第四章 Hankel范数模型逼近理论 广义距离问题可以化为 Nehari问题,即用一个稳定的传递函数矩阵在C、范数的意义下最好地逼近 已知的反稳定传递函数矩阵。这个问题可以看做 Hankel范数模型降阶问题的一个特例。本章将介绍 模型降阶问题及其解 841信号与系统 到现在为止,我们只是用到了γ、范数的定义。其数学和物理意义并不明确。在模型降阶问题的研 究中,、范数的意义将起重要作用。本节将以信号与系统的概念为切入点,引出 Laurent算子,并证明 H∞范数即 Laurent算子的范数 §±11时域信号 所谓时域信号即从R→Rm的一种映射。在控制中常用的信号都是时间的函数,于是我们一般用t 表示信号的自变量,如前面章节中出现的输入u(t),输出y(t)等都是时间的函数。设f(t)和g(t)是两个 信号,若按下式定义信号的加法和标量乘法 (f+g)(t)=f(t)+g(t) (4.1) (af(t)=af(t) 则所有的信号便构成了一个线性空间。用S表示这个线性空间。于是 S={f:R→Rn} 在S上定义函数∫:f→咒+,这里R+为所有非负数的集合。若‖·‖满足下述三个条件 (i)f≥0,‖f=0当且仅当f=0 )llf=lal·‖f,va∈R il)f+g≤‖f+‖!‖ 则称‖·‖为S上的一个范数。定义了范数的线性空间叫做赋范空间( Normed Space) 设{∫}是S中的一个序列。若lim→sfk-「=0,则称{∫fx}收敛于∫.若f∈S,则称{∫2}是收 敛的。S中的一个序列{f}叫做 Cauchy序列,如果对任意的∈>0都存在一个正数N,使得‖f;-fl‖lN.如果S中每个 Cauchy序列都是收敛的,则称S是完备的。 定义4.1完备的赋范空间叫做 Banach空间。 S上的内积是S×S→R的一个映射:(f,g)→→(f,g),且具有下述三个性质: (i)f,∫)是正定的,即(f,∫)≥0且(f,f=0,当且仅当f=0 i)(f,g)是 Hermitian,即(f,g)=(g,f) i)i(f,g)关于第二变量g是线性的,即对任意的a1,a2∈R,g1,g2∈S,都有 f,a1g+a292)=a1(f,g1)+a2(f,g2 对于实空间S, Hermitian性等价于对称性。由(i)和(ii)可导出 Cauchy- Schwarz不等式,从而若定义 f|2=√f,f,则可以证明‖·‖2是一个范数,称为内积的导出范数 定义42在导出范数‖f2:=√f,∫的意义下完备的赋范空间叫做 Hilbert空间 定义4.3 hilbert空间S中的两个向量∫和g叫做相互垂直,如果(f,g=0 对于f(t,g(t),若定义 f”(t)g(t)
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第四章 Hankel范数模型逼近理论 则(f,g)是一个内积。此时导出范数 1/2 f|2 f(t)f(t)dt 表示信号∫(t)的总能量。用 Lebesgue空间C2(-x,∞)表示所有总能量有限的信号f(t),即 C2(-∞,∞)={f:‖f|20}.于是 c2(-∞,∞)=C2(0,∞)c(-∞,0) 相应地,任何一个f∈C2(-∞,∞)都可分解为 f=ff这里f。∈C2(0,∞),fa∈C2(-x,0 ∫。叫做∫的因果( causal)部分,∫a。叫做∫的反因果(anti- causal)部分。这种叫法的原因是我们的时空 在时间轴上是因果的 412频域信号 (43)式说明,C2(-∞,∞)中的信号f(t)都是平方可积的。根据积分变换理论可对f(t)∈C2(-∞,∞) 进行 Fourier变换 f(t)e dt (j)是f(t)在频域中的表达。f(j)也可看作是f(s)当s=ju时的取值,这里f(a)是f(t)的双边 Bilateral) Laplace变换。显然,按通常意义下的加法和标量乘,所有的频域信号,即f(s)=C{f(t)},也 构成一个线性空间。由 Laplace变换的线性,可知 (f+g)(t) (f+g)(s) (af)(t) cf(s) 用S表示这个线性空间,于是 我们用C2表示所有在虚轴上平方可积的复变函数f(s)的集合,即 f(ju)f(j)du<∞ 在C2上定义内积 (f, g) f (wg(w)de 则导出范数|H|2=√(,分由Pae等式(f,9)=(f,g)可得|fl2=2 对于∫(t)∈C2(0,∞),相应的f(s)在右半平面内解析。所有在右半平面内解析且满足条件‖f|2< 的函数定义了C2的一个子空间,记为h2. Fourier变换建立了C2(0,∞)和2之间的同构关系。H2的 正交补空间记为H2,则2与C2(-∞,0)同构。于是 显然,2为所有在左半平面内解析且范数有界的函数的集合。由 Liouville定理,在某区域内解析的 函数的极大值只可能在g的边界上取得。于是对于f(s)∈ I l2 f (o+ ju)f(o+ jw)de
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84,1信号与系统 而对于f(s)∈%2 f (o+ ju f(o+ju)dw 通常还在C2,2或2前面冠以前缀R以表示实有理函数。于是 RC2:有理函数向量,每个分量都严格真(分子阶次低于分母阶次),且在j轴上没有极点 Rλ2:有理函数向量,每个分量都严格真,且 Hurwitz稳定 RH2:有理函数向量,每个分量都严格真,且反稳定(所有极点都在右半平面) 注4.1函数f()=-++工显然属于C2,但其拉氏反变换函数f(=d+C3C2(x,x)导致 这矛盾的原因在于,我们把所有的时间函数都看成是因果的。从前面的分析可以看出,f(s)中反稳定部 分 对应于某一f(t)∈C(-∞,0),即反因果时间函数。事实上,、1 e,t∈(-∞,0).于是 f(s)在时域中的表达应为 对∫(t)进行双边 Laplace变换,即可得到f(s).如果把e-t当作定义在整个时间轴上的函数,则当t 时,e-1→∞.从而c-t3C(-∞,∞).一般情况下,若f(t)=t·eat,m≥0,a>0,则任为它是因果 的;若α<0,则认为它是反因果的。同理,若∫(s)∈H,则认为它是反因果时问函数的 Laplace变换。反 因果信号的物理意义在于它赋于亲统某一初态m(0),这里a(t)为亲统的状态向量。以后将会看到,若亲统 可控,则对任意給定的向量:0,都可找到u(t)∈C2(-∞,0),使得余统在输入u(t)的作用下,m(0)= 定理4.1 Fourier变换是C2(-∞,∞)到C2的一个 Hilbert空间同构映射( Hilbert space isomorphism) 用符号 表示同构,则有 C2( ) L C2(0,∞)H (4.7) H- 84.13算子与系统 令l和y是丑 Filbert,空间。A是从l到y的一个映射.如果把l中的元素u(t)作为“输入”,并定 y(t)=(Au)(t) 为“输出”,则A就是一个系统。如果对任何a1,a2∈C,u1,u2∈l,都有 (A(a1u1+a2u2)(t)=a1(Au1)(t)+a2(Au2)(t) 则称A为线性映射。如果存在正实数a,使得 Au|≤ llull,Yu∈l (49) 则称Δ为有界。满足(49)式的a如果存在,将有无限个。因为如果(49)成立,则对任何a≥a,u∈l 都有‖Au2≤叫ll.使得(49)式成立的最小的a叫做映射A的范数,记做|A 4.4有界的线性映射叫做算子。 42)如果G∈C。则GC2CC2,且有 i)如果G∈,则Gh2c2,且有 IGloo=sup lGu 2:u H2, lu|2=11
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第四章 Hankel范数模型逼近理论 从定理42可以看到,G∈C。通过通常意义下的乘法 定义了C2到C2的一个算子Aa,称AG为 Laurent算子.如果G∈化a,则Ac定义了h2→→2的一 个算子。现在考虑G∈RC.因为G在虚轴上没有极点,可以将它分解为 这里G+,G-∈R%∞,且严格真。Go是常矩阵。于是存在一个包含虚轴在内的垂直条形区域,在这个 区域内G是解析的。如果取收敛域为这个条形区域,对G做双边 Laplace反变换,记作C-1{G}=G: 并定义卷积映射三G y(t)=(EG,u)(t): y(t) G(t-T)u(r) 则三c,是线性映射。由 Parseval等式可得 y(t)y(t)dt (4.11) ≤‖Gl/u'(ja)u(ja)d 于是三c;1是一个算子。注意在(411)式中我们用到下述关系 y(t)=(三a1u)(t)则y(s)=Gu(s) 于是三c:是C2(-∞,∞)到C2(-∞,∞)的一个算子。然而三G:并不一定是因果的,因为由(410)可得 G06 t>0 这里G-,G6(t)和G+分别为G-,G0和G+的 Laplace反变换,6(t)为Drac函数。Ec;不是因果 的,是指它将一个只有因果分量的输入u(t)∈C2(0,∞)映射为一个既有因果分量又有反因果分量的输出 信号y(t).后者相当于在通常意义下不稳定分量。于是三是因果的,当且仅当G∈RHa,即G是稳定 的;三a;是反因果的,当且仅当G.∈RHa,即G是反稳定的 842 Hankel算子和 Hankel范数 本节将引入 Hankel算子的概念。用 Hankel范数给出‖l-Q川s的一个下界。最后给出 Hankel范数 的计算公式 8421 Hankel算子 在内积空间C2中可定义投影算子Ⅱ.特别地,由于C2=2⊕H,可以定义投影算子 显然(mxu()和(mn2)()取的分别是u()的稳定和反稳定部分.设G∈R,()∈H,则 (Gu)(s)即有反稳定部分,又有稳定部分。与G相对应的 Hankel算子rc定义如下:
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84,2 Hankel算子和 Hankel范数 即(rGu)(s)是(Gu)(s)在%2上的投影,就是(Gu)(s)的稳定部分.显然,r将一个反稳定的频域信 号u(s)映射为一个稳定的频域信号认(s).(4.12)式是G定义的 Hankel算子在频域中的表达 由于C2(-∞,∞)=C2(-∞,0)④C2(0,∞),亦可定义投影算子 (-∞,∞)→C2(0,∞) )→C2(-∞,0) 记G∈RHa的 Laplace反变换为G:,则时域中的 Hankel算子定义为 TGt: C(00, 0)C(0, oo), (IG,u)(t)=I+(EG u)(t) (4.13) t0 显然,D.矩阵的存在与否对y(t),从而对rG没有影响 下面我们研究rG的伴随( adjoint operator)算子 定义4.5设IG.是C(0,∞)到C2(-∞,0)的一个算子,且对任意的u(t)∈C2(-∞,0),y(t∈C2(0,∞) 都有 则称rG.是IG的伴随算子(或共轭算子) 注意,共轭算子是共轭转置矩阵概念的推广.引理41给出了IG.的表达式 引理41对于y(t)∈C2(0,∞) (rG.y)(t)= A(r-tC“y(r)dT t0,y(t)=0t<0 (T)B (T)B
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笫四章 Hankel范数模型逼近理论 交换积分次序可得 TIGu, y) "()/BeA"(-uC" y(t)dtd v(r)在整个时间轴上都有定义.特别地,当T>0时v(r)≠0.但由于u(r)∈C2(-∞,0),U(r)在r>0 时的值对积分无影响.若定义 (Ic,y)(t)=Ⅱ-v(t) Be-A(-rC"y(r)dr,t 则(reu,y)={u,re.y)Yu(t)∈C2(-∞,0),y(t)∈C2(0,∞) 422‖R-Q‖的一个下界 由 Hankel算子和算子范数的定义,可得 (t)y(t)dt (417) (t)u(t) di 式中v(t)=(Icu)(t).上式中的范数rc‖叫做G的 Hankel范数对于传递函数矩阵G,将|rl‖记 为‖CH|.显然,‖·‖r并不满足范数的条件(i),因为当G.∈咒时,即使G≠0,vu(s)∈ (Gu)(s)∈%2.于是rcu)(s)=0.所以,‖·|a只是半范数( seiml-norm).只有把G限制在咒a上时, G|a才成为范数.由定理4.1容易证明 rc‖,‖ra.‖=|rd‖,‖rcl‖2=|ra.I 用 Hankel范数可以容易地给出‖R-ρ‖s的一个下界。考虑一块问题 引理4 IR-Qlloo 这里R,Q∈咒H.于是R-Q,∈RC.记G=R-Q,,由定理4.2 p{Gu|g:u∈C2,lll=1} p{|Gu|2:u∈H2,‖l=1 ≥sup{|In2Gu|:u∈2,‖ll=1} 这就是所需的结果 (419)式给出了一块问题的一个下界.若能证明存在Qp∈R∞使(419)中的等号成立,则‖fln 就是可达到的下确界,Q。p即最优解 8423 Hankel范数的计算 前一小节的分析说明, Hankel范数的计算是解化。控制问题的一个关键。本节将给出 Hankel范数 的解析计算公式 定理43令(A,B,C)是稳定的传递函数矩阵G的一个最小实现, BBe dt 则‖rd‖=√人ma(P·Q),这里λmx()是矩阵的最大特征值
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84,2 Hankel算子和 Hankel范数 证明:直接按式(417)计算|‖并不容易。为此,我们从 Hankel算子的物理意义出发,分三步进行计 算 第一步:设u(t)∈C2(-∞,0),计算y(t)=(rau)(t)及‖y(t)|2 因为考虑的仅仅是u(t)的作用,可设a(-∞)=0.在反因果输入u(t)的作用下,a(0)=mo.由于 u(t)=0,t>0,系统的输出为 y(t)=(TGu)(t)=Ce-At t>0 由y(t)可算得 ly(t)2=Jo yr(t)y(t)dt Q eAtC"Ce At dt 则‖y(t∥=Qa0.由于A稳定,(C,A)完全可观测,Q>0.Q满足 Ly apunov方程 AQ+QA+CC=0 第二步:求将系统的状态由 0转移至a(0)=o,且能量最小的反因果输入信号u(t) 个问题等价于在限制条件 a= Ae+ Bu 下解优化问题 u (t)u(t)di 做变量置换:r=-t,v(r)=u(-t),p(r)=(-t),则上述问题等价于求解优化问题 v"(T)u(r)dr p(r)=-Ap(r)-Bu(r 这是取状态p(r)的加权阵为0输入(7)的加权阵为I的LQ问题。应用LQ理论,可得topt(r)=BXp(r), 其中X是ARE XA-AX-XBB X=0 的镇定解,即-(A+ BB X)Hurwitz稳定 由于(A,B)可控,(A,B)的可控性 Gramianp,即 Lyapunov方程 AP+ PA+BB=0 4.24 的解可逆。于是有 且-(A+BBP-1)=PAP-1稳定。这意味着X=P-1是(423)的解。从而问题(42)的解是 意,uopt(t)是以状态反馈的形式给出的。如果能让时光倒流,则由于闭环系统的状态矩阵A+BBP-1 PAP-1反稳定,无论a(0)为何值,都有a(-∞)=0.但时光显然不能倒流,而我们的任务是把a(-∞) 转移至x(0)=0.此时需将uop(t)改写成开环控制的形式 uopt(t)=B" P-l(t)=B"P-e(A+BBP)*zo= B" P-le-PAP'ao=Be-4tP-lzo (4.26)
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第四章 Hankel范数模型逼近理论 于是 min llu()l2=llop(t)l2=aoP-xo 第三步。求|rel 由o的任意性可得 这就是所需的结果 自共轭算子IG,rG是C2(-∞,0)到C2(-∞,0)的一个映射。于是可以定义其特征值和特征向量 定义4.6若存在非零向量u;(t)∈C2(-∞,0)和实数λ;使 成立,则称λ是算子IG.IG的一个特征值,u;(t)是(属于λ的)特征向量 下面我们将求出rG.IG的所有非零特征值及其特征向量 给定常向量xo.定义u(t)=B"e-4"P-1ro,t0时u(t)≡0 y(t)=TGu(t)=C (428) 为确定rG.rG的特征值和特征向量,令v(t)=Ce4mo为共轭算子TG.的输入。则 TG. y(t) dt. t<0 (4.29) 由(428)和(4.29)可得 TGTGu(t)=B'e4P-PQao (4.30) 令 )(t)= Au(t) vt <0 B"e-AtQzo=XB"e-Atp-lzo vt<0 台→Be-4P-1[(MI-PQ)a]=0t< 由于(A,B)完全可控,上式又等价于(M-PQ)a0=0,即mo是PQ的右特征向量。于是,u(t)是rGIG 的特征向量,当且仅当PQx0=a2x0.即x是矩阵PQ的右特征向量。于是IG.IG的个特征向量为 u(t)=B"e-P-1m,其中;是矩阵PQ的右特征向量。‖rc.T‖是ra.Ta的最大特征值。 8424平衡实现与平衡截断 若(A,C)不可观测,则存在v≠0,使得 λI-A 若取xo=U,则由(421)可得 IQo+aoQAo+Caol →(X+入)a3Qao 上述分析表明,如果ao属于(A,C)的不可观测子空间,则由mo决定的零输入响应y(t)=0,→ yt)‖=0
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84,2 Hankel算子和 Hankel范数 如果(A,C)完全可观测,则对任何x0≠0,|y)=Qo≠0.但对不同的o,即使它们的范数 (大小)相同,相应的|y(t川2可能不同。如果对于|l‖=|l=1,有|y(t)川2>‖y(t川2,自然可以认 为x比m可观测性强 若(A,B)不可控,则存在U≠0,使得 U"[I-A B]=0f 若取0=U,则mo不可控。类似地可以证明cPco=0.换句话说,若要求a(0)=o,则需要反因果输 入信号u(t)的能量无限。对于可控对(A,B)来说,如果mPzo很小,则可认为o可控性差 对一般的状态空间表达式(A,B,C),其每个状态向量ao的可控性与可观测性的好与否是不一样 的。ao的可观测性也许好,但可控性也许很差。于是,我们要问,是否存在这么一种实现(Aba,B1a1,Cba) 其状态空间中任何向量:o的可观测性和可控性的好坏程度是一样,即所有的状态的可控和可观测性程度 都是一样的。我们称这种实现为平衡实现( Balanced realization) 定义47状态空间表达式(A,B,C)叫做G∈咒饥。的一个平衡实现,如果A渐近稳定,且存在正定对 满足 Lyapono方程 A∑+∑A+BB A∑+∑A+CC 这里a1≠02≠……≠σ,均为正数,T1+72+…T。=n.如果还有01>02>…>σs,则称(A,B,C)为有 序平衡实现 注意,平衡实现有三个含义:稳定性、最小性和(状态空间的可控、可观测性的)平衡性 下面的定理说明了如何把一个稳定的最小实现(A,B,C)通过线性变换转换成平衡实现 引理43设(A,B,C)是一稳定的最小实现 1.存在非奇异阵T使得(TAT-1,TB,CT-1)是平衡实现,这里T=∑-12UR-1,P=RR”是P的 个 Cholesky分解,R"QR=U∑2U·是矩阵R'QR的一个奇异值分解,P,Q分别是(A,B,C)的 可控性以及可观测性 gramian g.平衡实现在相差一个正交矩阵因子的意义下是唯一的,即如果∑是另一个平衡实现的可控可观测性 Gramian,则有∑=S∑S这里S"S=I.如果r1=r2 rs=1,则S为对角矩阵,其对角线元 素等于1或-1 证明: 如果P和Q满足关于(A,B,C)的两个 Lyapunov方程,则有 (TATTPT)+(TPT(TAT-(TB)(TB) (4.31) (TAT-4)(-QT-1)+(T-“QT-1*)(TAT-1)+(CT-)(CT-1)=0 于是,状态空间中的线性变换Ta(t=(t),对P和Q的影响是合同变换: P→TPTQ→(T-1)QT 在上述合同变换中令T=∑12U*R-1,则有 ∑-1/2URB-U∑2UR-1RU∑-1/2=∑
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第四章 Hankel范数模型逼近理论 2.证唯一性。在线性变换S下 ∑→→SEs∑→→(S-1)∑S 由于变换后仍是平衡实现,必有∑=S∑S=(S-1)∑S-1.于是 ∑2=Ss·(S)-∑S ∑2S 最后一个式子说明S的列向量是∑2的右特征向量,即s;满足 (a2I-∑2) 由于σ;>0,0+∑非奇异。再由a2I-》2=(o;I+∑o-∑),得 (2I-∑2)s;=0÷(o-∑)s;=0∑s=S∑ 若存在S满足∑=S∑S,则必有∑=∑SS",于是SS=I 现在将∑进行分块 这里 ∑ 相应地,将(TAT-1,TB,CT-1)进行分块 aT TB=/B 这里dm1=dm1=-1r,为简便起见,我们仍用(A,B,C)来表示平衡实现(TAT-1,TB,CT-1) 引理44设(A,B,C)是平衡实现。称(A1,B1,C1)是它的一个平衡截断。则(A1,B1,C1)也是平衡实 证明:先证明(A1,B1)的可控性 gramian和(C1,A1)的可观测性 Gramian为同一个正定对角阵。(431) 等价为 A1A12 ∑10 A1 A2l BI A21A22 0∑ A12A22 B, Al A ∑10 A A2 A1 A12 这两个矩阵方程的(1,1)块分别为 11+∑1A1+B1B1 A111+∑1A1+C1C1 再证明稳定性。由定理B,只需证明(A1,B1,C1)是最小实现,则由∑1>0可知A1渐近稳定。用反 证法。设(A1,B1)不可控。则存在υ≠0,满足 [λI-A1B1]
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