(2)称E是X的极大真子空间,若对于X的任一线性子空间 M,当EcM,E≠M时,M=X (3)称E为X的超平面,若E=x+M,其中x0∈X,M是 X的极大真子空间 X上的线性泛函全体记为X(X中元不必连续),显然就点集 的包含关系来讲,XcX.有时称X为X的代数共轭,称X为X 的拓扑共轭 定理1(1)E是X的极大真子空间当且仅当存在∫∈X ∫≠0,E=N(f),N()是∫的0空间 (2)E是X的超平面当且仅当存在∫∈X,f≠0, E={xf(x)=c},其中c是某个常数 证明若f∈X",∫≠0,考虑子空间N()={x,f(x)=0 若是线性子空间并且N()cW,N(f)≠W,取x∈\N(), 显然f(x)≠0·x∈x,令y=xf(x)x,则f(x)=0 y∈N(∫),x=y+ f(x) x,从而X=span{x,N(O)<W,即 0 W=X.N()是极大真子空间 反之,若E是极大真子空间,取xEE,则X=span{x,E} yx∈X,x=x1+ax,其中x1∈E,a∈Φ,此表达式是唯一的.定 义f(x)=a,若x=x+ax0,显然E=N() 2若E是超平面,则E=x+M,W是极大真子空间,由1°,2 （2） 称 E 是 X 的极大真子空间，若对于 X 的任一线性子空间 M ，当 E ⊂ M ， E ≠ M 时， M = X . （3） 称 E 为 X 的超平面，若 Ex M = 0 + ，其中 0 x ∈ X ， M 是 X 的极大真子空间. X 上的线性泛函全体记为 X′ （ X ′ 中元不必连续），显然就点集 的包含关系来讲， X X ∗ ⊂ ′ . 有时称 X ′ 为 X 的代数共轭，称 X ∗ 为 X 的拓扑共轭. 定理 1 （1） E 是 X 的极大真子空间当且仅当存在 f ∈ X ′ ， f ≠ 0， E = N f ( ) ， N f ( ) 是 f 的 0 空间. （ 2 ） E 是 X 的超平面当且仅当存在 f ∈ X ′ ， f ≠ 0 ， E xf x c = = { ; ( ) } ，其中 c 是某个常数. 证明 1 D 若 f ∈ X ′ ， f ≠ 0，考虑子空间 N f xf x ( ) () = { ; 0 = } ， 若W 是线性子空间并且 N f WN f W ( ) ⊂ ≠ , ( ) ，取 x0 ∈WNf \ ( ) ， 显 然 ( ) 0 f x ≠ 0 。 ∀ x∈ X ， 令 ( ) ( ) 0 0 f x yx x f x = − ， 则 f y( ) = 0 ， y Nf ∈ ( ) ， ( ) ( ) 0 0 f x x y x f x = + ，从而 X = span {x0 , Nf W ( )} ⊂ ，即 W X = . N f ( ) 是极大真子空间. 反之，若 E 是极大真子空间，取 0 x ∉ E ， 则 X = span {x0 , E} . ∀ x∈ X ， 1 0 x = + x ax ，其中 1 x ∈ E ， a ∈Φ ，此表达式是唯一的. 定 义 f ( ) x a = ，若 1 0 x = + x ax ，显然 E = N f ( ). 2D 若 E 是超平面，则 Ex M = 0 + ，W 是极大真子空间，由1 D