第14讲凸集的隔离定理 教学目的 介绍凸集的隔离定理及其应用 授课要点 1、超平面的分析表达 2、 Minkowski泛函的定义及属性。 般隔离定理的证明。 4、紧凸集的严格隔离定理 5、 Helly的第一、第二矩量定理 凸集的隔离定理又称为Hahn- Banach定理的几何形式,它在规 划论,控制论与 Banach空间几何理论上有重要的应用。 首先让我们考虑平面上的情况 设A,B是平面R2上两个不相交凸集 则一定可以用一条直线将二者隔离开 来,即存在直线l:ax1+bx2=c,使 得对于A中的每个点(x1,x2) B ax+bx≤c,对于B中每个点 (x,x2),∝x+bx2≥C.(见图) 对于一般线性空间中的凸集,我们有理由提出类似的问题.但是 有两个更基本的问题需要解决:用什么将一般线性空间的凸集隔开? 怎样才算将两个凸集隔开? 定义1设X是线性空间,ECX是某个集合 (1)称E是线性流形,若E=x+M,其中x∈X,M是X 的某个线性子空间1 第 14 讲 凸集的隔离定理 教学目的 介绍凸集的隔离定理及其应用。 授课要点 1、 超平面的分析表达。 2、 Minkowski 泛函的定义及属性。 3、 一般隔离定理的证明。 4、 紧凸集的严格隔离定理。 5、 Helly 的第一、第二矩量定理。 凸集的隔离定理又称为 Hahn－Banach 定理的几何形式，它在规 划论，控制论与 Banach 空间几何理论上有重要的应用。 首先让我们考虑平面上的情况， 设 A, B 是平面 2 R 上两个不相交凸集， 则一定可以用一条直线将二者隔离开 来，即存在直线 1 2 l ax bx c : + = ，使 得对于 A 中的每个点 ( ) 1 2 x , x ， 1 2 ax bx c + ≤ ，对于 B 中每个点 ( ) 1 2 x , x ， 1 2 ax bx c + ≥ .（见图） 对于一般线性空间中的凸集，我们有理由提出类似的问题. 但是 有两个更基本的问题需要解决：用什么将一般线性空间的凸集隔开？ 怎样才算将两个凸集隔开？ 定义 1 设 X 是线性空间， E X ⊂ 是某个集合. （1） 称 E 是线性流形，若 Ex M = 0 + ，其中 0 x ∈ X ， M 是 X 的某个线性子空间