北京理工大学：《鲁棒控制》课程教学资源（讲义）chapter1 鲁棒控制问题及其数学描述

北京理工大学自动控制系 2002/2003学年第二学期硕士研究生课程讲义 鲁棒控制 伍清河

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目录 第一章鲁棒控制问题及其数学描述 81.1控制系统的鲁棒性 81.11鲁棒性及鲁棒控制的基本概念 111 1.1.2鲁棒控制问题举例 §1.2不确定性的数学描述及分类 81.2.1非结构不确定性 81.2.2参数不确定性 81.2.3结构不确定性 81.3鲁棒控制问题的数学描述 81.31D稳定性 81.3.2内稳定性的频域表达 2234 81.33广义 Nyquist判据 81.3.4关于非结构不确定性的分析 81.35关于结构不确定性的分析 81.3.6关于参数不确定性的分析 81.4H。控制简介 81.41∞控制的历史与发展 81.4.2H。问题的一般框架 81.4.3线性分式变换 81.5参数鲁棒性分析方法简介 81.5.1鲁棒性检验问题 5.2稳定性半径问题 999 81.6本课程内容简介 81.7问题与习题 第二章控制系统的内稳定性 §21内稳定性的频域表达 23 §22线性分式变换中G的可镇定性 §2.3传递函数矩阵的互质分解 26 §24镇定器的 Youla参数化公式 27 §25化H控制问题为模型匹配问题 §26问题与习题 第三章化模型匹配问题为广义距离问题 §31引言 §32 Inner、 outer传递函数矩阵的定义 §321imer矩阵 22iner- outer分解与代数 Riccati方程 §3.3 Riccati方程论 8331ARE的解 8332ARE解的结构 8333ARE的镇定解

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§334ARE的一些特例 §34传递函数矩阵的 inner-outer分解 §35广义距离问题 §36传递函数矩阵的谱分解 §37化多块问题为一块问题 58 第四章 Hankel范数模型逼近理论 841信号与系统 84.1.1时域信号 841.2频域信号 8413算子与系统 84.2 Hankel算子和 Hankel范数 842.1 Hankel算子 842.2‖f-Q|的一个下界 8423 Hankel范数的计算 842.4平衡实现与平衡截断 4.25 Hankel算子的 Schmidt分解 84.3次优 Hankel范数模型降阶问题 74 §4.3.1次优 Hankel范数模型通近问题的特解 76 4.3.2次优 Hankel范数模型通近问题的通解 §44最优 Hankel模降阶问题 最优 Hankel模降阶问题的特解 §4.4.2最优 Hankel模降阶问题的通解 845一块问题的解 845.1次优一块问题的解 8452 Nehari问题的解 84.6问题与习题 89 第五章四块问题的解 85.1引言 §5.2矩阵扩张问题的解 §5.3次优四块问题的可解性条件 85.4次优四块问题的解 106 §5.5最优四块问题的解 第六章H∞控制问题的解 §6.1H。控制问题的可解性条件 2次优。控制器的参数化 §6.2.1次优 Youla参数的参数化 §6.2.2次优。控制器的通解 §6.3H。控制器的一般形式 §6.3.1Xx和Y不可逆的情况 86.32D1≠0,D2≠0的情况 §633。控制器的最终形式 §6.4H。控制算法的总结 133

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目录 第七章基于∞优化的鲁棒控制 35 §7.1加性摄动系统的鲁棒控制 87.1.1问题的简化 §7.1.2鲁棒控制器的设计 §7.2互质分解的分子分母中均有加性摄动的对象族的鲁棒镇定 137 §721正规互质分解 87.22问题的描述 138 §7.2.3鲁棒镇定问题的解 139 第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 141 §8.1多项式的稳定性判据 141 §82区间多项式族的鲁棒稳定性- Kharitonov定理 §82.1多项式族 §83值集和除零原理 147 §8.3.1值集 147 83.2除零原理 147 88.3.3 Kharitonov定理与除零原理 147 3.4区间多项式族的值集 84区间多项式族的稳定性半径 §4.1稳定性半径的定义 842稳定性半径函数p()的解析表达式 84.3稳定性半径函数的分析 84.4稳定性半径6max的解析计算 §85球形多项式族的鲁棒稳定性 §5.1球形多项式族 162 §8.5.2球形族的值集 163 8.5.3球形多项式族的稳定性半径 §86菱形多项式族的鲁棒稳定性 §86.1菱形多项式族的值集 86.2菱形多项式族的稳定性检验 86.3菱形多项式族的稳定性半径 §86.4一些特殊情况 182 第九章区间欢象族系统的鲁棒稳定性检验 §9.1问题的提法 §9.2 Overbounding及其保守性 §9.3值集 §9.31C(ju)位于第I象限 89.3.2C(ju)位于第II象限 89.3.3C(ju)位于第II象限 89.34C(ju)位于第IV象限 §94棱边定理 198 顶点定理 阶超前控制器 952一阶滞后控制器

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般一阶控制器 199 89.5.4结论及引出的问题 §9.6一般棱边定理 §9.7凸方向和 Ranter定理 201 §9.71凸方向的概念 §9.72凸方向的 Ranter判据 89.73 Ranter判据的应用 §9.8问题与习题 204 第十章区间对象族系统的稳定性半径 810.1一般控制器时稳定性半径的计算问题 205 810.11稳定性半径函数(a)的解析表达式 810.121()上确界的计算 810.1.3确定切换频率sw,和p(sw) 810.14关于相交点A 810.154(X)的驻点Asr 810.1.6()的边界点 810.2例子 216 §10.3一阶控制器时稳定性半径的计算 220 810.3.1一阶超前控制器稳定性半径的计算 810.32阶滞后控制器的稳定性半径 810.3.3其它一阶控制器的稳定性半径的计算 8104变长度棱边多项式族及其稳定性 8104.1变长度棱边多项式族 81042稳定性分析 228 81043稳定性半径的等价表示 229 附录一串联及逆系统和LFT的状态空间表达式 §A.1串联系统的状态空间表达式 233 A2反馈系统的状态空间表达式 §A.3逆系统的状态空间表达式 §A.4 Redheffer星形积的状态空间表达式 §A.5可控性、可观测性分析 237 §A.5.1可控性、可观测性判据 A.52LFT的可控、可观测性分析 附录二矩阵方程及矩阵不等式 239 B1化线性矩阵方程为线性方程组 B2 Lyapunov方程 §B.3 Schur补 参考文献

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第一章鲁棒控制问题及其数学描述 §1.1控制系统的鲁棒性 1.1.1鲁棒性及鲁棒控制的基本概念 鲁棒性是英文 ROBUSTNESS一词的音译.它指的是在外界干扰或系统模型发生变化的情况下系统 性能的保持能力。按照鲁棒性要求设计的控制方案叫做鲁棒控制 对控制系统的设计一般都基于控制对象的某一数学模型,如传递函数矩阵或状态空间表达式,并要求 这一模型的所有参数都是已知的。这个模型叫做控制对象的标称模型。根据标称模型可以设计控制器,使 得控制系统具有某种性能.例如在保证稳定性这一控制系统应具备的最基本的性能的基础上,可对系统的 超调、稳态误差以及频率响应特性等提岀要求.但控制对象的实际模型不可能精确地知道,例如用系统辩 识的方法只能得到参数的估计值,为简化设计而忽略掉的一些动特性或用线性化模型代替非线性系统,因 元器件老化而导致的性能退化和参数值的改变,作为设计依据的标称模型只能近似地描述控制对象。于是 根据标称模型进行设计而获得的性能在系统的实际运行过程中不一定得到保证.当系统的实际模型与标 称模型之间存在偏差而系统的某一性能仍能保持,则称这种性能是鲁棒的. 鲁棒控制问题可大致分为鲁棒性分析和鲁棒综合两个方面.鲁棒性分析研究的问题是:当系统中不 确定因素在某一给定范围内变化时,系统性能是否保持不变。例如,线性定常系统的稳定性由闭环系统的 特征多项式的根的分布所决定,对于连续时间系统,如果特征多项式的根全部位于左半开平面,则系统稳 定。当特征多项式的系数全部已知时,对这些系数进行一些代数运算,即可确定其根的分布情况.但当多 项式的系数不完全知道,而仅知道每个系数的取值范围,就得到一族多项式.要研究的问题是:当多项式 的系数在给定的范围内任取值时,是否所有的多项式都是稳定的。鲁棒综合研究的问题是:设计一个控制 器,使得系统中不确定因素在某一范围内变化时系统仍具有要求的性能指标.鲁棒综合的一个例子是鲁棒 镇定问题.例如,设计一个控制器,当控制对象的参数在给定的范围内变化时,闭环系统总是稳定的。注 意,这里强调了设计的是一个控制器.这与自适应控制的策略有明显的不同.自适应控制系统具有的适 应性,是通过改变控制器的参数获得的。而鲁棒控制系统中的控制器则是一个,即控制器的结构和参数 都是不变的。鲁棒控制系统的这个特性使得控制器的实现更为容易,更为经济 系统中的不确定因素可分为结构和非结构两类。多项式系数中的不确定性即为结构不确定性的一种, 又叫徹参数不确定性。为简化建模或控制而忽略掉的动特性则属于非结构不确定性,如机电系统的动特性 主要取决于机械子系统,电气部分子系统的动特性则可忽略.对于不同的不确定因素,分析和综合的方法 不同,但又有联系 由于不确定因素存在于任何一个控制系统中,任何一个可实际运行的控制系统的设计都应是鲁棒的 (事实上,任何成功的反馈控制系统都具有某种鲁棒性)。所以鲁棒控制问题一直是控制学科和其它相关学 科重要的研究领域。近20年里,这个领域的研究取得了一些决定性的进展.特别要提到的是关于区间多 项式族鲁棒稳定性分析的 Kharitonov方法,和关于多项式多面体鲁棒稳定性分析的棱边定理.这些结果 给具有参数不确定性的控制系统的鲁棒性分析提供了强有力的工具.∞控制理论则为具有非结构不确 定性的控制系统的鲁棒综合问题提供了系统化的解决办法 §1.12鲁棒控制问题举例 图11是单级倒立摆系统的示意图.小车M在推力u的作用下前后移动,以将倒立摆pp保持在与 水平面垂直、自由端p′在上的姿态.这可以认为是杂技演出的一个经典节目的示意图,也可认为是运载 火箭发射騰空前姿态控制问题的示意图.前者完全靠杂技演员M的经验进行控制,并不需要建模、仿真 等复杂的过程。用控制学科的术语,这已经属于目能第一的范畴.后者则需要对运载火箭的姿态控制问 题进行建模、仿真,以制定合适的控制策略 忽略摆的章鲁m的分布性和摆控的变制,可以将摆近似为位于摆问1题(章及)其数与其学定端p1 性联结的一个章1..忽略摆在运动时的空气动力学特性等一些制要因素,可用下述非线性常系分方程统

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章鲁棒控制问题及其数学描述 i cos e 图11:单级倒立摆示意图 描述其运动规律 1dt( cos 0)+mg (ar+Isin e 其中Ⅰ是摆杆关于其质心(G,vG)=(x+lsinθ,lcosθ)的转动惯量,m是摆杆的质量,2l是摆杆的长 度,M是小车(底座)的质量,g是重力加速度,g=9.87/sec0;:是作用于小车的控制量(力),x是 车在水平方向的位移,θ是摆杆与水平面法线的夹角。由于缺乏处理一般非线性系统的控制问题的方 法,我们将上述方程在其平衡态=[00处线性化,得到近似描述倒立摆在其平衡态附近足够小的 邻域中运动规律的线性常微分方程组 (M +mT+ ml8=u (I +ml-)0+mla 最终可建立起受控量和控制量u之间的近似关系: (M + m)(I+ml-)0+mlu-(m0)-=(M+m)mgle 8+000= bo 式中 (M +m)mgl (M +m)I+ Mml (M +m)I+Mml 待定参数,可通过系统辨识的方法确定。这样我们就得到了一个近似描述单摆运动规律的传递函数模型 Po由于≠0,P不可能有零极相消。于是可以寻找到合适的控制规律u,使平衡态[=⑩0是 稳定的。 在上述建模过程中,我们先忽略了系统中的某些动态特性,得到了线性化模型;在以后的系统辨识 中,又只是得到了这一模型的参数的一个估计值。所以,在此基础上建立的模型Po,只能近似反映系统的 特性。而控制规律u完全是针对Po设计的。当它作用于实际系统时,控制效果如何,则是需要深入研究 的问题 综上所述,我们可以方框图1.2来描述一个典型的反馈控制系统。在图12中,C是控制器的传递

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811控制系统的鲁棒性 °c"四 图1.2:典型反馈控制系统 函数,P(,6)是控制对象。6表示控制对象中存在的不确定性( uncertainty),称为内扰动或摄动( Pertur bation),如前面提到的建模时忽略的系统动态特性以及参数的不确定性等。d是作用于系统的外部扰动 ( disturbance),它应被理解为所有外扰动的综合作用。r,e,u分别为系统的参考输入、(参考输入和输出 的)误差和控制量.我们以以器所示的系统为种景,证定备最控制本上 对于超调控制系统我们可以提误差及频的性率响标特提先但考实际不系统的内精定性,所确内精定 性响地外扰动和输入为道时,用系统的辩识法只到 态估值的系统的为应简时而忽长略掉些动道线替所 的是系统中所有的因量,显元,内精定性是所有控制系统的件老导的性率响标 先不考守对象中的不确定性,致退6 得远描和P(“为标称对象,如 过程中消,当近措可之定,存为偏时可以仍到控制则C问大际不系静处“行近中运有不精定的 C称为近描的超调之定 则(分b糇)·合率仍到超调之定则,当存在面研究调之定则:如,合用到态反素给范可问际不系统精 定,当问系统精定的反素内时有面研究调·记近捕为近的所有之定则的征合.如行近描中有不精定道 过程中消,当精定控制面范多项存为偏时面布如识决控制则C和连续)绩”际不系统的特位究左半 开平有不精定存子略线算中消即是反其在系统外特性(输入输出面的完系)仅在系统内部线误过程 取定的动特性就元存在,族意,任子函数近描可之定性中地于到态镇而表总半的可之定性注可意里性 强精定性线调件老导性率响标了一,但退计超调率个作的控制对象,对控制对象自适但提出但策如 线误但策总不到,当性率响标明定多项不显·超同了非,退计时所提的性率响标率否多项通结决取于被 控对象,如行被控对象不构现更算特定的容易或老导经济’类不率通成更左特定的辩又 建显精定性外,属可以提超误机电超主的但策,如但策系统在更算参考输入械气r时面联差,致 误差械气简时而忽何略(于道,致梯馈()和直行为科相械气,当但策C或近中动关有超调 重分则偏时C和C纖C领0中C纖和(注年果年展直称为别区K偿则(e10事 ensator,C是 忽a对象近描()和C纖近的之定则,它的辩又是问际不系统精定.显元近描()可之定的。但ny是 便增其机如后为或、数控制中的别部分C以霉论零C用又力迹是 近()和C纖近 飞元属可以提它的但策如不问棒()和直属但误差的举给例箱人被气的举给论和的重分 馈 (单e()注单)()组倒和事 描 或对系统的立摆时而示立量等时小响标提出但策车或对系统的M小特性推uM率、带宽、低M性率 供M性率)提出但策等等.中应地如行近满足更算nv,当可以通过退计控制则,间大希望的性率响标 大到满足。线类是我们通常所非的校正 校正需但超调足够精确的控制对象的数学模型近播元略,致问退计是成功的,也即是对近描略言,致 地控制对象的持性例近捕所描述的系统通结等价时是成功的.用于前面图摆中所述的原存近描不可率通 结等价于控制对象.那及控制系统的退计对多际系统略言是否属是成功的特不妨_一下面的几调子 例11设控制对象的传递函数为 P(a,6)和3注使主 s注使

② ③ ④ ③☛⑤✆⑥☛⑦✁⑧★⑨❱⑩✏❶★❷ ❸ ❹❺ ❹ ❻ ❹ ❼✍❽ ❾ ❿ ➀➂➁ ❹❺➃ ➄ ❹ ➅ ➆ ➇ ➈ ➉ ➊ ➋❊➌ ➍ ➎ ➏✴➐❫➑✞➒➔➓➔→➔➣❫↔✞↕ ➙✏➛☛➜ ❼✍❽ ❾ ❿ ➀➂➁➞➝✄➟✄➠✄➡✄➢☛➤➥➀✞➦✄➧✄➟✄➠✄➡✄➢q➨❱➩✄➫★➭✁➯✆➲✄➳✁➵➸❽ ➺➻➼ ➽ ➾ ➚ ➪➶➻➚➹ ➁ ➘➷➴✄➬q➮❫➱✆✃✄❐✁❒✆✃❩❽ ❮❰➽ ➾ ➚ ➺➾ Ï Ð ➪➚ ➶ Ñ➻➂➁ ➘✴Ò✆Ó☛Ô✄Õ✆Ö★➭✁×✆Ø★Ù✆Ú✄Û☛➭✆Ü✁Ý☛✃✆Þ✄ß✆➵qà✏á✆â➛➭✄➯✆➲✆➳✄➵✆ã★➤ ➄ ➝✆ä☛å✆æ☛Ü✁Ý★➭✁ç✆è☛➱☛✃ ❽ é➶ ê ➚ ➺➾Ð ➪➻➼ ➽ ➁ ➜✍ë✁ì✄í✄î✄ï➬✁ð✆ñ✄ç✄➱☛✃✆➭✏ò✆ó✄ä☛å✆➤ ➆ ➘ ➇ ➘ ➈❱ô✄õ➬✆Ü✏Ý☛➭✏â✄ö✄÷✄ø★ùú❽â✄ö✆÷✄ø✆û✄÷★ü ➭✏➁➞ý✄þ✄û✄➟✄➠✄ÿ☛➤✁￾✄✂✆☎★à✄✝✟✞ ✠ ✡✍ð✄➧☛➭✄Ü✏Ý✆➬☞☛☞✌➜✎✍✑✏✁✒✄✓➟✆➠✕✔✗✖★➤ ➡☛æ✄✘☞✙✆➟✆➠★Ü✁Ý✚￾✚✂☞✛★à✏Õ✄✜✚✢✚✣✆✤★➭✁➵✚✥✄✦✄✧✩★✫✪✄✬✄✭✆ö✄✮✕✯✆✰☛Ü✁Ý★➭q➮✗✱✆➳✄➵★➤✠ð✄✲ ➮✗✱✆➳ ➵✄✦✄✳✏ç✄➱✆✃✁û✄÷✄ø✆➬✆✴☛Ù➜✫✵ Ü✏Ý☛➭✆✶☞✷☞✸☞✹✄✺✆Þ✄✻✆✼☛➭✄Ü✁Ý☛➭☞✽ì✚✾Ù✄✿✁❀✄❁✆❂✄❃☞❄✄❅☞✴☛➤❇❆✄❈✄ð☞❉ ➭☞✽ì✦✆➭✏➝☛Ü✁Ýq➨❱ð✆ñ☛➭✆❊✄ÿ★➤✗❋☞●➜ ➮✗✱✄➳✄➵✄➝✆ð✆ñ✄➟✆➠☛Ü✁Ý☛➭✆❍☞■✄❏★➭✏➵✚✥☞✦✄✧✆➤ ✬☛➯✄ö✄✮✆➡✆➢❊➨✁➭✄➯✆➲✆➳✄➵➜✁❑✆▲ ➀◆▼❇❖P✠◆➴❘◗❚❙❯▼☛❼✍❽ ❾ ❿ ❖➂➁❭➬✄✧✆➴✄➡✆➢★➤✠Ò✄❱❲◗❚❙❫➨✁❳✄ñ☛➯✄✱✆➳☛➭✆✴ ❨✑❩✆❬✑❭ ➜✎❪➴❫◗✫❙❯✛☞❴☛➳➜✆❵ ➬☞❛★Ù☞✛★à✆❜✄Ö✆➟✆➠✄❝ ❻❡❞✄❢ ✯✆✰☛Ü✁Ý✚✱✆➳☛➤ ❻ ➴✆➬❲◗❯❙✞➭☞✘☞✙✄❴☛➳ ❝ ❽ ❣ ➚ ➪Ð ➶ ❤ ➶ ✐ ➽ ➾ ➁ ➤❦❥✄✥☞❜✁Ö✄✘✆✙☞❴✆➳✆❝➜❦❪➩✆➫☞❧☞♠✚♥✆✙☞❴☛➳✆❝➜❯♦Ò➜ ❥✆å☞✺✆Þ☞♣☞q☞r✄s✄✛❞✯✁✰☛Ü✏Ý✄✱ ➳➜t❪❞Ü✏Ý✄✱✄➳✆➭✁♣☞q✕✉✇✈☛ñ☞❧☞♠✄♥✆✙☛➤t①③②t❽◗④❙ ➁➞➬⑤◗❚❙✤➭✏ð✄ñ☞❴✆➳✆❝☛➭✆⑥✁ó☛➤✶Ò☞❱✟◗④❙✍➨✠ñ✆➯☞✱✄➳✆✴ ❨✚❩✁❬✚❭➜✫❪✱✄➳✁➟✄➠✄❧☞s✚⑦✆⑧➜✗❵➬✆❛★Ù✁❧✄⑨✄Ò✄✷☞⑩✆➟✄➠✄❝ ❻ ▼☞❶t❷t❽ ❾ ➁ ❸❹❦❷ ❽ ❾ ➁ ➘❺✯✁✰✆Ü✏Ý☛➭✏ß✄❻☞♥☞❼☞❽ ❾☞❿ñ✆➯☞✱✄➳❵✗➀➤❦❂☞❆✄➁❬✚❭✄➂➝☞♣✑➃✏➫☛Ü✁Ý✄ç✆ß✄➵ ❽÷✄ø★ù◆÷★ü☞✿✄➭✁➄☛Ü✏➁➆➅☛➤◆➫☛Ü✏Ý❊➮❫è➜ ❆☞✜❨✚❩ ➇➳✆➭✁✃✁ß✄➵✄➈✆●✄➩✄➫☛➤❯➉✆➊➜❦➋☞➌☛➙✏➛ ◗④❙✤➭✆✛✆❴✆➳✁➵❬✳✁æ✆✺✆Þ✄➍✚✿❱➦☞➎✄❽☛➭✆✛☞❴✆➳✁➵✟➏✕✛✆➐☞➑✄➵☛➤ ➒✱✄➳✁➵☞❆☞✙☞❍☞■☞❏✆➵✄✥☞✦✄✧✆➓☞➔➜ ✭▲☞→✘☞✙✄✥✆➣✆ä☛➭✁➟✄➠✄➡✆➢➜ ➡✆➟✄➠✆➡✄➢↕↔✗➙✆✭✄Õqü✗✭✄➛☛➤◆Ò ❆☞✜☞✭☞➛☞➎✆➯✁Ö➜❚❪➵✚✥☞✦☞✧☞➜✆➳✄⑦✆⑧☛➯✚➝✁➤④✘✆➞☞➓☞❉➜❚▲☞→Ù✁ð✄Õ★➭✏➵✚✥☞✦☞✧✄✥☞➟✄⑦✆⑧➜✫➠✆➡⑩➇æí ➟✄➡✄➢☛➤✠Ò☞❱í➟✆➡✆➢✆➯☞➢☞➤✄➥☞➁✆ß☛➳✆➭✆➦☞➧☛❐✆■✄❏✚➨☞➩➜✎➫➯✄✥➠☞➭➥✄❼✆ß✆➳☛➭✆✶☞➯☛➤ ➲➝✆✱✆➳✄➵✆ç➜✎➳✛★à✏Õ✚✘☞✜✄➵✄➸✚✘☞➺★➭✆✭✄➛★➤ ♦Ò✄✭✄➛★Ü✁Ý✆➫✄➥✄➁✆â✆ö✆÷✆ø✄➻✄➼ ➆ Ù✆❧✄➽✆þ➜✁❑ ý✆þ✄➻✄➼✾Ù✚✿✁❀✄➾✄❂✄➚☛æ☞✴➜✁❑ ❤ ➶➪➹➶ ➘t➴ ➇ ❽ ➷ ➁➆▼✚➬ ✠tÒ✄❱ ➆ ➬✑➮✁➱✄➻✄➼➜✎❪✭✄➛ ❻ ❐⑤◗❯❙➔➨✁❅☞✃✆ñ✚✘☞✙ ❐ô❝★➤✎❛★Ù ❻ ▼ ❻❯❒ ❮ ❰Ï ❻❯❒ ➘PÐ❊➨ ❻❯❒ ❮ ❰Ï ▼❊❽ ❾➆➏✁Ñ➞➁ ❸ ❾ ➘❺Ñ☞Ò✑➬ ➘✴➴✆➬☞Ó✄Ô✚Õ☞Ö✄❝ ❽ ê ➽ ➾×ÑÏ ➼Ñ➪❚Ø➂➽➻ê➪➚ Ñ➾ ➁ ➘ ❻❯❒ ➝ ❀✚Ù✄➡✆➢Ú◗❯❙ Û Ü ❽ ❾ ➁➆▼ ❻❯❒ ❮ ❰Ï ◗❯❙✍➭✆❴☛➳☞❝➜❱ë➭☞✶☞➯✆➝❞ ✯✆✰✆Ü✁Ý✚✱✆➳✆➤✗❋☞●❘◗t❙ Û Ü ❽ ❾ ➁➹✛☞❴☛➳☛➭☞Ý☞✭✄Þ✄ß✆➝ à❙ ❽ ➬ ➁❇á▼✄➬ ➘ ❂☞❆☞✙☞Þ☞ß✄➫✄✱✄➳✄➟✄➠❊➨✁❳✁ñ✆Õ★ü✄➤ ✵ ❛✄✛✄â➜ ➡★Ü✏Ý✆Õqü✗ã★➭✁✭✄➛➜✎❪➡✆➟✄➠✆➡✄➢★➭☞➨☞➩✆✭ ➛✚✛✄✥☞➵✄ä★➤✠Ò✄❱ ➆ ➬☞å✄æ☛❐☞ç✚è➙✁➛★➜ ➟✆➠❊➨✁➭✆Ó✄Ô✆èô ❻❯❒ ❮ ❰Ï ☎✾☞é✄ê❊★➤✎❂ ❻❯❒ ➭☞✶☞➯✑ë✁➝✄❴☛➳ ◗❚❙ Û Ü ❽ ❾ ➁ì▼ ❻❯❒ ❮ ❰Ï ◗❚❙ ✠ ✳✁●➳✛☛à❱Õ☞Ðë➭✁✭✄➛☛➤➔Ò✆➯☞í③❤ ➶➪✫➶ ➘t➴ ➇ ❽ ➷ ➁î▼✄➬ ➘ ➳✭☞➛✄ý✄þ☛➭✁ï☞r✚ð✁÷✆ø☞➻✄➼☛➭✆ï☞réû☛➭❐ô ❍✄ñ➜✁❑ ò ➴ ❙ôó ➇õ ❽ ➷ ➁ ➇ ❽ ➷ ➁P➏ ➈îõ ❽ ➷ ➁ ➈ ❽ ➷ ➁ ö❺÷ì➷ì▼☞➪✞➶➻ ❐✁➡☛Ü✏Ý☛➭✁ø☞ù★Ù✄✿✄ù④ú✄ø✆ÿ✄ã★Ù✁û✚✦☞✧✄Õ★ü✁✭☞➛✑ü❱❐✁➡★Ü✏Ý★➭✁ý✄û✄ß✆➵➸❽þ☞ÿ✄ý✁￾★ù✄✂✁☎★ù✝✆✄ý✄➵✚✥✆ù ä☞ý✄➵✄✥✁➁tÕ★ü✗✭☞➛✄ã✄ã☛➤ ❬ì✟✞Ò✄❱⑤◗✎❙✡✠✟☛✆➥☞➁☞Þ☞ß➜✎❪✛★à✌☞✟✍▲☞→➟✄➠✄❝➜ ❞☞❢✟✎✁✏➭✁➵✄✥✄✦☞✧ ❢Ö✁✠✟☛✆➤✎❆➫➝✚￾✚✂✑☞✓✒✁ð✄❉☛➭✁✔☞ç☛➤ ✔✆ç✟✕✆✭✄✘✆✙✟☛✗✖✁✘☛➲✆➭✏➟✆➠✄➡✄➢★➭➛✟✙Ø✟✚③◗✎❙ ✠❺●☞❂➜❚❑❞▲☞→➝➭✁✛ ➭➜✢✜➂➝✄➡⑤◗④❙➆❂✟✣➜❚❑ ✳✏➟✄➠✄➡✄➢☛➭✏ß✄➵✚ð③◗④❙❭ð✁✤✁✥☛➭✄Ü✏Ý➠✆➡ã✁✦★Ù✏➝➭✁✛➭✆➤ ✵ æ✄Ó✆Ô✄ñ✆ù❊➨✠ð✁✥★➭✑✧❵✁➜ ◗④❙✤➯☞✛☞✥➠ ➡ã✁✦✆æ✁➟✄➠✄➡✆➢☛➤✑★✄✣✁➟✄➠★Ü✏Ý★➭▲☞→➡✄⑦✓✩✄Ü✁Ý☞❂✓✣✄➝✄➟➳➝➭✁✛ ➭ ★➔➯✁✪☞➔✄➔✟✫✆Ô✆➭✗✬✄✙♦✄➀➤ ✭✯✮✱✰ ✮✁✲✟✳✟✴✁✵✁✶✟✷✑✸✟✹✓✺✗✻✓✼ ❼✍❽ ❾ ❿ ✽ ➁ì▼ ❾ ➏☞✞ì➏✑✽ ❾ ✾ ➊ ❾ ➏☞✞

第一章鲁棒控制问题及其数学描述 其中δ是不确定参数。记标称对象为 Po=P(s,0)= 先考虑稳定性问题。由于Po的分子和分母多项式互质,Po可镇定。若取C=(6s+5)/(s+1),则闭环 糸统的特征多项式为 F(s,6)=(s+1)(s2-8+1)+(6s+5)(s+1+6)=(s+1)(s+2)(s+3)+6(6s+5) 当δ=0时,闭环糸统稳定。当δ=-1.2时,F(s,δ)有一个根位于原点。而当δ<-1.2时,由根轨迹法 知,F(s,δ)将有一个根位于正实轴上。上述分析表明,参数的不确定性將影响糸统的稳定性 再考虑伺服河题。设参考输入为阶跃信号,则控制器中应有积分环节。此时要求Pa(s,6)=P(s,6)/ 不能有不稳定的零极点对消。为保证这一点,δ应大于-1 这个例子说明,系统中的不确定参数会使系统的性能发生逆变。为了保证系统的性能不受不确定性的影 响,不确定性参数应该在某种意义下足够小。换句话说,作为设计依据的标称模型Po应足够精确。上面 这个例子还说明,对系统的性能要求越高,对标称模型Po的精确度要求越高。 下面考虑具有另一种不确定性的系统。我们先定义T∞范数。设G是稳定的线性系统。G的 范数‖G‖定义为 G叫|s:=esup[G(ju (1.1) 这里列是矩阵的最大奇异值。‖的意义如下。设G的各个输入信号t;(t)是同频率的正弦信号, 则稳态时各个输出信号y(t)是和输入同频率的正弦信号。令u(j)和v(ju)分别是u(t)和y(t)的复数 表示,则有 y(w)=G(w )u(w 其中ω是正弦信号的频率。系统对频率是的正弦信号的放大作用定义为 y(jw) ax 可以证明,上述比值为∂[G(心ω于是,‖G实际上是系统对正弦输入的最大增益,它可以理解为衡量 系统“大小”的一个尺度。当G是单变量系统时,‖|即G的幅频响应特性的最大值,见图1.3. 图13:H∞范数的意义 例1.2考虑图1所示具有非结构不确定性的控制糸统。图中P。是标称对象,Δ为不确定性。于是 (s,△)=-8+1 设Δ是任意H∞范数有界的稳定的线性环节。于是‖Δ‖s≤δ意味着Δ的幅频响应曲线(Bode图)总 是位于直线δ的下面,如图1.5所示。把这类Δ叫做非结构不确定性 仍取C=(6s+5)/(s+1).考虑闭环余统的鲁棒稳定性。由于考虑的是亲统的内稳定性,可设r=0 △的输入u△和输出v△之问的关亲为

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