附录二矩阵方程及矩阵不等式 B.1化线性矩阵方程为线性方程组 考虑线性矩阵方程 A1XB1+A2XB2+.+ ApXBp=c B 其中A;∈CmⅫm,B1∈Cn和C∈Cm×为已知矩阵,X∈Cm×为待定未知矩阵。显然,可将(B.1)化 为等价的mn元次方程组 (B.2) 这里m=vecx,vec是将X的n个列向量按原来由左向右的次序由上向下展开成一个mn维列向量的线 性算子(堆积算子),c=veC,G为由A;和B确定的系数矩阵。 为确定G,先研究如何将AXB排成列向量。记 这里b是B中位于i行j列的元素。于是 ecAXB vecX: =(B A)vecX B⑧A叫做矩阵Bx和A的右 Kronecker乘积。类似地定义A⑧B. 将上述结果应用于线性矩阵方程(B1,得G=∑=1(B8A).如果G非奇异,方程(B1)有唯一的 解。若G奇异,且 rank≠ rank[g vecC则方程 GvecX=vecC无解;若G奇异,但 rank= rank[g vecC] 则方程GveX=vecC有无穷多个解。若C=0,则 rank≡ rank vec] 现在考虑方程AX+XB=C.该方程的系数矩阵为G=Ln⑧A+B1⑧In.显然,G可归入更为一 般的形式 (A;B)= GijA·⑧Bj B i,j=0 当p(A;B)中的自变量为标量时 Kronecker积退化为普通的乘积于是定义二元多项式pvx,y)=∑,=0;y 定理B1记A的特征值为λ-(A),B的特征值为μ,(B),r=1,2,,m,s=1,2,…,n,则p(A;B)的特征 值为p(Ar,μ,), 证明:令P∈mm,Q∈n为非奇异矩阵,满足 PAP J1, QBQ=J 其中J1为 Jordan矩阵,其对角线上的元素为A的特征值λ(A).类似地,J2为 Jordan矩阵,其对角线上 的元素为B的特征值μ,(B)由于J为上三角矩阵,其对角线上的元素为x(A),孔为上三角矩阵,其对 角线上的元素为μ(B),⑧J是上三角矩阵,其对角线上的元素为p,r=1,2,…,m,8=1,2, 于是p(J1;J2)也是上三角矩阵,其对角线上的元素为p(r,,于是p(J1;J2)的特征值是p(Ar,p 要得到所需的结果,只要证明p(1;J2)与p(A:B)相似就行了。先证明对于A,C∈Cm×m,B,D∈Cm×n (A⑧B)(CD)=(AC)③(BD) (B.4)￾✂✁✂✄✆☎✂✝✂✞✂✟✂✠✂☎✂✝✂✡✂☛✂☞ ✌✎✍✑✏ ✒✔✓✖✕✖✗✖✘✖✙✛✚✛✜✛✢✖✕✛✗✛✚✛✜✛✣ ✤✦✥✦✧✦★✦✩✦✪✦✫✭✬ ✮ ✯ ✰✲✱✳✯✵✴ ✮ ✶ ✰✲✱✷✶✸✴✑✹ ✹ ✹ ✴ ✮ ✺✰✲✱✺✼✻✭✽✿✾ ❀ ❁❃❂ ❄ ❅ ❆✦❇ ✮ ❈✵❉❋❊✎●■❍ ●✼❏ ✱❈❑❉✲❊✎▲▼❍ ▲❖◆ ✽ ❉❋❊✎●■❍ ▲◗P✦❘✦❙✩✦✪✦❚ ✰ ❉❋❊✎●■❍ ▲✼P✦❯✦❱✦❲✦❙✩✦✪✭❳✲❨✦❩✭❚✲❬✭❭ ❀ ❁✷❂ ❄ ❅✸❪ P✦❫✦❴✦❵❜❛◗❝✿❞✦❡✦❢✫✦✬✦❣ ❤ ✐ ✻✭❥ ❀ ❁❃❂ ❦ ❅ ❧✭♠ ✐ ✻✦♥♦ ♣✰ ❏ ♥♦ ♣✳q❭ ✰ ❵❜❝sr✭t✭✉✭✈✭✇✭①✭②✭③✭④✭✉✦⑤✭❵✭❢✦⑥✭③✭⑦✦✉✭⑧✭⑨✦⑩✭❶✦❡✭r❜❛◗❝◗❷✭t✭✉✭✈✭❵✧ ★✦❸✦❹ ❀❺✦❻❸✦❹❅ ❚ ❥■✻✦♥♦ ♣✽ ❏ ❤ P✦③ ✮ ❈❑◆ ✱❈❑❼✦❱✦❵✦❽✦❾✩✦✪✭❳ P✦❼✦❱ ❤ ❏ ❿✦➀✦➁✦➂✦➃❭ ✮ ✰s✱➅➄❶✦t✦✉✦✈❳➇➆ ✰ ✻➉➈✐ ✯ ✐ ✶➊✹ ✹ ✹ ✐ ▲✛➋ ✾✑➌ ✮ ✰✲✱ ✻➍➈➎▲ ❈ ➏ ✯▼➐❈ ✯ ✮ ✐ ❈ ➎▲ ❈ ➏ ✯➑➐❈ ✶ ✮ ✐ ❈ ✹ ✹ ✹ ➎▲ ❈ ➏ ✯➑➐❈ ▲ ✮ ✐ ❈ ➋ ❧✦♠ ➐ ❈➒ q ✱ ❇✦➓✦➔❜→✵➣↕↔ t✦❵✦❞✦➙❳➇➔q ♥♦ ♣ ✮ ✰✲✱ ✻ ➛➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ➝ ➐ ✯ ✯ ✮ ➐ ✶ ✯ ✮ ➞ ➞ ➞ ➐▲ ✯ ✮ ➐ ✯ ✶ ✮ ➐ ✶ ✶ ✮ ➞ ➞ ➞ ➐▲ ✶ ✮ ❂ ❂ ❂ ❂ ❂ ❂ ❂ ❂ ❂ ❂ ❂ ❂ ➐ ✯ ▲ ✮ ➐ ✶ ▲ ✮ ➞ ➞ ➞ ➐▲ ▲ ✮ ➟➠ ➠ ➠ ➠ ➠ ➡ ♥♦ ♣✰➤➢ ✻➉❀ ✱✷➥✲➦ ✮ ❅ ♥♦ ♣✰ ➞ ✱➥ ➦ ✮✭➧✦➨✩✦✪ ✱➥ ◆ ✮ ❵✦⑤➫➩✷➭ ➯➲♦ ♣➳♦ ➭❃➵❻❳➇➸✦➺✦➻❱✭➼ ✮ ➦✑✱ ❂ ❭⑦✦➽✦➾✦➚✦➪✦➶➔✦✧✭★✦✩✭✪✦✫✦✬ ❀ ❁❃❂ ❄ ❅ ❏✎➹ ❤ ✻✭➘✺ ➒ ➏ ✯ ❀ ✱➒ ➥ ➦ ✮ ➒ ❅ ❂ ➂✦➚ ❤✭➴✦➷✦➬❚❋✫✦✬ ❀ ❁❃❂ ❄ ❅✵➮✦➱❡✦❵ ✃✦❳ ❐ ❤✿➷✦➬❚ ❒ ➭❮➲➳ ❤➅❰✻ ➭❮➲➳▼➈❤ ♥♦ ♣ ✽➋ ❏ ➌✫✦✬ ❤ ♥♦ ♣✰ ✻✦♥♦ ♣ ✽✿Ï✃✦Ð ❐ ❤✿➷✦➬❚ Ñ ➭❮➲➳ ❤ ✻ ➭❮➲➳▼➈❤ ♥♦ ♣ ✽➋ ❏ ➌✫✦✬ ❤ ♥♦ ♣✰ ✻✑♥♦ ♣ ✽✭➮✦Ï✦Ò✦Ór✃✭❳➇❐ ✽Ô✻✭Õ ❏ ➌ ➭❮➲➳ ❤➉Ö ➭❮➲➳▼➈❤ ♥♦ ♣ ✽➋ ❂ ×✭Ø✤✭✥✭✫✭✬ ✮ ✰Ô✴➇✰✲✱ ✻➉✽❖❂❑Ù✫✭✬❵✭❽✭❾✩✭✪P ❤ ✻✦Ú▲ ➦ ✮ ✴✑✱➥ ➦ Ú ▲ ❂ ❨✭❩✭❚ ❤ ❬✭Û✭Ü✭ÝP✭❡ Þ❵✦ß✦à✦á â ❀ ✮■ã ✱ ❅✵✻åä ➎ ❈ æ ➒ ➏✎ç è ❈➒ ✮ ❈ ➦✑✱➒ ➞ ❀ ❁❃❂ é ❅ ê â ❀ ✮■ã ✱ ❅ ❇ ❵➤ë✼ì✦✈✦P✦í✦✈✦î❚ ➩✷➭➯➲♦ ♣➳♦ ➭ ❻✦ï✦❪P✦ð✦ñ✦❵✦➵❻❳ ➔q❱✦➼✦ò✑❞Ó✦óà â ❀ ô✎✾ õ❅▼✻✭➘ä ❈ æ ➒ ➏✎ç è ❈➒ ô ❈ õ ➒ ❂ ö✦÷ùø✼ú û✦ü ✮✭ý✦þ✦ÿ✁￾✂☎✄ ✆ ❀ ✮ ❅ ✝ ✱ ý✦þ✦ÿ✁￾✂✟✞✡✠ ❀ ✱ ❅ ✝✡☛✳✻➍❄ ✾ ❦ ✾ ➞ ➞ ➞ ✾ ❛✝✌☞✷✻➍❄ ✾ ❦ ✾ ➞ ➞ ➞ ✾ ❝✎✍✎✏ â ❀ ✮■ã ✱ ❅ ý✦þ✦ÿ ￾ ✂ â ❀ ✄ ✆ ✾ ✞✡✠ ❅ ✍ ✑✁✒ á✔✓✖✕➉❉✲●■❍ ●❖❏✘✗➉❉✲▲▼❍ ▲❖P➴✦➷✦➬✩✦✪✭❚✔✙✛✚ ✕ ✮ ✕✢✜ ✯ ✻✛✣✯ ✾ ✗ ✱ ✗✢✜ ✯ ✻✛✣✶ ✾ ❆✦❇ ✣✯ P☎✤ ➯➭✥❮➲ ✩✦✪✦❚■❆✧✦✛★✑✧⑦✦❵✦❞✦➙✦P ✮ ❵✧✩✛✪✬✫ ✄ ✆ ❀ ✮ ❅ ❂ ➸✦➺✦➻✦❚ ✣✶ P☎✤ ➯➭✥❮➲ ✩✦✪✦❚■❆✧✦✛★✑✧⑦ ❵✦❞✦➙✦P ✱ ❵✧✩✛✪✬✫ ✞✡✠ ❀ ✱ ❅ ❂ ③ ➔ ✣ ❈ ✯ P✦⑦✧✭★✑✩✦✪✦❚❋❆✧✦✛★✑✧⑦✭❵✦❞✭➙✦P ✄ ❈✆ ❀ ✮ ❅ ❏ ✣ ➒ ✶ P✦⑦✧✭★✑✩✦✪✦❚❋❆✧✦ ★✑✧⑦✦❵✦❞✦➙✦P ✞➒ ✠ ❀ ✱ ❅ ❏ ✣ ❈ ✯ ➦ ✣ ➒ ✶ q⑦✧✭★✑✩✦✪✦❚➇❆✛✦✛★✦✧⑦✦❵✭❞✦➙✭P ✄ ❈✆ ✞➒ ✠ ❏ ☛✳✻➍❄ ✾ ❦ ✾ ➞ ➞ ➞ ✾ ❛✲❏ ☞✷✻➍❄ ✾ ❦ ✾ ➞ ➞ ➞ ✾ ❝ ❂ ➔q â ❀ ✣✯ ã ✣✶ ❅✯✮✦q⑦✧✭★✑✩✦✪✭❚➇❆✧✦✁★✑✧⑦✭❵✦❞✭➙✦P â ❀ ✄ ✆ ✾ ✞✡✠ ❅ ❏ ➔q â ❀ ✣✯ ã ✣✶ ❅ ❵✧✩✛✪✬✫q â ❀ ✄ ✆ ✾ ✞✡✠ ❅ ❂ ✰➹✧✱✧✲✛✳✑❵✦➾✦➚❚✌✴✰✧✵✷✶ â ❀ ✣✯ ã ✣✶ ❅✌✸ â ❀ ✮■ã ✱ ❅✘✹➺✧✺✦➣✼✻✿❳ ❿✵✷✶✦✦➔ ✮ ❏ ✽ ❉❋❊✎●■❍ ●❖❏ ✱ ❏ ✽➅❉✲❊✎▲▼❍ ▲✎❏ ❀ ✮ ➦➇✱ ❅ ❀ ✽ ➦ ✽❅✵✻➉❀✮ ✽■❅ ➦ ❀ ✱✽❅ ❀ ❁❃❂ ✾ ❅ ❦ é ✿