第九章区间对象族系统的鲁棒稳定性检验 本章的目的是将区间对象族系统的鲁棒稳定性问题化为系数中有∞范数有界不确定性的多项式族的 鲁棒稳定性问题。证明在任意阶控制器下的32棱边定理,在一阶控制器下的16顶点定理 §9.1问题的提法 在图12中设P(s,6)为区间对象族 P(s,6)={P(s):P(s)= 0[67 bf]s3 (9.1) 控制器C(s)的传递函数为C(s)=NC(s)/Dc(s),其中控制器的分母和分子多项式分别为 +c1s+co,Nc(s)=d1cs"°+ωnc-1s"-1+…+d1s+do,(9.2) 则闭环系统的特征多项式为 F(,6)=Dc()∑吗吋+N()∑ (9.3 闭环系统的鲁棒稳定性等价于多项式族F(s,δ)的鲁棒稳定性。如果多项式族F(s,δ)中每个元素都稳 定,则称控制器C(s)鲁棒镇定P(s6)记a(6)=四a吋b(6)=]并用Nc(s)和Dc(s)的系数 d和c;定义矩阵(n+1+n)×(n+mc+1) Sylvester结式( Resultant) 0 S do d1 则闭环系统的特征多项式F(s,6)的各项系数acl(6),1=0,1,2,…,n+nc,可表示为 g(6)=a2(6)b2(6)·S (6) ac(6) a(6) b(6) 上式意味着特征多项式F(s,6)的系数ac1(6)是a(6)和b(6)的线性组合。虽然a(6)和b(6)为各自独 立的区间,aen(6)也不再相互独立。于是,F(s,6)不是区间多项式族。原有的分析区间多项式族鲁棒稳 定性的方法不适用。建立一套适用于区间对象族控制系统的鲁棒稳定性分析的方法,是本章的内容
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第九章区间对象族系统的鲁棒稳定性检验 892 Overbounding及其保守性 本节将以一个例子说明如何通过 Over bounding方法化F(s,b)的鲁棒稳定性问题为区间多项式族的 鲁棒稳定性问题,并指出这种方法的保守性 例91考查图1.g中的余统,其中 P(s,6)= 2] 82+[2488,17.512]s+[8488,24512] C(s)=(38+2)(s+5) 按照前面的定义,标称对象为 P0(s) 容易证明,标称闭环糸统的特征多项式为∫(s)=s3+18s2+73s+85.5,其根为-12.8294,-2.7245,-2.461 从而C(s)镇定P(s).闲环亲统的特征多项式为 (s,6)=fo(s)+(40.066D,0+14.0246N,)+(37.566,1+8.0126D,0+21.0366N,)8+7.5126D,1s2(9.5) 二ba 其中δ=[6D6D,16No],‖|6‖。≤1.由(9.5)得 40.0600 014.02406D0 6a1=8.012037.560021.03606D (9.6) 07.5120 ON 当δ;都取-1时,a;取最小值;而当6;都取+1时,δα;取最大值。然而,由于α;必须满足 (9.0),它们不能独立地在各自的最小值和最大值之问取值。所以,F(s,6)不是区间多项式族。在3维 空间[6D。6D,16x0]中,‖‖≤1是由6个平面6D,=±1,6D,=±1和6N0=±1所界定 正方体的内部。由于[aoam1a]'和 &ao Sa16a之间是线性变换的关亲,在3维空间中, 6N,d]位于平 0.0288-0.0192009606a 0.00000.00000.1331 0.01100.0549-0.2743 0.0288-0.01920.0960 0.00000.00000.1331 (9.8) 0.01100.0549-0.2743 所界定的平行多面体内,而该区域是8维长方体 54.0840 54.084 7.5120 上述分析表明,对于系数不是相互独立的多项式族,可以通过oeυ ounding的办法把它的糸数所在 的区域嵌入一个立方体内。这样儆势必带来保守性。为使保守性减至最小,应寻找最小的超立方体。对于 我们正在研究的例子来说,(9.9)式中的盒子就是包含以(9.7和(9.8)式中6个平面为表面的平行6面 体的最小立方体。相应地,可以考察区问多项式族 (s,8)=f0(s)+54.08460+660818+7127232,同」1
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§93值集 的鲁棒稳定性。若(s,δ)稳定,则原多项式族(sδ)稳定。然而,厂(s,δ)的一个角是 2]=[54.084-66.608-7512] 相应的特征多项式是 f(s)=s3+10.4882+6.3928+139.584 其根为-11.0523和0.2822±j3.5426.从而(s,6)不稳定。我们以后将会证明,整个多项式族(s,6)是 稳定的。这个例子说明用συ abounding的办法可能得到保守的结论。这一方面说明κhaπioπoυ定理在实 际应用中的局限性,另一方面也要求人们建立新的理论,以克服这些局限性 般情况下,给定Ω。,闭环系统特征多项式的系数ac(6)的取值范围为 2A={a(6):b∈} 即使是∞范数有界的δ的集合,因为δ和a-(6)的维数可能不同,确定!5c也不像本例那样简单, 见本章问题 §93值集 稳定性检验的思路是先确定多项式族的值集,再检验产生值集边界的多项式的稳定性。为此,我们先 确定区间多项式族系统特征多项式族的值集。定义 UD (9.10) 则a(6)和b(6)可等价地表示为 a1a+] D,|≤ b(6)=[=b+x6x,x 于是P(s,6)的参数向量p(6)可表示为 p(6)=a(6) (9.12) b(6) 这里 an,bo=[bb1…bn-1]r 6=6b6N,|6|s≤1 P(s,6)又可表示为 P(6)={P():PsA()+∑=bmx6si6ls≤1 o(s)+∑0Un,s6D, 记B(s)=No(s)/Do(s)为标称对象。闭环系统的特征多项式又可表示为 r(,6)=De()Dn()+my]+Mc(0()+am;e6 (9.18) fo()+∑+f1(s)
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第九章区间对象族系统的鲁棒稳定性检验 这里 fo(s)=Dc(s) Do(s)+ Nc(s)No(s) (9.19) 标称闭环系统的特征多项式,6为6的第j个元素,f(s)是向量 WD, oDc(s)wD,1sDc(s)wD,282Dc(s).. WD, ns"Dc(s) c(s WNisN 的第j个元素。不失一般性,设标称对象P(s)=M(s)/D0(s)是可镇定的,C(s)镇定P(s).于是 f(s)=f(s,0)稳定 考虑(9.18)式定义的多项式族f(s,5).这种形式的多项式族又被称为多项式多面体(Poly tope).令 并定义 Re 这里 f; 1,2,,27+1 于是,F(j,5)的值集I(j,6)为 r(ju,6)={ fo+z16,‖{6|≤1} (9.21) 其中fo=[Im6()Re)2=[(-u2)ho(=u2)].为方便起见,仍考查值集 T(w, 6)=r(w, 6)-fo ll≤1} (jωδ)显然是一个单连通域。只要确定了边界就可以完全确定r(,δ).类似于区间多项式,r(j,6)的 边界or(ju,b)的极坐标表达式可用下述方法确定 给定R2中任一单位向量t=[ sin g cos a,6 2x),则t定义了R2中一个方向。在这个方向 上,ar(j,b)=m(θ)t,其中m(6)是优化问题 mn(6)=su{B:z16=t,‖|6|≤1} 的解。这与前一章中的优化问题(841)属于同一类型,差别仅在于z显然Z1=[zDzx],其中 wD,owgD WD, 1whD Wp,2w'gDc -WD,3whpc 这里gD。,A,9N。和hN分别为Dc(ja)和NC(ju)的虚部和实部,即: Dc(ju)=hp(-w2)+jwgD(-w2), Nc(w)=hN(-w2+jun(-w2) 于是 +ault 其中 UzI
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§93值集 而Uo是用θ=∠t定义的旋转矩阵,见(8.44) 设∫;是矩阵z工的一个列向量。显然Z2中所有向量仅由4个不共线的向量所产生。这4个向量是 f f f 若定义 WD.0+ WD, 2w-+WD4w+ ,g=D,1+uD,3u-+D,5u1+ (9.26) 6Nh=UN,0+N2u2+UN,44+ 以及 fNa,1①N,h,∫ 则有 (9.28) 这里 们 16 其中子:∈{±fD。,1,±fD=,2,±fN,1,±Na,2}.下面将会看到,我们可根据C()的相位和向量t的位 置确定∫;的编号顺序,使g;满足相位关系 (9.30) 然后可以确定函数r(a)的表达式,并由此确定m(6) 注意,6D,h=6D,(j),6D,=6D,(ja),这里 6 6D,(a)=UD,1-UD,3s2+n.s:4-UD,7s5+ (9.31) 于是Db(s)±6D,A(s)±s6D,(s)是P(6)的分母的4个 Kharitonov多项式: D1(s)=Db(s)+6D,()-s6D,(s),D2(s)=D(s)+6D,h(s)+s6D,g() D3(s)=Do(s)-dDh(s)+soD,g(s) D4(s)= Do(s)-dD, h(s)-soD, g(s) 同样,N0(s)±6xh(s2)±s6N(s2)是P(s,b)的分子的4个 Kharitonov多项式 N1(s)=N0(s)+6N,(s)-s6N,g(s),N2(s)=No(s)+x,h(s)+so6N,g(s), (9.33) N3(s)=N0(s) soN, g( s N4(s)=N0(s)-6N,h(s)-s6N(s) 由∫b。,fD=0,知fD2⊥fDa,1.再由 n(∠fne,2-∠fe,)= 知4fDe,2=∠fDe,+.同理可证,∠fN,2=2fNe,+进一步还有 n(4-n,)==1m=(gc(u) COS f ∠fDc, cos(arg C(jw)) 从而厶∫Na,1-厶∫De,=argC(ju).根据控制器的相位argC(jω)可以确定值集r(s,6)下面将分4种情 况进行讨论
Ð Ñ Ò Ó✒Ô✒Õ Ö × Ö Ø❨Ù✍ÚÜÛ✘Ý➋Þ❜ß✩à áãâ✴ä✘å❭æ✴ç✴è✩é✴ê✔ë➏ì í î ïï ð î ñ❨ò✍ó Û➋è✩é✔ô✝õ✴å✼ö✼÷✴ø✭ù✛ú✒û✔ü✴ý➏ô✝õ✭þ✛ÿ✁✭ù✛ú✁✂☎✄ ï→÷✝✆✟✞✝✠✘å✒ù✛ú✘ÿ✝✡✝☛✒û✌☞➵ï❆÷✭ù✛ú✴Û ò✎✍✑✏✓✒ ✔ ß✖✕✘✗✑✙✍✑✏ ✚✍✑✏✜✛✣✢ ò✤✍✑✏✓✒ ✥ ß✖✕✦✗ ✚✍✑✏ ✧✗ ✥ ✙✍✑✏★✛☎✢ ò✤✩✎✏✓✒ ✔ ß✖✕✘✗✑✙✩✎✏ ✚✩✎✏✪✛☎✢ ò✤✩✎✏✓✒ ✥ ß✖✕✜✗ ✚✩✎✏ ✧✗ ✥ ✙✩✎✏★✛✬✫ ì × î ✭ ✮ ð ✯â✴ä✱✰✍✲✒ ✳ ß✁✴✍✲✒ Ú✑✵✬✴✍✲✒ ✥ ✗ ✥ ✵✬✴✍✲✒ ✶✗ ✶ ✵✟✷ ✷ ✷ ✢ ✰ ✍✲✒ ✸ ß✟✴✍✲✒ ✔ ✵✹✴✍✲✒ ✺ ✗ ✥ ✵✹✴✍✲✒ ✻ ✗ ✶ ✵✟✷ ✷ ✷ ✢ ✰ ✩✑✒ ✳ ß✁✴✩✑✒ Ú✲✵✹✴✩✑✒ ✥ ✗ ✥ ✵✬✴✩✑✒ ✶ ✗ ✶ ✵✟✷ ✷ ✷ ✢ ✰ ✩✑✒ ✸ ß✁✴✩✑✒ ✔ ✵✹✴✩✑✒ ✺ ✗ ✥ ✵✬✴✩✑✒ ✻ ✗ ✶ ✵✟✷ ✷ ✷ ✢ ì × î ✭ ✼ ð ✽✹✾ ✿ ò✎✍✑✏✓✒ ✔ ß ò✤✍✑✏✓✒ ✔ ✰ ✍✲✒ ✳ ✢ ✿ ò✤✍✑✏✓✒ ✥ ß ò✤✍✑✏✓✒ ✥ ✰ ✍✲✒ ✸ ✢ ✿ ò✤✩✎✏✓✒ ✔ ß ò✤✩✎✏❀✒ ✔ ✰ ✩✑✒ ✳ ✢ ✿ ò✤✩✎✏✓✒ ✥ ß ò✤✩✎✏❀✒ ✥ ✰ ✩✑✒ ✸ ✢ ì × î ✭ ❁ ð ❂ ❃ ì ❄☞ð☞ß❆❅ ❇❈✵✹❄✎❉✑❅ ✔ ß ✶ ❊ ó ❋✤✔✲● ❄ ✿ ❍ ó ✵ ✿ ■ ó ● ✢ ì × î ✭ í ð ☞✁❏ ✿ ❑ ó✎▲ ß✖✕ ✿ ❍ ó ✿ ■ ó▼✛ ß✒Ù✍Ú ✿ ò✍ó ✢ ◆ ß Ö ✢ ✭ ✢ ❖ ✢ ï ✢ ì × î ✭ × ð Pþ ✿ ò ó✎◗✹❘✎❙ ✿ ò ✍✑✏✓✒ ✔ ✢ ❙ ✿ ò ✍✑✏❀✒ ✥ ✢ ❙ ✿ ò ✩✎✏✓✒ ✔ ✢ ❙ ✿ ò ✩✎✏✓✒ ✥✤❚ î✑❯✁❱✟❲✁❳✁❨✁❩✒ê❈❬✝❭✁❪✟❫✝❴✪❵✉ì ❛✗ ðÜå✬❜✁❝✁❞✭ù✛ú➋áPå✬❝ ❡✝❢â ✿ ò✍ó å✟❣✟❤✁✐✝❥✘ê✌❦ ✿ ❑ ó✎❧✝♠❜✁❝✁♥★♦ ♣▼q à ✿ ❑ ✔ q à ✿ ❑ ✥ q à ✿ ❑ ✺ q à ✿ ❑ ✶sr✟t ✫ ì × î ❖ ♣ ð ý✁✉✝❪★✽ ❢â✝✈✟✇ ❃ ì ❄☞ð❜å✬①✁②✁③✒ê✌④☎✄❈⑤❢â⑦⑥✛ì Þ ð î ⑧✟⑨ê ✰ ✍✲✒ ✳ ß ✰ ✍✲✒ ✳ ì ❛✗ ð ⑩ ✰ ✍✲✒ ✸ ß ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❛✗ ✰ ð ⑩✓☞✁❏ ✍✲✒ ✳ ì ❶ ð❨ß❷✴✍✲✒ Ú ✧ ✴✍✲✒ ✥ ❶ ✥ ✵✬✴✍✲✒ ✶ ❶ ✶ ✧ ✴✍✲✒ ❸ ❶ ❸ ✵✁✷ ✷ ✷ ✢ ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❶ ð❨ß❷✴✍✲✒ ✔ ✧ ✴✍✲✒ ✺ ❶ ✥ ✵✬✴✍✲✒ ✻ ❶ ✶ ✧ ✴✍✲✒ ❹ ❶ ❸ ✵✁✷ ✷ ✷ ✫ ì × î ❖ Ö ð ❺✼Û✜❻❜Ú ì ❶ ð ❙ ✰ ✍✲✒ ✳ ì ❶ ð ❙ ❶ ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❶ ð✝Û✜❼Pì ❶ ✢ ❽ ð☎å✬❾✁❿✒å ïP÷✜➀➂➁➃➄ ➅ ➆ ➇➈➇➉➋➊✟➌✁③★➍ ❻✔ ì ❶ ð☞ß✝❻❜Ú ì ❶ ð✤✵ ✰ ✍✲✒ ✳ ì ❶ ð ✧ ❶ ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❶ ð ✢ ❻✥ ì ❶ ð✝ß✁❻❜Ú ì ❶ ð✤✵ ✰ ✍✲✒ ✳ ì ❶ ð✤✵✬❶ ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❶ ð ✢ ❻✺ ì ❶ ð☞ß✝❻❜Ú ì ❶ ð ✧ ✰ ✍✲✒ ✳ ì ❶ ð✤✵✟❶ ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❶ ð ✢ ❻✶ ì ❶ ð✝ß✁❻❜Ú ì ❶ ð ✧ ✰ ✍✲✒ ✳ ì ❶ ð ✧ ❶ ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❶ ð ✫ ì × î ❖ ✭ ð ➎✹➏ê⑦➐ÜÚ ì ❶ ð ❙ ✰ ✩✑✒ ✳ ì ❶ ✥ ð ❙ ❶ ✰ ✩✑✒ ✸ ì ❶ ✥ ð☞Û✜❼Pì ❶ ✢ ❽ ð☎å✬❾✁➑✒å ïP÷✜➀➂➁➃➄ ➅ ➆ ➇➈➇➉➋➊✟➌✁③★➍ ➐✔ ì ❶ ð☞ß✝➐ÜÚ ì ❶ ð✤✵ ✰ ✩✑✒ ✳ ì ❶ ð ✧ ❶ ✰ ✩✑✒ ✸ ì ❶ ð ✢ ➐✥ ì ❶ ð✝ß✁➐ÜÚ ì ❶ ð✤✵ ✰ ✩✑✒ ✳ ì ❶ ð✤✵✟❶ ✰ ✩✑✒ ✸ ì ❶ ð ✢ ➐✺ ì ❶ ð☞ß✝➐ÜÚ ì ❶ ð ✧ ✰ ✩✑✒ ✳ ì ❶ ð✤✵✬❶ ✰ ✩✑✒ ✸ ì ❶ ð ✢ ➐✶ ì ❶ ð✝ß✁➐ÜÚ ì ❶ ð ✧ ✰ ✩✑✒ ✳ ì ❶ ð ✧ ❶ ✰ ✩✑✒ ✸ ì ❶ ð ✫ ì × î ❖ ❖ ð ✄ òõ✍✑✏✓✒ ✥ ò✤✍✑✏✓✒ ✔ ß ♣ ⑩ ➒ ò✤✍✑✏❀✒ ✥ ➓❜ò✤✍✑✏✓✒ ✔ î✎➔☎✄ → ➅➈➋➣ à ò✤✍✑✏✓✒ ✥ ✧ à ò✤✍✑✏❀✒ ✔ ↔ ß ✗ ✚✍✑✏ ✚✍✑✏ ✵ ✗ ✥ ✙✍✑✏ ✗✑✙✍✑✏ ↕ ↕ ò✎✍✑✏✓✒ ✥ ↕ ↕ ✥ ↕ ↕ ò✤✍✑✏❀✒ ✔ ↕ ↕ ✥ ß Ö ➒❨à ò✎✍✑✏✓✒ ✥ ß✩à ò✤✍✑✏❀✒ ✔ ✵➛➙✥ î ➎✹➜❪✟➝✒ê➏à ò✤✩✎✏✓✒ ✥ ß✩à ò✤✩✎✏✓✒ ✔ ✵➛➙✥ î✎➞✘ö✟➟✁➠✁ → ➅➈➋➣ à ò✤✩✎✏❀✒ ✔ ✧ à ò✎✍✑✏✓✒ ✔ ↔ ß ✗✑✙✩✎✏ ✚✍✑✏ ✧ ✚✩✎✏ ✗✑✙✍✑✏ ↕ ↕ ò✎✩✎✏✓✒ ✔ ↕ ↕ ✥ ↕ ↕ ò✤✍✑✏❀✒ ✔ ↕ ↕ ✥ ß → ➅➈Üì ➃➄ ➡✲❵✉ì ❛✗ ð ð ✢ ➢ ➇ → ➣ à ò✤✩✎✏✓✒ ✔ ✧ à ò✤✍✑✏❀✒ ✔ ↔ ß ✚✩✎✏ ✚✍✑✏ ✵ ✗ ✥ ✙✩✎✏ ✙✍✑✏ ↕ ↕ ò✩✎✏✓✒ ✔ ↕ ↕ ✥ ↕ ↕ ò ✍✑✏✓✒ ✔ ↕ ↕ ✥ ß ➢➇ → ì ➃➄➡➤❵✉ì ❛✗ ð ð ✢ ➥Ø à ò✤✩✎✏✓✒ ✔ ✧ à ò✤✍✑✏❀✒ ✔ ß✝➃➄ ➡✲❵✉ì ❛✗ ð î➤❫✝❴✝➦✝➧✝➨✩å✟❜✝❝✜➃➄➡✎❵✉ì ❛✗ ð➂❪❆✽ ❢â✁➩★➫➯➭➲ ì ❶ ✢ ❽ ð î➤❯✝❱✁❲✝❾➏ï✘➳✝➵ ➸➞✁➺✁➻✁➼✒û
90第九章区间对象族系统的鲁棒稳定性 榴这 第象 栋0称环系的特9额项式,6,为6,第称个元素9多22 T 标取0s)=D 是向量 失 设由9象P,/可镇9魏玺意特p1与稳,考虑是8义族种形又,第称体特 D D 量是 (R 值集 对} 其中 g特D与稳,虑方特素9多 见是 第j称个 象P失∞查失敢块A份查x查失鹦/闭要方界就以 类似区间增棘中9极坐表0然查-查然查般蜜4绷下闭界就述法给R处任位特可cD gT查,便给 森上通m单上·单 查显查n查一 在失在通帝比上m,单服C企查 斜 着在上/通 查-查查只 优 象P为6 失3一解失“黼1觞一失性的一 优 体 失同通失别 单差显 设”查仅可表 r查失媸单一查与-查查一蛾1士性一前 緯 易4证特 D优 题 失"D1,6D分mn,,6D分D,r如嘘mD,rδ 般失今、分 分 虚 失p,16 9绁 失 D 虛尤,r岬虚 失vD1D 5优分D,6虚D,8D虚 失:42吗,“吗2批,虚 ④D+,14D优 D优D优D优
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与定理88类似,可以证明,若t属于扇形区域 则mn(6t= infeR T(a)t满足 即m(t位于联结向量子和子的直线上,如图9所示,t位于由和,所夹的扇形区域S内, 则m(t位于联结向量f3和f4的直线上 当∠fD,1≤∠t<∠fNn,1时,可取 f1=∫Nc,1,f2=fD,2,∫3=f 并将r(a)也化为(9.35)的形式。容易验证,此时 f,=fDc 8D, h+fNo,(-&,n)+fDc. 2(Sp, g)+fNc, 2 (oN,g) f? Dc dD, h+fN,ON, A+fp, 2(aD, g)+fN,(dN,g) Dc Dc,(-oD, h)+fNc,dN,h+fDc,28 fr=fD 1(SD, h)+fNc,(SN, h)+fpc, 2(-8D, 3)+fNc,28N, g )+fDe,2(-6D,y)+fNe,2(-6N,g) 将(9.39)与(9.42)相比较,可知两个式子中是同样的向量,只不过编号不同。可以证明,当t位于其它任 意两个向量之间时,适当地定义f1,总可将r(a)化为(9.35)的折线函数的形式。于是 定理9.1值集I(jω,6)是以(9.39)中的8个向量∫;为顶点的平行凸8边形 f1 S4 fa 图92:C(j)在第I象限时的值集
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第九章区间对象族系统的鲁棒稳定性检验 由(9.25)和(9.39) f,=fp(8D,n)+fN )+f (-6D,h)+ wgNo w(gpc SD, h +gNC SN,A+hpc&p, g+hNc&N 3) ipcop, h-hNcONh+w-gpcoD, g+w-gNcdNg 由(9.31)可得 Dc(jo) [-Sp, h(w)-jwoD g (w)+ Nc(jw)[-&N, A(w)-jwoN, g (jw)] Thpc jugpa[-5ph-jwoD, g]+[hNc +]][-5N,h-jwaN Ju(9D c&D, g+ hNc&N,g) (9.44) 比较(9.43)和(9.4)并考虑(9.32)和(9.33,可以看到f+f1的两个分量分别为(DcD4+NMCN4)(j4) 的实部和虚部。于是f。+f1对应于P(s,6)取值为 P1,(s) N4(s) 时闭环系统的特征多项式。同理可证,f0+f,j=1,2,8依次对应于P(s,6)取值为 P1,(s) P1,2(s) P23(8)=D1(s) N1(s) D2(s) N2(s) P,d(8)=D2(s) P1,c(8) Pi,7(s) D3(s) Pi, 8(s) 时闭环系统的特征多项式 再考虑r(j,6)的8条边。由(9.45,联结f+f1和f+f2的棱边为 Dc(s)[AD4(s)+(1-A)D1(s)]+Nc(s)N4(8) 即该棱边对应于P(6)取值为E21(s,)=xD1(+(12D时闭环系统的特征多项式同理可证,xF(,6) 的值集r(ju,b)的8条边依次对应于P(s,5)取值为 E1(s,A)=AD4(s)+(1=A)D1() AN4(s)+(1-入)N1(s) E1,2(s,A) D1(s) E1,3(s,) E1,4(s,)= λD1(s)+(1-入)D2( D2(s N2(s) (9.46) E5(,X)=AD2()+(1-AD3(s) E1,6(s,A) AN2(s)+(1-入)N3(s) D3(s) E1,7(s, A) AD3(s)+(1-A)D4(s) E1s(8,)=()+(1=A)M(a 时闭环系统的特征多项式 注意,M(s),D2(s),i=1,2,3,4分别是分子和分母(区间)多项式(族)的4个 Kharitonov顶点多项 式。(9.45)式中的控制对象是当6取值为2n+1维超立方体的某个顶点时的传递函数,所以又称它们为 顶点对象。而(9.46)式中的控制对象是当6在2n+1维超立方体的某条棱边上取值时的传递函数,所以 又称之为棱边对象
➽ ➾ ➚ ➪☎➶✣➹➴➘☎➷★➬☎➮✣➱✴✃☎❐✴❒✔❮✔❰✑Ï✰Ð✑Ñ☎Ò☎Ó ÔÖÕ ➾ × Ø Ù Ú✹Û Õ ➾ × Ü ➾ Ú Ý Þß✘à②áâß✖ã✘ä✠å à Õ æ✎çã❖å è Ú✖é ß✖ê✹ä❃å à Õ æ✎çê✘å è Ú❃é ß✖ã✘ä✠å ë Õ æ✎çã❖å ì Ú❃é ß✖ê✹ä✠å ë Õ æ✎çê✘å ì Ú áîíðï✘ñã✘ä òã✘ä✁ó Õ æ✎çã❖å è Ú❃é í✫ï✘ñê✹ä òê✹ä❸ó Õ æ✎çê✘å è Ú❃é í❸ï òã✘ä æ ï ë ñã✘ä✰ó Õ æ✎çã❖å ì Ú íôï òê✹ä æ ï ë ñê✹ä✴ó Õ æ✎çê✘å ì Ú áîí æ ï Õ ñã✘ä çã❖å è é ñê✹ä çê✘å è é òã✘ä çã❖å ì é òê✹ä çê✘å ì Ú æ òã✘ä çã❖å è æ òê✹ä çê✘å è é ï ë ñã✘ä çã❖å ì é ï ë ñê✹ä çê✘å ì❵ó✔õ Õ ➾ × ➚ Ü Ú ÔÖÕ ➾ × Ü ➽ Ú✘ö✣÷ øðù Õ úï Ú ûæ✎çã❖å è Õ úï Ú æ☞úï çã❖å ì Õ úï Ú ü✠é✔ýù Õ úï Ú ûæ✎çê✘å è Õ úï Ú æ★úï çê✘å ì Õ úï Ú ü á ûòã✘ä é úï✘ñã✘ä ü ûæ✎çã❖å è æ★úï çã❖å ì ü é✑ûòê✹ä é úï✘ñê✹ä ü ûæ✎çê✘å è æ☞úï çê✘å ì ü á æ òã✘ä çã❖å è æ òê✹ä çê✘å è é ï ë ñã✘ä çã❖å ì é ï ë ñê✹ä çê✘å ì é æ❖úï Õ ñã✘ä çã❖å è é ñê✹ä çê✘å è é òã✘ä çã❖å ì é òê✹ä çê✘å ì Ú Õ ➾ × ➚➚ Ú þ★ÿ Õ ➾ × ➚ Ü Ú❖Û Õ ➾ × ➚ ➚ Ú✁✄✂✄☎ Õ ➾ × Ü Ø Ú❖Û Õ ➾ × Ü Ü Ú Ý❃ö✝✆✟✞✄✠ ß☛✡ é Þß✘à✌☞✎✍✄✏✄✑✄✒✄✑✄✓✕✔ Õøðù✘ø✖ é✔ýù ý✖ Ú Õ úï Ú ☞✎✗✎✘Û✄✙✘✕✚✜✛✣✢ôß✁✡ é ß❖à Þ ✁✤✣✥✄✛✧✦ Õ ★ ✩ ✪ Ú✬✫✣✭✔ ✮à å à Õ ★ Ú á ý✖ Õ ★ Ú ø ✖ Õ ★ Ú ✯✄✰✟✱✄✲✟✳☞✟✴✕✵✣✶✣✷✄✸✕✚✎✹✟✺ö✣✻✝✼ ß✁✡ é ß✾✽ Þ Ý ú á ➽ ✩ Ø ✩ õ õ õ ✩ ✿✌❀✎❁✤✣✥✄✛❂✦ Õ ★ ✩ ✪ Ú✬✫✣✭✔ ✮à å à Õ ★ Ú á ý✖ Õ ★ Ú ø ✖ Õ ★ Ú ✩ ✮à å ë Õ ★ Ú á ý✖ Õ ★ Ú ø à Õ ★ Ú ✩ ✮à å ❃ Õ ★ Ú á ýà Õ ★ Ú ø à Õ ★ Ú ✩ ✮à å ✖ Õ ★ Ú á ýà Õ ★ Ú ø ë Õ ★ Ú ✩ ✮à å ❄ Õ ★ Ú á ýë Õ ★ Ú ø ë Õ ★ Ú ✩ ✮à å ❅ Õ ★ Ú á ýë Õ ★ Ú ø ❃ Õ ★ Ú ✩ ✮à å ❆ Õ ★ Ú á ý❃ Õ ★ Ú ø ❃ Õ ★ Ú ✩ ✮à å ❇ Õ ★ Ú á ý❃ Õ ★ Ú ø ✖ Õ ★ Ú Õ ➾ × ➚ Ù Ú ✯✄✰✟✱✄✲✟✳☞✟✴✕✵✣✶✣✷✄✸✕✚ ❈✂✣☎❊❉ Õ úï ✩ ✪ Ú ☞ ✿●❋✣❍✚ ÔÖÕ ➾ × ➚ Ù Ú Ý ■✣❏ ß❑✡ é ß✘à Þ Û ß☛✡ é ß✹ë Þ ✌☞✟▲❍✔ ▼ ûøðù Õ ★ Ú ø ✖ Õ ★ Ú✖é✣ýù Õ ★ Ú ý✖ Õ ★ Ú ü é Õ ➽ æ ▼ Ú❃ûøðù Õ ★ Ú ø à Õ ★ Ú✖é✣ýù Õ ★ Ú ý✖ Õ ★ Ú ü á øðù Õ ★ Ú❃û▼ø ✖ Õ ★ Ú✖é Õ ➽ æ ▼ Ú ø à Õ ★ Ú ü é✣ýù Õ ★ Ú ý✖ Õ ★ Ú ✩ ◆✟❖▲❍✤✣✥✄✛P✦ Õ ★ ✩ ✪ Ú◗✫✣✭✔❙❘à å à Õ ★ ✩ ▼ Ú á ê❑❚ ❯ ❱ ❲ ❳ ã✬❚ ❯ ❱ ❲ ❨◗❯ à ❩ ❳ ❲ ã✁❬ ❯ ❱ ❲ ✯✄✰✟✱✄✲✟✳☞✟✴✄✵✣✶✎✷✣✸✕✚✬✹✜✺ö✎✻✕✼❪❭Õ ★ ✩ ✪ Ú ☞ ✭✄❫✎❉ Õ úï ✩ ✪ Ú ☞ ✿✌❋✣❍✄❀✎❁✤✣✥✄✛✧✦ Õ ★ ✩ ✪ Ú✬✫✣✭✔ ❘à å à Õ ★ ✩ ▼ Ú á ý✖ Õ ★ Ú ▼ø ✖ Õ ★ Ú✖é Õ ➽ æ ▼ Ú ø à Õ ★ Ú ✩ ❘à å ë Õ ★ ✩ ▼ Ú á ▼ý✖ Õ ★ Ú✖é Õ ➽ æ ▼ Ú ýà Õ ★ Ú ø à Õ ★ Ú ✩ ❘à å ❃ Õ ★ ✩ ▼ Ú á ýà Õ ★ Ú ▼ø à Õ ★ Ú✖é Õ ➽ æ ▼ Ú ø ë Õ ★ Ú ✩ ❘à å ✖ Õ ★ ✩ ▼ Ú á ▼ýà Õ ★ Ú✖é Õ ➽ æ ▼ Ú ýë Õ ★ Ú ø ë Õ ★ Ú ✩ ❘à å ❄ Õ ★ ✩ ▼ Ú á ýë Õ ★ Ú ▼ø ë Õ ★ Ú✖é Õ ➽ æ ▼ Ú ø ❃ Õ ★ Ú ✩ ❘à å ❅ Õ ★ ✩ ▼ Ú á ▼ýë Õ ★ Ú✖é Õ ➽ æ ▼ Ú ý❃ Õ ★ Ú ø ❃ Õ ★ Ú ✩ ❘à å ❆ Õ ★ ✩ ▼ Ú á ý❃ Õ ★ Ú ▼ø ❃ Õ ★ Ú✖é Õ ➽ æ ▼ Ú ø ✖ Õ ★ Ú ✩ ❘à å ❇ Õ ★ ✩ ▼ Ú á ▼ý❃ Õ ★ Ú✖é Õ ➽ æ ▼ Ú ý✖ Õ ★ Ú ø ✖ Õ ★ Ú Õ ➾ × ➚ ❴ Ú ✯✄✰✟✱✄✲✟✳☞✟✴✕✵✣✶✣✷✄✸✕✚ ❵✣❛✼✁ý●❜ Õ ★ Ú Ý ø ❜ Õ ★ Ú Ý◗❝ á ➽ ✩ Ø ✩ Ü ✩ ➚ ✑✄✓✄✢✄✑✄❞Û✑✄❡ Õ❢✄❣Ú ✶✣✷✄✸ Õ❤Ú ☞ ➚ ✏❥✐❧❦♠♥ ♦ ♣ qrqs✉t✝✈✣✶✣✷ ✸✕✚ Õ ➾ × ➚ Ù Ú ✸①✇✟☞③②✣④✣✤✣⑤✣✢✝⑥ ✪ ✫✣✭✔ Ø ⑦❾é☎➽❧⑧✣⑨✄⑩✣❶✣❷☞✟❸✣✏✄t✝✈✯☞✎❹✣❺✕❻✎❼✼③❽✝✆✎❾✄❿✣➀✕➁✔ t✕✈✟✤✣⑤✕✚③➂ Õ ➾ × ➚ ❴ Ú ✸①✇✟☞✟②✣④✣✤✄⑤✣✢✝⑥ ✪➄➃ Ø ⑦✲é☎➽❧⑧✣⑨✣⑩✣❶✣❷☞✟❸❋▲❍✄➅✫✄✭✯☞✎❹✣❺✝❻✟❼✼③❽✝✆ ❾✣❿✣➆✔✎▲❍✤✄⑤✕✚
§93值集 195 89.32C()位于第I象限 若C(j)位于第Ⅱ象限,(9.27)中的4个向量的相对位置如图93所示。由(9.30)此时可令 =JNC, 2 子3=fDn2,f4=f (9.7 图9.3:C(J)位于第I象限时4向量的相对位置 再按(9.36)定义f,j=1,2…8,则同样可以证明 推论91值集(j,b)为以∫为顶点的平行凸8边形,这些顶点为 De,(-6n,h)+fN,(-6Nx,)+fD2(-6p,)+fNe,25N fpc,ap h+ fN,(SN,h)+fp. 2(-SD g)+fNc,2(-SN,3) fa=fpc,Sp, A+ fN,G8N,A)+fpc,25D, g+fNc2(-SN, g) (9.48) fpc,,Sp A+ fNc,SN, A+fp. D, g+fN,2(-SN, g) fo=fpa(8p, h)+fN, N, h+fpc2dD, g+fN2(-&N g) fpc, (8p, h)+fNc,&N,A+fDc,2 D, g+fNc,2 N,9 于是,F(s,b6)的值集r6)是以fo+f为顶点的凸平行八边形,这些顶点分别对应于P(s,b)取值为 P2,1(s) P2,2( P2(s)=N4(s) N4(s) D1(s) P,5(s)=1(s) (9.49 D2(s) P2,6(s) D3(s) P2,(s) P2,8(s) 时闭环系统的特征多项式。值集的8条边分别对应于P(s,6)取值为 E2,1(8,A)= E2(5,)、AM3(s)+(1-)N4(s) D1(s) E2,3(s,) AD()+(1-AD2(5,B24(0)=×N()+(1=A)M1( N1(s) (9.50) E2,5(8s,A) E2.6(s,A) AN1(s)+(1-A)N2(s) AD2(s)+(1-A)D3(s) D3(s) E2, 7 (s, A) E2,8(s, A 时闭环系统的特征多项式。同样,称(9.49)中的传递函数为顶点对象,而称(950)中的传递函数为棱边对
➇ ➈ ➉ ➊✕➋✕➌ ➍ ➎ ➏ ➐ ➑◗➒ ➓◗➒ ➔➣→↕↔ ➙➛✁➜➞➝✄➟✣➠❊➡ ➡✉➢✣➤ ➥ →↕↔ ➙➛✁➜✁➦✄➧✎➨❂➩ ➩✁➫✕➭✣➯❂↔ ➎ ➲ ➳ ➵ ➜●➸✟➺✧➻↕➼①➽③➾✕➺✟➚✣➪✣➦✄➶✣➹①➘✧➎ ➲ ➴✉➷✣➬✕➮✄➱❙↔ ➎ ➲ ➴ ✃ ➜✬❐✕❒✎❮✎❰ Ð✁Ñ✁Ò Ï Ð☛Ó✬Ô✾Õ Ï Ñ◗Ö Ð✬×➞Ò✕Ø Ï Ð☛Ù❑Ô✾Õ Ï ×❑Ö Ð☛Ú❧Ò Ï Ð☛Ó✬Ô✾Õ Ï ×❑Ö Ð☛Û❧Ò Ï Ð☛Ù❑Ô◗Õ Ï Ñ ↔ ➎ ➲ ➻ ➵ ➜ Ü Ý Þ Þ Þ☛ß Ð☛Ó✬Ô◗Õ Ï Ñ à à à à à àá Ø Ð☛Ù❑Ô◗Õ Ï × â â âã Ð☛Ó✬Ô✾Õ Ï × ää ää Ð☛Ù❑Ô✾Õ Ï Ñ äå ä æææææææ✾ç➣è é ê①ë ì í î❑ï❧ð ñ ò☛ó☛ô➄õ÷öùø ø❑ú③û❪ü①ý✉þ✌ÿ✁✄✂✆☎❪ô✆✝ ✞✠✟ ↔ ➎ ➲ ➴ ✡ ➜☞☛✠✌ Ð✎✍ Ï ✏ ➙✌Ò✝➍ Ö ➳ Ö ✑ ✑ ✑ Ö ✒ ✏ ✓✕✔✗✖✄❮✙✘✗✚✜✛ ✢✠✣ ➑◗➒ ✤✙✥✠✦✕✧★ ↔ ➙➛➞Ö ✩✾➜✫✪✭✬✮✧Ð✎✍✆✪✠✯✠✰✠✱✳✲✠✴✕✵✷✶✄✸✕✹✎➯✗✺✭✻✭✯✠✰✠✪ Ð✧ Ñ Ò Ð Ó✬Ô✾Õ Ñ ↔ Ø✽✼Ó✁Õ ✾ ➜❀✿✎ÐÙ❑Ô◗Õ Ñ ↔ Ø✽✼Ù✬Õ ✾ ➜❁✿✣Ð Ó✬Ô✾Õ × ↔ Ø✽✼Ó✁Õ ❂ ➜❁✿✣ÐÙ❑Ô✾Õ × ✼Ù✬Õ ❂ Ö Ð❑× ✧ Ò Ð☛Ó✬Ô✾Õ Ñ ✼Ó✁Õ ✾ ✿✎Ð❑Ù❑Ô✾Õ Ñ ↔ Ø✽✼Ù✬Õ ✾ ➜❀✿✎Ð☛Ó✬Ô◗Õ × ↔ Ø✽✼Ó✁Õ ❂ ➜❀✿✎Ð☛Ù❑Ô◗Õ × ✼Ù✬Õ ❂ Ö Ð☛Ú ✧ Ò Ð☛Ó✬Ô✾Õ Ñ ✼Ó✁Õ ✾ ✿✎Ð❑Ù❑Ô✾Õ Ñ ↔ Ø✽✼Ù✬Õ ✾ ➜❀✿✎Ð☛Ó✬Ô◗Õ × ↔ Ø✽✼Ó✁Õ ❂ ➜❀✿✎Ð☛Ù❑Ô◗Õ × ↔ Ø✽✼Ù✬Õ ❂ ➜✾Ö Ð☛Û ✧ Ò Ð☛Ó✬Ô✾Õ Ñ ✼Ó✁Õ ✾ ✿✎Ð❑Ù❑Ô✾Õ Ñ ↔ Ø✽✼Ù✬Õ ✾ ➜❀✿✎Ð☛Ó✬Ô◗Õ × ✼Ó✁Õ ❂ ✿✣Ð☛Ù❑Ô✾Õ × ↔ Ø✽✼Ù✬Õ ❂ ➜✾Ö Ð❄❃ ✧ Ò Ð Ó✬Ô✾Õ Ñ ✼Ó✁Õ ✾ ✿✎Ð Ù❑Ô✾Õ Ñ ✼Ù✬Õ ✾ ✿✣Ð Ó✬Ô✾Õ × ✼Ó✁Õ ❂ ✿✎ÐÙ❑Ô◗Õ × ↔ Ø✽✼Ù✬Õ ❂ ➜✾Ö Ð❀❅ ✧ Ò Ð☛Ó✬Ô✾Õ Ñ ↔ Ø✽✼Ó✁Õ ✾ ➜❀✿✎Ð☛Ù❑Ô◗Õ Ñ ✼Ù✬Õ ✾ ✿✎Ð☛Ó✬Ô◗Õ × ✼Ó✁Õ ❂ ✿✣Ð☛Ù❑Ô✾Õ × ↔ Ø✽✼Ù✬Õ ❂ ➜✾Ö Ð❄❆ ✧ Ò Ð☛Ó✬Ô✾Õ Ñ ↔ Ø✽✼Ó✁Õ ✾ ➜❀✿✎Ð☛Ù❑Ô◗Õ Ñ ✼Ù✬Õ ✾ ✿✎Ð☛Ó✬Ô◗Õ × ✼Ó✁Õ ❂ ✿✣Ð☛Ù❑Ô✾Õ × ✼Ù✬Õ ❂ Ö Ð❀❇ ✧ Ò Ð☛Ó✬Ô✾Õ Ñ ↔ Ø✽✼Ó✁Õ ✾ ➜❀✿✎Ð☛Ù❑Ô◗Õ Ñ ✼Ù✬Õ ✾ ✿✎Ð☛Ó✬Ô◗Õ × ↔ Ø✽✼Ó✁Õ ❂ ➜❀✿✎Ð☛Ù❑Ô◗Õ × ✼Ù✬Õ ❂ ✑ ↔ ➎ ➲ ➻ ✒ ➜ ➧❉❈✕➯❋❊÷↔ ● Ö ✩✾➜➞➺✳❍✭■ ★ ↔ ● Ö ✩◗➜☞❈✕✘❊Ð é ✿✜✧Ð✎✍❑❏❉▲✙▼✣➺✙◆✁❖✠P✭◗✠❘✭❙✕➯✁❚✭❯✠▲✕▼❉❱✠❲✄➪✠❳✕➧❋❨✉↔ ● Ö ✩◗➜☞❩✠❍✭❏ ❬× Õ Ñ ↔ ● ➜✬Ò❪❭Ú ↔ ● ➜ ❫Û ↔ ● ➜ Ö ❬× Õ × ↔ ● ➜✬Ò❴❭Ú ↔ ● ➜ ❫Ñ ↔ ● ➜ Ö ❬× Õ Ú ↔ ● ➜✬Ò❪❭Û ↔ ● ➜ ❫Ñ ↔ ● ➜ Ö ❬× Õ Û ↔ ● ➜✬Ò❴❭Û ↔ ● ➜ ❫× ↔ ● ➜ Ö ❬× Õ ❃ ↔ ● ➜✬Ò❪❭Ñ ↔ ● ➜ ❫× ↔ ● ➜ Ö ❬× Õ ❅ ↔ ● ➜✬Ò❴❭Ñ ↔ ● ➜ ❫Ú ↔ ● ➜ Ö ❬× Õ ❆ ↔ ● ➜✬Ò❪❭× ↔ ● ➜ ❫Ú ↔ ● ➜ Ö ❬× Õ ❇ ↔ ● ➜✬Ò❴❭× ↔ ● ➜ ❫Û ↔ ● ➜ ↔ ➎ ➲ ➻ ➎ ➜ ❒✭❵✳❛✭❜✳❝✕➺✳❞✙❡✠❢✠❣✭❤✕➮✐❍✙■✎➺❥✒✄❦✠❘✠❱✠❲✣➪✠❳✕➧❋❨✉↔ ● Ö ✩☛➜☞❩✠❍✭❏ ❧× Õ Ñ ↔ ● Ö ♠✾➜❑Ò ❭ Ú ↔ ● ➜ ♠❫Û ↔ ● ➜❀✿✣↔ ➍✁Ø✳♠✾➜ ❫Ñ ↔ ● ➜ Ö ❧× Õ × ↔ ● Ö ♠✾➜✬Ò ♠❭ Ú ↔ ● ➜❀✿✎↔ ➍✁Ø✳♠✾➜ ❭ Û ↔ ● ➜ ❫Ñ ↔ ● ➜ Ö ❧× Õ Ú ↔ ● Ö ♠✾➜❑Ò ❭ Û ↔ ● ➜ ♠❫Ñ ↔ ● ➜❀✿✣↔ ➍✁Ø✳♠✾➜ ❫× ↔ ● ➜ Ö ❧× Õ Û ↔ ● Ö ♠✾➜✬Ò ♠❭ Û ↔ ● ➜❀✿✎↔ ➍✁Ø✳♠✾➜ ❭ Ñ ↔ ● ➜ ❫× ↔ ● ➜ Ö ❧× Õ ❃ ↔ ● Ö ♠✾➜❑Ò ❭ Ñ ↔ ● ➜ ♠❫× ↔ ● ➜❀✿✣↔ ➍✁Ø✳♠✾➜ ❫Ú ↔ ● ➜ Ö ❧× Õ ❅ ↔ ● Ö ♠✾➜✬Ò ♠❭ Ñ ↔ ● ➜❀✿✎↔ ➍✁Ø✳♠✾➜ ❭ × ↔ ● ➜ ❫Ú ↔ ● ➜ Ö ❧× Õ ❆ ↔ ● Ö ♠✾➜❑Ò ❭ × ↔ ● ➜ ♠❫Ú ↔ ● ➜❀✿✣↔ ➍✁Ø✳♠✾➜ ❫Û ↔ ● ➜ Ö ❧× Õ ❇ ↔ ● Ö ♠✾➜✬Ò ♠❭ × ↔ ● ➜❀✿✎↔ ➍✁Ø✳♠✾➜ ❭ Ú ↔ ● ➜ ❫Û ↔ ● ➜ ↔ ➎ ➲ ➏ ✃ ➜ ❒✭❵✳❛✭❜✳❝✕➺✳❞✭❡✠❢✠❣✠❤✕➮♥✔✗✖✝➯♣♦❂↔ ➎ ➲ ➻ ➎ ➜●➸✟➺❉q❉r✙s✳t✭❏❉▲✕▼✟➪✣➫✝➯✄✉✭♦❂↔ ➎ ➲ ➏ ✃ ➜✌➸✟➺❉q❉r✙s✳t✭❏❉✈✠❘✣➪ ➫✕➮
第九章区间对象族系统的鲁棒稳定性检验 33C(ju)位于第II象限 若C(ju)位于第II象限,(9.27中的4个向量的相对位置如图94所示。此时可令 f1=fDc, 1, f2 N,2 图9:C(J)位于第I象限时4向量的相对位置 推论92r(j,b)是以 fDc,OD, A+fNc, ON h+fDc, 2(-dD,g)+fNc, 2dN,g fDc, oD, h+fNC,1(ON,h)+f Dc, 2(-8D, g)+f Nc,20N fpc,op, h+ fNON, n)+fpc, 2dD, g+ fnc,2dN,9 (9.52) fpc,oD, h+fN1GON,h)+fpc,2oD, g+ fNc2(-oN, g) fpc(-op, h)+fNGON, h)+fp.2oD,+ Dc, 2D,g 为顶点的平行凸8边形 于是,F(s,6)的值集r(s,6)是以f0+f为顶点的凸平行八边形,这些顶点分别对应于P(s,b)取值为 P3,1(s) N2(s) P3,2(s) P3,3(s) N3(s) N3(s) D D2(s) .6)=4(s) (9.53) P3,6(s) D2(s) N1(8) P3.7(s) P3,8(8) 时闭环系统的特征多项式。值集的8条边分别对应于P(s,6)取值为 E3,1(s,) AD4(8)+(1-A)D1(s) E3,2(s.1_AM2(s)+(1-)N3(s) E3,3(s,A) AD1(s)+(1-A)D2(s) (s)+(1-)N1(s) AD2(s)+(1-)D3(s) D3(s) E3,(s,A) E3,s.1、AN1(8)+(1 时闭环系统的特征多项式
✇ ① ② ③✠④❉⑤⑦⑥✠⑧✁⑨✠⑩❉❶✕❷✠❸✕❹✳❺✳❻✭❼✙❽✭❾✠❿✠➀ ➁ ➂❁➃ ➄❁➃ ➄➆➅❑➇ ➈➉➋➊✽➌✭➍✠➎➐➏ ➏ ➏✄➑✠➒ ➓ ➅❑➇ ➈➉➋➊➋➔✭→❉➣✷↔ ↔ ↔➋↕✙➙✠➛✷➇ ① ➜ ➝ ➞ ➊✫➟✳➠❋➡❑➢✜➤✁➥✙➠✳➦✠➧✠➔✭➨✠➩✜➫ ① ➜ ➡♣➭✠➯✙➲✁➳✙➵❉➸❉➺ ➼☞➽✽➾ ➻ ➼❄➚☞➪✎➶ ➻ ➽❁➹ ➼❄➘➴➾✭➷ ➻ ➼❄➬❄➪✎➶ ➻ ➽❀➹ ➼❀➮➴➾ ➻ ➼❀➚☞➪✎➶ ➻ ➘❄➹ ➼❀➱➴➾✙➷ ➻ ➼❀➬❄➪❁➶ ➻ ➘ ➇ ① ➜ ✃ ✇ ➊ ❐ ❒ ❮ ❮ ❮❀❰ ➼❀➚☞➪❁➶ ➻ ➽ Ï Ï Ï Ï Ï ÏÐ ➷ ➼❀➬❄➪❁➶ ➻ ➽ Ñ Ñ ÑÒ ➼➻ ➚☞➪✎➶ ➘ ÓÓ ÓÓ ➷ ➼❄➬❄➪✎➶ ➻ ➘ÓÔ Ó ÕÕÕÕÕÕÕ✎Ö➆× Ø Ù✜Ú Û Ü Ý❄Þ➴ß à á❀â❀ã♥ä♣å❪æ æ æ❀ç✁è✆é✜Ü♣êìë✁í✄î✆ï✆ã✆ð ñ✠ò ➂❁➃ óõôö ➇ ➈➉✽➹ ÷✎➊✽ø✕ù ➼☞➽ú➾û➼❀➚☞➪✎➶ ô ➽ ➇ ➷✽ü➚➋➶ ý ➊❀þ❉➼❀➬❄➪❁➶ ➽ ü➬☞➶ ý þ❉➼❀➚☞➪❁➶ ➘ ➇ ➷✽ü➚➋➶ ÿ ➊❀þ❉➼❀➬❄➪❁➶ ➘ ü➬☞➶ ÿ ➹ ➼❄➘✮➾û➼❀➚☞➪✎➶ ô ➽ ü➚➋➶ ý þ❉➼❄➬❄➪✎➶ ➽ ü➬☞➶ ý þ✠➼❀➚☞➪✎➶ ➘ ➇ ➷✽ü➚➋➶ ÿ ➊❁þ✠➼❀➬❄➪✎➶ ➘ ü➬☞➶ ÿ ➹ ➼❀➮ ô ➾û➼❀➚☞➪✎➶ ➽ ü➚➋➶ ý þ❉➼❄➬❄➪✎➶ ➽ ➇ ➷✽ü➬☞➶ ý ➊❀þ❉➼❀➚☞➪❁➶ ➘ ➇ ➷✽ü➚➋➶ ÿ ➊❀þ❉➼❀➬❄➪❁➶ ➘ ü➬☞➶ ÿ ➹ ➼❀➱ ô ➾û➼❀➚☞➪✎➶ ➽ ü➚➋➶ ý þ❉➼❄➬❄➪✎➶ ➽ ➇ ➷✽ü➬☞➶ ý ➊❀þ❉➼❀➚☞➪❁➶ ➘ ü➚➋➶ ÿ þ✠➼❀➬❄➪✎➶ ➘ ü➬☞➶ ÿ ➹ ➼ô ✁ ➾û➼❀➚☞➪✎➶ ➽ ü➚➋➶ ý þ❉➼❄➬❄➪✎➶ ➽ ➇ ➷✽ü➬☞➶ ý ➊❀þ❉➼❀➚☞➪❁➶ ➘ ü➚➋➶ ÿ þ✠➼❀➬❄➪✎➶ ➘ ➇ ➷✽ü➬☞➶ ÿ ➊✎➹ ➼✄✂ ô ➾û➼ ➚☞➪✎➶ ➽ ➇ ➷✽ü➚➋➶ ý ➊❀þ❉➼➬❄➪❁➶ ➽ ➇ ➷✽ü➬☞➶ ý ➊❁þ✠➼ ➚☞➪✎➶ ➘ ü➚➋➶ ÿ þ❉➼➬❄➪❁➶ ➘ ➇ ➷✽ü➬☞➶ ÿ ➊✎➹ ➼✆☎ ô✮➾û➼❀➚☞➪✎➶ ➽ ➇ ➷✽ü➚➋➶ ý ➊❀þ❉➼❀➬❄➪❁➶ ➽ ü➬☞➶ ý þ❉➼❀➚☞➪❁➶ ➘ ü➚➋➶ ÿ þ✠➼❀➬❄➪✎➶ ➘ ➇ ➷✽ü➬☞➶ ÿ ➊✎➹ ➼✄✝ ô ➾û➼❀➚☞➪✎➶ ➽ ➇ ➷✽ü➚➋➶ ý ➊❀þ❉➼❀➬❄➪❁➶ ➽ ü➬☞➶ ý þ❉➼❀➚☞➪❁➶ ➘ ➇ ➷✽ü➚➋➶ ÿ ➊❀þ❉➼❀➬❄➪❁➶ ➘ ➇ ➷✽ü➬☞➶ ÿ ➊ ➇ ① ➜ ✃ ➝ ➊ ✞✠✟✠✡✠☛✌☞✠✍✏✎✒✑✔✓✏✕ ➲ →✗✖✙➛✙✘♣➇ ✚ ➹ ÷✎➊✽➠✌✛✢✜ ö ➇ ✚ ➹ ÷❁➊✣✖✏✤➐➼ Ø þ ➼✦✥★✧✗✩✫✪ ô ✠➠✫✬✮✭✠✯✢✰✠✱✢✲✙➛✮✳✢✴✠✩✏✪✗✵✠✶✭➧✠✷✙→✙✸✄➇ ✚ ➹ ÷❁➊✣✹✠✛✢✧ ✺➮ ➶ ➽ ➇ ✚ ➊☞➾✼✻➘ ➇ ✚ ➊ ✽➱ ➇ ✚ ➊ ➹ ✺➮ ➶ ➘ ➇ ✚ ➊☞➾✾✻➘ ➇ ✚ ➊ ✽➽ ➇ ✚ ➊ ➹ ✺➮ ➶ ➮ ➇ ✚ ➊☞➾✼✻➮ ➇ ✚ ➊ ✽➽ ➇ ✚ ➊ ➹ ✺➮ ➶ ➱ ➇ ✚ ➊☞➾✾✻➮ ➇ ✚ ➊ ✽➘ ➇ ✚ ➊ ➹ ✺➮ ➶ ✁ ➇ ✚ ➊☞➾✼✻➱ ➇ ✚ ➊ ✽➘ ➇ ✚ ➊ ➹ ✺➮ ➶ ✂ ➇ ✚ ➊☞➾✾✻➱ ➇ ✚ ➊ ✽➮ ➇ ✚ ➊ ➹ ✺➮ ➶ ☎ ➇ ✚ ➊☞➾✼✻➽ ➇ ✚ ➊ ✽➮ ➇ ✚ ➊ ➹ ✺➮ ➶ ✝ ➇ ✚ ➊☞➾✾✻➽ ➇ ✚ ➊ ✽➱ ➇ ✚ ➊ ➇ ① ➜ ✃ ✿ ➊ ➵✢❀✌❁✢❂✌❃✙➠✌❄✫❅✠❆✠❇✢❈✙➲❉✛✫✜❉➠❋❊✔●✠✱✠✵✠✶✠➧✠✷✙→✙✸✄➇ ✚ ➹ ÷❀➊✣✹✠✛✢✧ ❍➮ ➶ ➽ ➇ ✚ ➹ ■✎➊❄➾ ✻ ➘ ➇ ✚ ➊ ■✽➱ ➇ ✚ ➊❀þ✠➇ ✇ ➷✌■✎➊ ✽➽ ➇ ✚ ➊ ➹ ❍➮ ➶ ➘ ➇ ✚ ➹ ■✎➊☞➾ ■✻ ➘ ➇ ✚ ➊❀þ❉➇ ✇ ➷✌■✎➊ ✻ ➮ ➇ ✚ ➊ ✽➽ ➇ ✚ ➊ ➹ ❍➮ ➶ ➮ ➇ ✚ ➹ ■✎➊❄➾ ✻ ➮ ➇ ✚ ➊ ■✽➽ ➇ ✚ ➊❀þ✠➇ ✇ ➷✌■✎➊ ✽➘ ➇ ✚ ➊ ➹ ❍➮ ➶ ➱ ➇ ✚ ➹ ■✎➊☞➾ ■✻ ➮ ➇ ✚ ➊❀þ❉➇ ✇ ➷✌■✎➊ ✻ ➱ ➇ ✚ ➊ ✽➘ ➇ ✚ ➊ ➹ ❍➮ ➶ ✁ ➇ ✚ ➹ ■✎➊❄➾ ✻ ➱ ➇ ✚ ➊ ■✽➘ ➇ ✚ ➊❀þ✠➇ ✇ ➷✌■✎➊ ✽➮ ➇ ✚ ➊ ➹ ❍➮ ➶ ✂ ➇ ✚ ➹ ■✎➊☞➾ ■✻ ➱ ➇ ✚ ➊❀þ❉➇ ✇ ➷✌■✎➊ ✻ ➽ ➇ ✚ ➊ ✽➮ ➇ ✚ ➊ ➹ ❍➮ ➶ ☎ ➇ ✚ ➹ ■✎➊❄➾ ✻ ➽ ➇ ✚ ➊ ■✽➮ ➇ ✚ ➊❀þ✠➇ ✇ ➷✌■✎➊ ✽➱ ➇ ✚ ➊ ➹ ❍➮ ➶ ✝ ➇ ✚ ➹ ■✎➊☞➾ ■✻ ➽ ➇ ✚ ➊❀þ❉➇ ✇ ➷✌■✎➊ ✻ ➘ ➇ ✚ ➊ ✽➱ ➇ ✚ ➊ ➇ ① ➜ ✃ ➡ ➊ ➵✢❀✌❁✢❂✌❃✙➠✌❄✫❅✠❆✠❇✢❈✙➲