第七章基于∞优化的鲁棒控制 本章的目的是应用λ∞控制理论解决第1章中提出的关于非结构不确定性的鲁棒镇定问题。我们主 要讨论两种不同类型的非结构不确定性:加性摄动和互质分解的分子分母中均有加性摄动的不确定系统 另外,我们还将讨论用。理论设计分散控制器的问题 §7.1加性摄动系统的鲁棒控制 3711问题的筒化 通过结构图变换并应用小增益定理我们已经证明,闭环系统鲁棒稳定,当且仅当 (a)标称系统(Δ=0)稳定; (b)|Als<‖C(+PoC)-l1 于是,最优鲁棒控制器可通过解下述λ∝控制问题获得 C(I+ PoC)loo 这里S(Pa)是所有镇定Po的控制器的集合。设Po在虚轴上没有极点。在解这个M。优化问题之前, 先将该问题进行化简。考虑图1.18所示的系统。可以证明, = HPo,c) d 其中 H(Po, C) (I+ PoC)-Po(I+CPo (I+ PoC) (I+CPo) 类似于线性分式变换系统的内稳定性的频域表达,可以证明,C镇定P当且仅当传递函数矩阵H(Pa,C) 稳定。进一步可以证明,丑(PoC)∈RM,当且仅当H(P2,C2)∈RH~,这里C2=CI+P1C)-1,P 和P2分别是Po的稳定和反稳定部分,即Po可分解为P=P1+P2,其中P1和P2均稳定。于是闭 环系统鲁棒稳定,当且仅当C2镇定P2,且‖Δ‖<C2(I+P2C2)-圳3.记P2的阶次为π2.从而原 h∞控制问题可简化为 IC2(I+ P2 C: 在一般框架中令 P 2 则有 w2=FIG, K C2)I+P2C2)(-D)=C2(I+P2C2)-1 87.12鲁棒控制器的设计 设P的一个最小实现是 其中A1,-A2稳定,则P2(A2,B2,C2,0)必定是最小实现。G的一个状态空间表达式是
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第七章基于H∞优化的鲁棒控制 由于(A2,B2,C2,0)是最小实现,镇定问题可解。选取F和H使得AF=A2+B2F和AH=A2+HC2 稳定,则可对S(G)进行 Youla参数化,并将原问题化为模型匹配问题。我们有下述结果 定理71设P2和Q2分别是P2。的可控性和可观测性 gramian矩阵。若取 H 则AF=A2+B2F和AH=A2+HC2稳定,且可使T12和T21分别为iner和c- inner矩阵 证明:T12和T21的状态空间表达式分别为 A2+ B2F B2 A2+HC2-H T12为iner矩阵,当且仅当B2x+F=0.,其中X≥0是稳定系统(A2+B2F,B2,F)的可观测性矩阵, 满足 Lyapunov方程 X(A2+ B2F)+(A2+ B2F)X+F"F=0 将F=-B2X代入上述方程,整理后得 X-XB2 B,X 因A2+B2F=A2-B2B2X必须稳定,X是上述 Riccati方程的镇定解。因为(-A2,B2)完全可控, A2稳定,(-A2,B2)的可控性 Gramian矩阵P2>0,即 Lyapunov方程 (-A2)P2+P2(-A2)+B2B2 有正定解P2,←→ Riccati方程 )P21+P21B2B2P2 有正定解。比较(72)和(7.3)可得X=P21.要证明X是镇定解,只要注意到由 Lyapunov方程(72)可 得A2-B2BX A2X就行了。 同理可证,T21为 CO-lmmer, C2l )=0,台→H=-YC2,其中Y=Q2,而Q2是 (C2,-A2)的正定可观测性 Gramian矩阵,满足 于是可将模型匹配问题化为广义距离问题 mn R-QIlao 其中R的一个状态空间表达式为 Q3-A2Q2 Q2 C2 B2P2Q B, P P21B2 由此我们可得以下结果
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楠袆7·§子§1问均题的简化通·过图变·换并小增 证明 请先癌时盘票nc2(F,,这图“集上没极点11 H 简 控H观测 e其以 线毁内颅点城表 d 最化何最化句,P传P,‖递 达, 最化可 化P矩费矩P‖递 最化f。最化何F传砖P递 最化最化P矩P递 这正简 PP域表其 Ly四便才程.所以」Rn小, 最P引把最Pl 于简鲁棒稳定范数条件变行 其中aP简标称系统反稳定部,最小使叫奇异值,由第数章析,知占(叫奇异值比大 小表示了平衡实现某个考维子空间控、观测好坏,若q 头‘说明标称系统反稳定 省较大一求确 称系统反稳定部 控H 极端情况标称 稳定部尽简 白然也就谈宋士善棒稳定了.点 用模型降阶理论投到广义距离8示所基点次优解,写出所有次优解CHC L绑 用上述结果确定所有次优控制器C函 §72互质分解的分子分母中均有加性摄动的对象族的鲁棒镇定 8正规互质分解 若标称对象P左互质r解Po,DN 域表 D1D1达 NM I 称之行正规互质解N cA频。设P05R最
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第七章基于H∞优化的鲁棒控制 其中AH=A+HC,BH=B+HD.容易证明,上述状态空间表达式是最小实现,且满足 1/2 由引理32[NnD1]是 阵,当且仅当 2[D IIBH H] 其中Y是[N1D1的可控性 gramian,满足 Lyapunov方程 将H=-(YC+BDR-1代入上述方程,整理后得广义滤波器 Riccati方程( GFARE) [A-BDR-CIY+Y[A-BD'R-C]-YCR-CY+B(I-DR-DB=0 由于要求AH=A+HC=A-BDR-1C-C“R-CY稳定,Y是 GFARE的镇定解 722问题的描述 P(aA)={n=[D(s)+△N1+△M,△|≤6} 其中△=[△D△N]∈Ha·称P(s,△)是正规互质分解的分子分母中均有加性摄动的对象族。与加性摄 动对象族相比较,P(sΔ)和标称对象P可以有不同的不稳定极点。鲁棒镇定问题仍然是设计控制器镇 定对象族P(s,Δ.关于闭环系统的鲁棒稳定性,有下述结果[? 定理73C鲁棒镇定P(s,Δ),当且仅当C镇定P。且 (I+ PoC)D 在图1.19中若取 P D11|P 则容易证明, Tm:=万(C,K) C(I+ PoC) +PC)-4D11 由逆系统状态空间表达式的公式可得 D1毁4|-R/2 于是 A_HR1/2 B SSR D 由于P(A,B,C,D)是最小实现,K镇定G当且仅当C镇定Po.于是可将这个鲁棒镇定问题归 入一般框架,其中 D D /2 /2
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§7.2互质分解的分子分母中均有加性摄动的对象族的鲁棒镇定 72.3鲁棒镇定问题的解 由可解性条件知,只要D2在整个虚轴上非奇异,在整个虚轴上满列秩,则n。问题可解 Po 然,D2在整个虚轴上非奇异,当且仅当P在虚轴上没有极点此时7|在整个虚轴上满列秩 于是,鲁棒镇定问题的可解性条件是Po在虚轴上没有极点。标幺化处理后的G为 BR SR DR-1/2 1/2 其中R=D12D12=I+DD>0.相应的模型匹配问题为 A+BR-1/2F -BR-1/2F HB12BR-1/2 A+HR-1/2 C|-HR1/2+f T R-12F R-12F R-1/2 C+D-1/2F -DR-1/2F DR-1/2 于是 A+BR-1/2F BR-1/2 R-12FR-1/2|,r2s|A+Bn-12C|-H212+且 C+ DR-1/2F DR-1/2 若取H=HR1/2,则前面已经证明,A+R-112C=A+HC稳定。此时 A+HC 0 是单位阵。T12的D-矩阵满足 Di2D12=R-12(1+DD)R-12=I 若取F使得 (BE1yx+|-12 -1/2p D C+Dr-1/ (BR-123)'X+(DR-1/y 其中X是T12的可观测性 Gramian矩阵,满足 Lyapunov方程 X(A+BR-12F)+(A+BR-1/2p)+ C+DR-1/2FC+DR-1/2F 则T12为 Inner矩阵。将F代入上述方程化简后得 X(A-BRD"C)+(A-BR-D'C)"X-XBR-B'X+C(I-DR- D)C=0 由于A+BR-12F=A-BR-1DC-BR-1BX必须稳定,X是上述广义控制代数 Riccati方程( GCARE) 的镇定解
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第七章基于∞优化的鲁棒控制 原H。问题可转化为MMP T11的状态空间表达式为 A+BR-1/2p-BR-12—HR1 T, sSR A+HC 消去完全不可控子系统A+HC,得 A+BR-1/2 H C+ DR 容易证明, DR-1/2 应用定理39,可将T12扩充为方的 Inner矩阵TL,其状态空间表达式为 A+BR-1/2F-xtC"R-172 BR-1/2 C+DR-12-1/2DR-1/2 (A+B-12(R-12)(C+DR-12) B-12D R-1/2B R 应用串联公式,并消去不可观测子系统,最终可得 A+BR1)-xH+(C+DR-1/2R1/2 SsR R-1/2CX R-1/D"R
ò ó ô õ✁ö✖÷ùø✎ú❯û❝üþý✁ÿ✁✄✂✄☎✝✆✝✞ ✟ û ü✡✠✄☛✝☞✍✌✏✎✝✑✓✒✔✒✔✕ ✖✘✗✙ ✚✜✛ ✢✤✣✤✥✄✦ ✧✩★ ★✫✪✄✧✬★ ✭ ✮✯✦ ü ✧✬★ ★✱✰✳✲✝✴✝✵✝✶✄✷✏✸✝✹✑ ✧✬★ ★✤✺ ✺ ✻ ✼✽✼ ✾✿ ✿ ✿ ✿ ❀ ❁✳❂✍❃✩❄✩❅ ★ ❆ ✭✤❇❈ ✪ ❃✩❄✩❅ ★ ❆ ✭✜❇❈ ✪✱❉✁❊❄ ★ ❆ ✭ ô ❁✳❂ ❉✔❋ ô ❄✩❅ ★ ❆ ✭✜❇❈ ✪ ❄✩❅ ★ ❆ ✭✤❇❈ ô ❋ ❂✳●❍❄✩❅ ★ ❆ ✭✜❇❈ ✪ ●❍❄✩❅ ★ ❆ ✭✜❇❈ ❊❄ ★ ❆ ✭ ■❏ ❏ ❏ ❏ ❑ ▲✍▼✏◆✍❖✝P☞✍◗✝❘❚❙✍❯ ❁✝❂ ❉✔❋✬❱ ❲ ✧✬★ ★ ✺ ✺ ✻ ✼✽✼ ✾✿ ✿ ❀ ❁✳❂✍❃✩❄✩❅ ★ ❆ ✭✤❇❈ ✪✱❉✁❊❄ ★ ❆ ✭ ❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❈❇ ô ❋ ❂✳●❍❄✩❅ ★ ❆ ✭✜❇❈ ❊❄ ★ ❆ ✭ ■❏ ❏ ❑ ❳❚❨✳❩❭❬✳❪ ●❍❫ ✼❵❴ ❄✩❅ ★ ❆ ✭ ●❍❄✩❅ ★ ❆ ✭✔❛❜❫ ✼❵❴ ✪ ●❍❝ ❊❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❊❄✩❅ ★ ❆ ✭❞❛ ❡✝❢✏❣✍❤❥✐ ❦ ❧ ❱ ☞✍♠ ✧❍★ ✭✜♥❚♦✑✍♣✰ ✗✙✙q r✱s✉t ✧✩✈✇❱ ①✏✲✝✴✝✵✝✶✄✷✝✸✏✹✑ ✧✽✈ ✼③②✧ ❫ ✧❍★ ✭ ④ ✺ ✺ ✻ ✼✽✼ ✾✿ ✿ ❀ ❁✳❂✳❃✩❄✩❅ ★ ❆ ✭✜❇❈ ✪✜⑤✔⑥ ❋ ❝ ❊❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❃✩❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❈❇ ✪ ●❍❝ ❊❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❋ ❂✳●❍❄✩❅ ★ ❆ ✭✜❇❈ ❊❄✩❅ ★ ❆ ✭ ●❍❄✩❅ ★ ❆ ✭ ■❏ ❏ ❑ ✧✽✈ ❝ ✺ ✺ ✻ ✼✽✼ ✾✿ ✿ ❀ ✪✽⑦❁✍❂✳❃✩❄✩❅ ★ ❆ ✭✜❇❈✽⑧ ❝ ⑨❄✩❅ ★ ❆ ✭✤❇❈✱⑩ ❝ ⑦ ❋ ❂✍●❍❄✩❅ ★ ❆ ✭✜❇❈✩⑧ ❝ ❊❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❋✽⑤✔⑥ ✪✍❊❄✩❅ ★ ❆ ✭ ● ❊❄✩❅ ★ ❆ ✭ ✪ ❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❃✩❝ ❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❄✩❅ ★ ❆ ✭ ●❍❝ ■❏ ❏ ❑ ❡✝❢✉❶❸❷✏❹ ✹ ❪❸❺✉▲✏▼✏P☞✍❻✝❼✏❘✉❙✍❯❪❸❽❚❾☞❲ ❿ ✼ ✧✽✈ ❝ ✧✬★ ★ ✺ ✺ ✻ ✼✽✼ ✾✿ ✿ ❀ ✪✽⑦❁✍❂✍❃✩❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❈✩⑧ ❇ ❝ ➀ ✪✜⑤✔❉ ❂ ⑦ ❋ ❂✳●❍❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❈✽⑧ ❇ ❝ ➁ ❊❄ ★ ❆ ✭ ❊❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❋✽⑤✔⑥ ➂ ✪ ❄✩❅ ★ ❆ ✭ ❃✩❝ ❄✩❅ ★ ❆ ✭ ●❍❝ ❊❄ ★ ❆ ✭ ■❏ ❏ ❑