>0.,若x∈rA,y∈sA,即x∈A,卫∈A,A是凸集, 故 r+s r+s rr+s ∈A,即x+y∈(r+s)A.从而 H4(x+y)≤r+s,r与s是任意的故H4(x+y)≤4(x)+4(y) 由H4的定义容易得到(4)中包含关系成立,例如若 H4(x)<1,则存在r,0<r<1,x∈n4或∈A,A是凸集,0∈A,4 （1） µ A 在整个 X 上有定义； （2） 若 t ≥ 0 ， µ µ A A (tx t x ) = ( ) ， ∀x∈ X ； （3） µ µµ A AA ( ) x += + yxy ( ) ( ) ， ∀x, y X ∈ ； （4） {x x Ax x ; ; µ µ A A ( )＜1 1 } ⊂⊂ ≤ { ( ) } . 若 A 是开集，则 Ax x = { ;µ A ( )＜1} . （1），（2），（3）说明 µ A 是 X 上的正齐性次可加泛函. 我们称 µ A 是集 合 A 的 Minowski 泛函. 证明 1 D 对于每个 x∈ X ， 0 x n → ， AD 是 0∈ X 的领域，故存在 0 0 , x n AA n ⊂D ，即 0 x∈n A，所以集合 {r x rA ＞0; ∈ } ≠ ∅ ， µ A ( ) x 有意 义. 2D 由于 x∈rA当且仅当 tx trA ∈ ，故 t x t r x rA tr x rA µ A () { = ∈= ∈ inf ; inf ; } { } = ∈= inf ; {tr tx trA tx } µ A ( ). 3D 设 r s, 0, > 若 x∈rA，y sA ∈ ， 即 x A r ∈ ， y A s ∈ ，A 是凸集， 故 xy r x s y A r s r sr r ss + = + ∈ ++ + i i ， 即 x +∈ + y r sA ( ) . 从 而 µ A ( ) x + ≤+ y rs ， r 与 s 是任意的. 故 µ µµ A AA ( x +≤ + yxy ) ( ) (). 4D 由 µ A 的定义容易得到（ 4 ）中包含关系成立 . 例如若 µ A ( ) x ＜1，则存在 r ，0＜ ＜1 r ，x∈rA或 x A r ∈ ， A 是凸集，0∈ A