第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 8.1多项式的稳定性判据 给定n阶多项式 设它的n个根为s,=1,2,,m,则f(s)可以分解为因子(s-s)的乘积 f(s)=an(s-81)( )(s-8n) (8.1) 给定s平面内一点s,f(s2)的极坐标形式为 f(s)=|f(s”川e 其中f(s)的模|f(s”川和幅角argf(s“)分别为 If(s" ∠(s*-s1)+∠( (8.2)式的几何意义如图81所示。从图中可以看出,当s沿区域D的边界aD反时针方向转一圈时, f(s) f(s2) 图81:8平面内一点.·与f(s)在f(8)平面内的表达 若s;gaD,则∠(s*-s)的增量为 若s;D 由(8.3)式可得多项式的稳定性判据。 定理8.1f(s)的η个根都在区域D内,当且仅当。沿∂D反时针方向转一圆时f(s)的幅角增量为2nπ 这里ωD是区域D的边界. 定理8.1给出了用图解法判定f(s)是否稳定的方法。与直接求根的方法相比较,这种方法的优点在于只 需计算f(),绘出f(s)的图形,这里s∈OD.这仅仅是一个计算问题。而求f(s)的根一般来说没有系 统的方法。对于实系数多项式,即a=[aa1….an-an]2∈R+1,上述结果还可以进一步简化 下面给出实系数多项式 Burwitz稳定性的一个判据。此时D为左半平面,aD={ju:u∈R} 定理8.2( Leonard.- Mikhailov定理)实余数多项式∫(s)的个根都位于左半开平面,当且仅当由0增 至∞时,arg∫(ju)的增量为nπ/2.或等价地,f(ju)反时针方向经过π个象限
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第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 将f(ju)分为实部和虚部:f(ju)=Ref(ju)+jimf(j).对于实系数多项式f(s),我们有 Ref(w (8.4) Imf(w wg(-w 由图8.1显而易见,如果f(s)的根s都位于左半平面,则∠(ja-s;)是的严格单调增函数,从而argf(ju) 是ω的严格单调增函数。再考虑到定理8.2,f(s)稳定,当且仅当f(ju)具有图8.2中曲线的特性。该图描 述的是一个稳定的5阶多项式的f(j)曲线。图中横坐标是h(-u2),纵坐标是g(-u2,wn,4,分别为 图8.2:f(8)稳定时的f(j)曲线 h(u2)和9(-u2)的根,曲线的箭头所指是u增加的方向。为方便起见,记入=42,A;=2,An;=, 仍记g(-):=9(-u2),h(-):=h(-u2).显然有 0<An, 1 <Ag 图83表示了一个稳定的5阶多项式的h(-从)和g(-A)曲线及其根的位置。由上述分析可得多项式稳定 8.3:f(8 Hurwitz稳定时,h(-A)和9(-A)的根的位置 性的 Hermite-Bieler判据,见[?] 定理8.3记An,和An;分别为b(-A)和g(-))的根,这里Ref(ju)=h(-u2),Imf(ju)=wg(-u2) f(s) Hurwitz稳定,当且仅当f(s)所有的余数同号,且(-λ)和g(-)有交错的正根,即 0<A,1<A,1<Ah,2<A,2<A,3< (8.5) 例8.1考虑8阶多项式∫(s)=a383+a282+a18+ω0的稳定性。容易求得M(-)=a0-a2A,g(-))=a1-a3入 于是An,1=a0/a2,A,1=a1/3.由定理88,f(s)稳定,当且仅当a;同号,且0<An,1<A,1,→ 同号,且ωa3-a1a2<0.不难证明,这个条件等价于8阶多项式的 Routh- hurwitz判据
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§8,1多项式的稳定性判据 143 由于3阶多项式的根可以解析地求得,用 Hermite- Bieler判据可以方便地判定阶次不超过7的多项式的稳 定性。当>7时,h(-)和y(-λ)中至少有一个多项式的阶次超过4,求根运算比较困难。所以,虽然 Hermite- Bieler定理可以用来判定任意阶次的多项式的稳定性,但在实际应用时,它不如 Routh- Hurwitz判 据方便,因为用 Routh-Hurwitz判据,可以完全避开求根运算问题。然而,下一节我们将看到, Hermite- Bieler 判据对解决区间多项式族鲁棒稳定性问题却十分奏效 由 Hermite bieler定理,我们还可以导出实系数 Hurwitz多项式的一个重要性质 定理84设实糸数多项式f(s) Hurwitz稳定。则对u∈[0,∞) f(ju)=h(-u2)+g(-u2) 的幅角均是ω的单调增函数,其中(-ω2)=Ref(j),ωg(-u2)=Imf(ju). 证明:由丑 ermita bieler定理,当n为偶数时, Hurwit多项式的偶次项h(s2)和奇次项sg(s2)可写为 8.6 其中 将上式做部分分式展开,则有 K (8.8) t=1 这里 (8.9) 由(87)知K1>0 由argf()=arc==,argf()单调增,当且仅当mm=>0.这等价于 K K 注意到 由(8.11)和(812)可得网络理论中的一个熟知的结果: 当n为奇数时, g(s2)s(82+2)(82+44)…(s2+ h(2)an(x2+42)(s2+3)…(s2+
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第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 其中c满足(8.7) K; (8.15) 这里 同样有 1+ (8.17) 以及(8.13 现在来证明第二个不等式。由 d d 得 d d 上式意味着f1(jω)=k(-u2)+jg(-u2)的幅角单调增 类似地,我们有 dh=“dn+n=“(an 上式意味着f2(j)=(-u2)+ju2g(-u2)的幅角单调增, 定理84描述的实系数 Hurwitz多项式的这个性质在多项式族的鲁棒稳定性分析中将起重要作用。 82区间多项式族的鲁棒稳定性- Kharitonov定理 §8 多项式族 我们用F(s,6)记多项式族 F(s,6)=an(6)sn+an-1(6)sn-1+……+a1(6)s+a0(6), 其中6CR为不确定参数,a1(6)是6的(多变量)函数。 考虑系数a1(6).如果可以把6分解为 其中6:∩6=0,i≠j,且F(s,6)的各个系数a6)只依赖于6,即a(6)=a;(6)则称F(s,b)的系数 是不相关的 a1(6)可以是6的任何函数。我们称例1.4中的p6)为6的仿射( affine)函数,因为p(6)-p是b 的线性函数。称例15中的p(6)为6的多仿射( multi- affine)函数。多仿射函数的特性为:固定6的其余 元素而仅允许一个元素6变化,则p(6)-p0是6;的线性函数。可以证明,当(A(6),B(6),C(6)为区 间矩阵时,相应的传递函数的系数向量一定是6的多仿射函数
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§8.2区间多项式族的鲁棒稳定性- Kharitonov定理 145 22 Kharitonov定理 本节的目的是导出判断区间多项式族鲁棒稳定性的 Kharitonov四角定理。所谓区间多项式族系指形 如 F(s,a)=an afs"+[an-1 an-1]s" +[a1]s+[a (8.18) 的多项式,这里;a表示s2的系数a;(6).显然,区间多项式族(s,a)的各项系数不确切地知道, 仅知道它满足不等式a;≤a1(6)≤硅.我们想判断当a;(6)在区间[a;a]内任意取值而得到的多项式 f(s)是否都 Hurwitz稳定。显然F(s,a)中有无穷多个多项式,直接判断其稳定性是不可能的。下面我们 将用 Hermite- Bieler定理导出区间多项式族F(s,a)的稳定性判据 将F(s,a)亦分为实部和虚部: :=H(-山2) 3a3k2+[aa]4 并定义 g g 则显然有 (-u2)≤%(-u2)≤h+(-u2),g-(-u2)≤9(-u2)≤g+(-u2) (8.21) 由 hermite- Bieler定理,y(s,a)稳定,当且仅当r(s,b)的系数a;(6)具有相同的符号,且H(-u2)和 c(-u2)有正的相互交错的根。记A-,,A+;,A9-,和A+;分别为h(-),b+(-入),g-(-)和g+(-入) 的根。定义下述4个多项式: K1(s)=h*(82)+sg(82)=a0+a18+a282+a38+a48*+a58+a686+ K2(s)=h+(s2)+s+(s2)=a+as+a2s2+a3s3+a4s++ats+as°+ (8.22) 则K1(s)∈F(s,a),i=1,2,3,4.若F(s,a)稳定,则K1(s),i=1,2,3,4都稳定。现在证明,若K(s), i=1,2,3,4都稳定,则区间多项式族F(s,a)中的任何元素都稳定。显然 K1(j)=h+(-u2)+jg-(-2),K2(ju)=h+(-u2)+jug+(-w2) 由 定,知 0<λh+,1<+,1<Ah+,2<A+,2<A+,3<Ag+,3 Ah-,1<g+,1<A-,2<入+,2<Ah-,3< 0<A 见图8.4. 由(8.21)式知曲线族(-入)位于b-(-)和h+(-A)之间,而曲线族9(-)位于g(-)和g+(-入) 之间。由于H(-)和h(-)以及h+(-)的阶次相同,无论a如何取值,(-))和h-(-)以及h+(-入)
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第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 的根的个数总是相同的。记n,为多项式(-入)的根,则有 A五+,1<Ah+,2<Av,2<A-,2<Ah-,3<Ax,3<A+,3< (824) Ah+,4<Ax,4<Ah-,4< 同理有 0<g-,1<,1<A+,1<A+,2<,2<Ag-,2<A-,3<M,3<A+,3< (8.25) g+,4<A 这里AG,为多项式9(-入)的根。由(8.23),(8.24)和(8.25)可得 0<入x,1<Ac,1<Ax,2<Ag,2<Ax,3<,3< (826) (8.26)说明,无论a;在[a+1内如何取值,相应的多项式的实部和虚部都有相互交错的正根。图84 中的粗实线标出了(-)和9(-)的根的位置。于是(s,a)稳定。我们将上述分析得到的结果用定理 图8.:K1(s(sK3(和阻(84第/多,嘁喲,喲,槭鹚,檥稳特熃置 8.5元一总结 仅理讳化间硕式F(s,a)间矩阵时,当传向当K;(s),i=1,2,3,4,阵时 上述分析方法在控制文献中又被称为鲁棒性检验法。该方法的思想是从给定的多项式族F(sa)中寻找 个子集厂∵,使F(sa)的鲁棒稳定性与厂的鲁棒稳定性等价。如果∮是(s,a)的真子集,就可以简化
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§83值集和除零原理 147 原来的问题。 Kharitonov定理说明,对于区间多项式族F(s,a)而言 F={K1(s),K2(s),K3(s),K4(s) §83值集和除零原理 §831值集 给定一个多项式f(s)=∑n0a182,其系数a;都是已知常数,则对复平面内任意一点s,f(s)亦是复 平面内一点。如果系数a;是某一不确定性参数b的函数a;(6),而b属于参数空间中的一个子集26,则当 6在26中取值时,得到一族多项式,记为(s,6)=∑}≌。a;(6)s2.此时,对复平面内任意一点s,F(s",b) 是复平面内的一个子集,记为r(s,6).I(82,b)叫做F(s,6)在8“处的值集( Value set,).它的意义是多项 式族F(s,6)在s处取值的集合。显然 r(8,6)={z:z=f(s),f(s)∈(s,6)} (8.27) 88.32除零原理 如果an(6)≠0v6∈ss,则F(s,6)为n阶多项式族。在这种情况下,可借助于值集的概念分析F(s,6) 的鲁棒稳定性。具体做法如下 令8=jω,计算rij,6),v∈[0,∞)由于degF(s,b)=n,由推论82知,F(s,b)鲁棒稳定,当且 仅当从0增至∞时, arg rga,6)的增量为n丌/2.上述分析可归纳为除零原理 定理8.6设an(δ)≠06∈!s,且r(jω,6)为连通集。则F(sδ)鲁棒稳定,当且仅当 1.F(s,6)中至少有一个元素f0(s)稳定; 2.0 E r(w,b),vu∈[0,∞) 证明:必要性显而易见。这是因为,如果F(s,6)稳定,则对所有的s=j以及b∈2,F(8,6)≠0.于是 0 Er(w, 8) 现在用反证法证充分性。设0g(j,6),且有一点f(s)∈F(s,6)稳定,但仍存在f1(s)∈F(s,6)不 稳定。因为rj,6)为连通集,存在一条连续曲线c()cr(,b),这里l∈0,1为参数,c()将,1 映射为连接f(j)和f1(ja)的连续曲线,且c(0)=f(j),yc(1)=f1(ja).当l由0连续的变为1时, f(s)由稳定的多项式fo(s)连续的变为不稳定的多项式f1(s).由于多项式的根是其系数的连续函数,当 f(s)由稳定变为不稳定时,至少有一个根穿过虚轴。于是存在0u,argK1(ju)>0,argK4(ju)> 这意味着联结k4和k1的直线段不再与实轴平行。这是不可能的。所以,区间族不鲁棒稳定的假设不能 成立
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第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 A1 图85:区间多项式的值集 k 图8.6:原点穿过区间多项式值集的边界 §83.4区间多项式族的值集 为给以后的研究打下基础,我们将用泛函分析的方法证明区间多项式族的值集是以4个 Kharitonov 多项式为顶点的矩形 我们先把F(s,6)等价地表示为系数中有范数有界的不确定参数的多项式族的形式。定义 0,1 (8.29 则区间a可表示为 于是系数向量a(6)可表示为 ws 其中 lag [6o61 最后可把区间多项式F(s,6)表示为 F(,6)=6(s)+∑f(s)
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§83值集和除零原理 149 这里δ;是δ的第讠个元素,f(s)是 z(s)=[ 第i个元素第八是章(s奢)可项式族的系鲁是棒積定鲁性分的析/鲁6的仿k鲁的多1式2第棒稳 定鲁性分38·565区≤646=0多项到的多1式f(s)式 )的集称值第6原f(s)=章s4穿 6=1多,项到边界8多1式2第364区是间保多项+1 鹅值案 的给以(各后边的研究下)析3的础 值集为的们将第用鄣豸)泛可式族的 章(s)=(分析n6n)s"析(分-1析Dn-16n-1)s"析淞分析161)析(分析06)多(1书证 明族565区≤64间这间多里,项式族6=14八是,值八集3s是个a4值山 a(s,)=rioi=f(s是析vf(s,;多点点1矩 (1形 先 把 a(s题) f(s题,多点1矩多 (1坐万 区性 把 把 a(s,)=f(s是析a(s,).把 把 (11) 容(把,,a()是6八边)值称的等价地表第示项,系数中有a(2题)的边分a(题)4即可范界 (s题)4/先确 多 (149) 把 2(=) a 可等、9式族的把 确)=则确=6多踊。区 项式间 可 a(s)的极≤集式3式萧族于[癱‖量是砸 面g)的间个等 最 的夹角是, rank T≠mk[T于区集程6=B于系性穿(=0多才性解第八 是间孩这个集}上,Oa(s题)的0 于呕区集程 B()能性无穷多个解第 但间条件55区≤1的约束我,示性B(W都是性分第.取m(W是优化间题 =量则少 子移565区 (141) 的解,区析难理解,间于这 集 个}上 (s,)=m()于 先考虑s是0多的值h第此多 定60=B(形多55区≤1矩 原,优化问题(48)的限制条件是间个线性美程第该程性间个未知鲁64用性两个集程第由线性代鲁 胡知识,穿且仅穿0m 性相6多,即V=04nW=x多性解0=±14八是s是0多的值L 题)的边分的-040用a(0奢)=[ 间考虑s是 先 (144)
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150 第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 这里θ=∠t,则 则由于U非奇异 6=(6) 6=B(6),u26=0 于是 46 =suD{u5:6=0 (846)是一个在约束条件v26=0和|6=1下的优化问题。为方便起见,先不考虑约束条件v26=0, 此时(8.46)退化为优化问题 (0)=sup i lu2 给定u,u∈Rn+1显然是已知向量。对于任意6∈Rn+1,都有唯一的u6∈R与之对应。于是u26定义 了R"+1到R的一个映射 f(6)实际上是一个线性多变量函数,也称为(有限维线性空间上的)线性泛函。f的范数,记做‖f,定义 为 f 这里的‖实际上是f(6)在∞范数意义下的增益。显然,优化问题(??)求的正是泛函f(6)的范数川f‖ u6|∑| mx{|611·∑|kl=|lul=lul (8.50) 得‖∫≤‖ul,即‖u‖l是‖f‖的一个上界。若取 这里sig()是符号函数 则‖6‖=1,且|u2b|=|ull.这说明‖ll是‖f的可达到的上确界。于是 If=u| 现在考虑约束条件υ6=0.不失一般性,设υ≠0.则y:=Span{v}是Rn+的一维子空间。v26=0等 价于6∈y,即6属于ν的正交子空间。记
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