附录二矩阵方程及矩阵不等式 B.1化线性矩阵方程为线性方程组 考虑线性矩阵方程 A1XB1+A2XB2+.+ ApXBp=c B 其中A;∈CmⅫm,B1∈Cn和C∈Cm×为已知矩阵,X∈Cm×为待定未知矩阵。显然,可将(B.1)化 为等价的mn元次方程组 (B.2) 这里m=vecx,vec是将X的n个列向量按原来由左向右的次序由上向下展开成一个mn维列向量的线 性算子(堆积算子),c=veC,G为由A;和B确定的系数矩阵。 为确定G,先研究如何将AXB排成列向量。记 这里b是B中位于i行j列的元素。于是 ecAXB vecX: =(B A)vecX B⑧A叫做矩阵Bx和A的右 Kronecker乘积。类似地定义A⑧B. 将上述结果应用于线性矩阵方程(B1,得G=∑=1(B8A).如果G非奇异,方程(B1)有唯一的 解。若G奇异,且 rank≠ rank[g vecC则方程 GvecX=vecC无解;若G奇异,但 rank= rank[g vecC] 则方程GveX=vecC有无穷多个解。若C=0,则 rank≡ rank vec] 现在考虑方程AX+XB=C.该方程的系数矩阵为G=Ln⑧A+B1⑧In.显然,G可归入更为一 般的形式 (A;B)= GijA·⑧Bj B i,j=0 当p(A;B)中的自变量为标量时 Kronecker积退化为普通的乘积于是定义二元多项式pvx,y)=∑,=0;y 定理B1记A的特征值为λ-(A),B的特征值为μ,(B),r=1,2,,m,s=1,2,…,n,则p(A;B)的特征 值为p(Ar,μ,), 证明:令P∈mm,Q∈n为非奇异矩阵,满足 PAP J1, QBQ=J 其中J1为 Jordan矩阵,其对角线上的元素为A的特征值λ(A).类似地,J2为 Jordan矩阵,其对角线上 的元素为B的特征值μ,(B)由于J为上三角矩阵,其对角线上的元素为x(A),孔为上三角矩阵,其对 角线上的元素为μ(B),⑧J是上三角矩阵,其对角线上的元素为p,r=1,2,…,m,8=1,2, 于是p(J1;J2)也是上三角矩阵,其对角线上的元素为p(r,,于是p(J1;J2)的特征值是p(Ar,p 要得到所需的结果,只要证明p(1;J2)与p(A:B)相似就行了。先证明对于A,C∈Cm×m,B,D∈Cm×n (A⑧B)(CD)=(AC)③(BD) (B.4)
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附录二矩阵方程及矩阵不等式 由A8B=(a;B)=,C8D=(c1Dm=1,知(AB)C8D)的(i,j)块为 BD B4)得证。事实上,该式可推广至下述一般形式 (A1⑧B1)(A2⑧B2)…(A,⑧B)=(A1A2…A2)⑧(B1B2…B2) 于是 Ji8J=(PA'P-o(QBQ-=(PeQ(A'@B(P-8Q-) 在(B.4)中令A=P,C=P-1,B=Q,D=Q-1,得 (PgQ(P-@Q-)=Im In =Im (P⑧Q)-1=P-18Q-1 于是p(J1;J2)=(P③Qp(A;B)(P⑧Q)-,即p(A;B)与p(J1;J2)相似 将这个结果应用于方程AX+XB=C的G阵,知G非奇异,台A(4)+,(B)≠0 B.2 Lyapunov方程 若令B=A*=4,得 Lyapunov方程Ax+XA=C.该方程有唯一的解x,←G非奇异,←→ λ(A)+A,(A)≠0,令→A在虚轴上没有特征值。下面讨论 Lyapunov方程的解的性质 记x(A),6(4)和v(A)分别为矩阵A在左半开平面、虚轴上和右半开平面内的特征值的个数,In(A)= (丌(A),6(A),v(A).关于 Lyapunov方程有下述结果 理B.2设(A,B)为已知矩阵,X满足 Lyapunov方程 AX+XA+BB=0 则(A,B)完全可控,当且仅当6(A)=6(X)=0 证明:设6(A)=6(X)=0,证明(A,B)完全可控。用反证法。设6(A)=6(X)=0,但(A,B)不完全可 控。则存在非零向量m使 E[AI-A B a (AX+ XA+BB a=(A+A)aXa+aBB a=0 A+A=0或 设(A,B)完全可控,证明6(A)=6(X)=0 仍用反证法。设(A,B)完全可控,但8(A)≠0.则存在非零向量a使A"a=jm,m"A=-jum” a"(AX+XA+BB") Jw+ jw)a ' Xa+a BB a=0 B H-WI-A B=0 这说明(A,B)不完全可控。 再设(A,B)完全可控,但6(X)≠0.则因为X是 Hermitian矩阵,必存在非零向量m使xm=0. a"(AX+XA+BB a=a"AX+aXA a+a BB
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§B.3Sch 补 Lyapunov方程右乘m,得 BB 'A(AX+XA+BB)A'a=a A- XA"+a AX(A')'+a' a=0 B·Aa=0 这说明 kerR C B且是A·不变的。于是有 B B"(A")" 上式说明(A,B)不完全可控 定理B3设(A,B)完全可控,X满足 LyapunoV方程 AX+XA+BB=0 则In(A)=In(-X) B3 Schur补 >0 重1 重12重20 0重22-121 >0
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附录二炬阵方程及矩阵不等式
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参考文献 [1]R. E. Kalman. Contribution to the theory of optimal control. Bol. Soc. Mat. MeT.,5: 102-119, 1961 2 Vladimir Kucera. A contribution to matrix quadratic equations, IEEE Trans. Automat. Control, 17(6 ) 344-347 3 K Martensson. On the matrix Riccati equation. Informa. Sci., 3: 17-49, Jan1971 J.E. Potter. Matrix quadratic solutions. SIAM J. Appl. Math., 14: 496-501, May 1966 5 R Redheffer. On a certain linear fractional transformation. Journal of Mathematical Physics, 39: 269-286,1960
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