存在∫∈x,∫≠0,W=N(),从而x∈E当且仅当 ∫(x)=f(x)=c或E={xf(x)=c}, 若E={xf(x)=c},∫∈X',∫≠0,任取x∈E,则f(x)=c, 令y=x-x,则∫(y)=0.由1,N()是极大真子空间 E=x+N(f),E是超平面 定理2设X是线性赋范空间,EcX是极大真子空间,f∈X, ∫≠0,E与∫的关系如同定理1,则 (1)E是闭的当且仅当f∈X", (2)E是闭的当且仅当E不在X中稠密 证明由于E=N(),全部结论可由本章第1讲定理1得出 通常称实空间X的子集在超平面E={x,f(x)=}的一侧,若 Ac{xf(x)≤}或Ac{xf(x)≥d},称两个子集AB被超平面E 隔离,若A,B分属于E的两侧,称A,B被E严格隔离,若 A∈{xf(x)<a},Bc{xf(x)>q}或者相反 前面在证明Hahn- Banach延拓定理时,我们事先假定X上存在 某个正齐性次可加泛函。现在为了证明凸集的隔离定理,我们将要从 满足一定条件的凸集上产生出这种泛函来 定理3设X是线性赋范空间,ACX是以0为内点的凸集,定 义4(x)=inf{t>0,x∈tA,则3 存 在 f ∈ X ′ ， f ≠ 0 ， W Nf = ( ) ，从而 x∈ E 当且仅当 f ( ) x fx c = = ( 0 ) 或 E xf x c = = { ; ( ) } ， 若 E xf x c = = { ; ( ) } ，f ∈ X ′ ，f ≠ 0，任取 0 x ∈ E ，则 ( ) 0 f x c = ， 令 0 y xx = − ， 则 f y( ) = 0 . 由 1 D ， N f ( ) 是极大真子空间， E x Nf = +0 ( )， E 是超平面. 定理 2 设 X 是线性赋范空间，E X ⊂ 是极大真子空间，f ∈ X ′ ， f ≠ 0， E 与 f 的关系如同定理 1，则 （1） E 是闭的当且仅当 f X ∗ ∈ ， （2） E 是闭的当且仅当 E 不在 X 中稠密. 证明 由于 E Nf = ( ) ，全部结论可由本章第 1 讲定理 1 得出. 通常称实空间 X 的子集在超平面 E = {xf x a ; ( ) = } 的一侧，若 A xf x a ⊂ ≤ { ; ( ) } 或 A xf x a ⊂ ≥ { ; ( ) } ，称两个子集 A B, 被超平面 E 隔离，若 A B, 分属于 E 的两侧，称 A B, 被 E 严格隔离，若 A ⊂ {xf x a ; ( )＜ } ， B ⊂ {xf x a ; ( )＞ } 或者相反. 前面在证明 Hahn－Banach 延拓定理时，我们事先假定 X 上存在 某个正齐性次可加泛函。现在为了证明凸集的隔离定理，我们将要从 满足一定条件的凸集上产生出这种泛函来. 定理 3 设 X 是线性赋范空间， A X ⊂ 是以 0 为内点的凸集，定 义 µ A () { x = ∈ inf 0; t x tA ＞ }，则