第四章 Hankel范数模型逼近理论 广义距离问题可以化为 Nehari问题,即用一个稳定的传递函数矩阵在C、范数的意义下最好地逼近 已知的反稳定传递函数矩阵。这个问题可以看做 Hankel范数模型降阶问题的一个特例。本章将介绍 模型降阶问题及其解 841信号与系统 到现在为止,我们只是用到了γ、范数的定义。其数学和物理意义并不明确。在模型降阶问题的研 究中,、范数的意义将起重要作用。本节将以信号与系统的概念为切入点,引出 Laurent算子,并证明 H∞范数即 Laurent算子的范数 §±11时域信号 所谓时域信号即从R→Rm的一种映射。在控制中常用的信号都是时间的函数,于是我们一般用t 表示信号的自变量,如前面章节中出现的输入u(t),输出y(t)等都是时间的函数。设f(t)和g(t)是两个 信号,若按下式定义信号的加法和标量乘法 (f+g)(t)=f(t)+g(t) (4.1) (af(t)=af(t) 则所有的信号便构成了一个线性空间。用S表示这个线性空间。于是 S={f:R→Rn} 在S上定义函数∫:f→咒+,这里R+为所有非负数的集合。若‖·‖满足下述三个条件 (i)f≥0,‖f=0当且仅当f=0 )llf=lal·‖f,va∈R il)f+g≤‖f+‖!‖ 则称‖·‖为S上的一个范数。定义了范数的线性空间叫做赋范空间( Normed Space) 设{∫}是S中的一个序列。若lim→sfk-「=0,则称{∫fx}收敛于∫.若f∈S,则称{∫2}是收 敛的。S中的一个序列{f}叫做 Cauchy序列,如果对任意的∈>0都存在一个正数N,使得‖f;-fl‖lN.如果S中每个 Cauchy序列都是收敛的,则称S是完备的。 定义4.1完备的赋范空间叫做 Banach空间。 S上的内积是S×S→R的一个映射:(f,g)→→(f,g),且具有下述三个性质: (i)f,∫)是正定的,即(f,∫)≥0且(f,f=0,当且仅当f=0 i)(f,g)是 Hermitian,即(f,g)=(g,f) i)i(f,g)关于第二变量g是线性的,即对任意的a1,a2∈R,g1,g2∈S,都有 f,a1g+a292)=a1(f,g1)+a2(f,g2 对于实空间S, Hermitian性等价于对称性。由(i)和(ii)可导出 Cauchy- Schwarz不等式,从而若定义 f|2=√f,f,则可以证明‖·‖2是一个范数,称为内积的导出范数 定义42在导出范数‖f2:=√f,∫的意义下完备的赋范空间叫做 Hilbert空间 定义4.3 hilbert空间S中的两个向量∫和g叫做相互垂直,如果(f,g=0 对于f(t,g(t),若定义 f”(t)g(t)
✂✁✂✄✆☎✞✝✠✟☛✡✠☞✍✌✏✎✂✑✂✒✂✓✂✔✂✕✂✖✂✗ ✘✚✙✚✛✚✜✚✢✚✣✚✤✦✥✦✧✚★✪✩✬✫ ✭✮✯ ✰✱✢✚✣✚✲✴✳✚✵✚✶✚✷✚✸✦✹✚✺✦✻✦✼✚✽✦✾✚✿✦❀✚❁❃❂✬❄❆❅✚✾✚✺✚❇✚✙✚❈✚❉✦❊✚❋✦●✚❍ ✶✚✷✚■✚❏✚✺✚❑✚✸✦✹✚✻✦✼✦✽✚✾✦✿✚❀✦▲✴▼✚✷✦✢✚✣✦✤✚✥✦◆✦❖✪P✬✮◗❘✫ ❙✱❅✚✾✚❚✚❯✚❱✚❲✚✢✦✣✚✺✦✶✦✷✚❳✦❨✚▲✴❩✦❬✚❭✦❪✚❫ ❚✚❯✚❱✚❲✚✢✚✣✚❴✦❵✚❛✦▲ ❜❞❝✬❡ ❢❤❣❥✐❥❦❥❧❥♠ ♥✦♦❁✦★✦♣✦✲✴q✦r✦s✦t✦✵♥✦✉❃✈❄✇❅✦✾✦✺✦✹✦✙✦▲✴❵✦✾✦①✦②✦③✦④✦❇✦✙✦⑤✦⑥✦⑦✦⑧✦▲✴❁✦❚✦❯✦❱✦❲✦✢✦✣✚✺✦⑨ ⑩✚❶✚✲ ✈❄✇❅✚✾✚✺✚❇✚✙✚❭✚❷✚❸✚❹✚❺✦✵✚▲❻❩✦❼✚❭✦✥✚❽✦❾✚❿✚➀✦➁✚✺✦➂✚➃✚★✦➄✚➅✦➆✚✲❻➇✦➈❃➉➊✮➋✯ ✫◗➌✍➍✚➎✚✲❻⑤✚➏✚⑦ ✈❄➐❅✚✾✚✳✪➉➊✮➋✯ ✫◗➌✬➍✚➎✚✺✚❅✚✾✚▲ ➑ ➒➔➓ →❞➓ →↔➣✚↕✚➙✚➛ ➜✚➝✚➞✚➟❽✚❾✚✳✚➠➢➡✞➤❞➥➦➡➨➧✦✺✚✶✚➩✚➫✚➭✚▲✏❁✚➯✚➲✦❶✚➳✦✵✚✺✦❽✚❾✦➵✚t➞✚➸✺✚✽✦✾✚✲✏➺✦t✚q✦r✚✶✚➻✦✵➽➼ ➾✚➚✚❽✚❾✚✺➦➪☛➶✦➹✦✲✴➘✚➴✦➷✚❬✦❼✦❶✚➈ ♦✺✦➬✚➅✪➮✃➱ ➼ ❐ ❒ ➬✚➈❃❮❰➱ ➼ ❐ÐÏ✚➵✚t➞✚➸✺✦✽✚✾✦▲✴ÑÓÒÔ➱ ➼ ❐Ð②❃Õ➔➱ ➼ ❐Ðt✚Ö✚✷ ❽✚❾✚✲✴×✚Ø✚❈✚Ù✚✹✦✙✦❽✚❾✦✺✚Ú✦Û✚②✦Ü✦➹✚Ý✦Û ➱ Ò❻ÞßÕ➊❐ ➱ ➼ ❐áàâÒÐ➱ ➼ ❐➔ÞßÕ➔➱ ➼ ❐❞ã ➱ ä❰Ò✱❐ ➱ ➼ ❐åàæä❰ÒÐ➱ ➼ ❐❞ã ➱ ç è é ❐ ê➜✚ë✺✚❽✚❾✚ì✦í✚î✉ ✶✚✷✦ï✚ð✦ñ➸▲✴✵❃ò✦➾✚➚✚▼✚✷✚ï✚ð✚ñ➸▲✴➺✚t òßàôó Òßõ ➡✇➥➦➡➨ö➊÷ ❁❃ò✴ø✚✹✚✙✚✽✚✾úù Ò✍ù✍õ Ò✏û➤➊➥➦➡❻ü✏✲✴▼✚ý➢➡❻üß★➜✚ë✚þ✚ÿ✾✦✺✁✄✂✚▲✴×Óù✆☎ ù✆✝✁✞❈✄✟✄✠✚✷✄✡✁☛✌☞ ➱ ✰ ❐✍ù Ò❰ù✎✍✑✏ ❒✱ù Ò❰ù✬à✁✏✓✒✕✔✄✖✌✒❃Ò✴à✄✗✙✘ ➱ ✰ ✰ ❐✍ù ä❰Ò❰ù✬à✛✚ ä✆✚ ☎ ù Ò❰ù ã ✜❞ä✣✢➨➡ ➱ ✰ ✰ ✰ ❐✬ù Ò❻ÞßÕ✱ù✎✤✦ù Ò❰ùÐÞ✦ù Õ✱ù ê✁✥áù✦☎ ù✍★❃ò✴ø✚✺✚✶✚✷✚❅✚✾✚▲✴✹✦✙✉ ❅✦✾✚✺✦ï✚ð✦ñ➸★✧❖✁✩✦❅✚ñ➸ ➱ ✩✫✪✯✬➨✫✭✣✮ ✯✮✰ ✫ ❐❰▲ Ñ✪ó Ò✲✱ ÷✬t➢òß❶✚✺✚✶✚✷✁✳✑✴✚▲☛×➢❙ ✰✬✱ ✵ ❄✚ù Ò✲✱❰➤✏Ò❰ù✍à✄✏ ❒ ê✁✥áó Ò✶✱ ÷✆✷✄✸➺✪Ò❰è➔×✪Ò✹✢ ò✬❒ ê✁✥áó Ò✲✱ ÷✬t✁✷ ✸✺✚▲ßò✏❶✚✺✚✶✚✷✁✳✑✴➢ó Ò ✱ ÷ ✧❖✻✺❰✮➋✰✭✼✽✳✑✴✚✲Ð➘✄✾✄✿✁❀❇✚✺❂❁✎❃✑✏✬➵✄❄✚❁✚✶✚✷✄❅✚✾✻❆✏❒ ❇✄❈❃ù Ò✲❉ ➤➨Ò ✱ ù✎❊✑❁ ✜●❋ ã ❍■❃✄❆✏è✱➘✄✾❃ò ❶✁❏✷❑✺❰✮➋✰✭✼▲✳✑✴✚➵✚t✁✷✄✸✺✦✲✴ê✁✥➢ò✦t✁▼✑◆✚✺✚▲ ❖✑P ➒➔➓ →✛◗✣❘✌❙✕❚❱❯✄❲✌❳✕❨✑❩❭❬✆❪❫✙❪ ❴❵✣❲✁❳ ▲ ò✴ø✚✺★❛❝❜✚t❃ò✌❞➨ò✴û➤❞➥➦➡❥✺✚✶✚✷✚➫✚➭✌☞ ➱ Ò✍ã Õ➊❐✱û➤➊➥❢❡ ÒÐã Õ✙❣ ❒ ✔✄❤ë❈✄✟✄✠✦✷✚ð✌✐✁☞ ➱ ✰ ❐✆❡ Ò❰ã Ò✲❣Ðt✄❅✚✹✚✺✚✲✴✳❑❡ Ò✍ã Ò✶❣❥✍✄✏✽✔❦❡ ÒÐã Ò✶❣Ðà✄✏ ❒✙✒✕✔✄✖✌✒❃Òßà✁✗✙✘ ➱ ✰ ✰ ❐✆❡ ÒÐã Õ✙❣Ðt✪P✬✫ ✯✬➨✰ ➌ ✰✮◗➊❒ ✳ ❡ ÒÐã Õ✙❣Ðà✌❡ Õ✱ã Ò✲❣ ➱ ✰ ✰ ✰ ❐✫❡ Ò❰ã Õ●❣❥❧✚➺✄♠✄♥✚➶✚➹❃Õßt✚ï✚ð✚✺✚✲✴✳✄✿✌❀❇✦✺❃ä✦♦ ã ä❥♣✫✢➨➡ã Õ ♦ ã Õ♣ ✢ ò✬❒ ➵ë ❡ Ò❰ã ä✦♦ Õ☛Þßä❥♣ Õ ♣ ❣Ðà✚ä✦♦ ❡ ÒÐã Õ ♦ ❣➔Þßä❥♣ ❡ Ò❰ã Õ♣ ❣ ✿✦➺✌q✚ñ➸ òß✲✪P✬✫ ✯✬➨✰ ➌ ✰✮◗☛ð✦Ï✁r✦➺✁✿✌✥✚ð✦▲❱s✞➱ ✰ ✰ ❐➊②á➱ ✰ ✰ ✰ ❐Ð✤✁t✦➈❭✺❰✮➋✰✭✼✉ ✮ ✰✭✈❰✮✯ ✇✍⑥✦Ï✦Ù✦✲✴➠✁①✦×✦✹✦✙ ù Ò❰ù ♣✬à❱②❡ ÒÐã Ò✶❣ ❒ ê✚✤✚✥✚➏✚⑦úù✆☎ ù ♣✬t✚✶✚✷✚❅✚✾✚✲✑✥★③❛❝❜✦✺✄t✦➈✦❅✚✾✦▲ ❖✑P ➒➔➓ ④❱⑤✁⑥✛⑦✣❯✣⑧ ù Ò✍ù ♣✍õ à ②❡ Ò❰ã Ò✲❣ ❙✕⑨✄⑩✁❶✌◗✣❘❱❙✕❚✛❯✄❲✌❳✕❨✑❩❭❷✎❸ ❹ ❺❻ ❼❽✆❲✁❳ ▲ ❖✑P ➒➔➓ ❾❱❷✎❸ ❹ ❺❻ ❼❽✦❲✁❳ ò✛❿ ❙✄➀✣➁★➂✣➃ Ò❱➄➽Õ ❨✕❩✄➅✁➆✑➇✌➈✲✄➉✁➊❦❡ Ò✍ã Õ●❣Ðà✁✏ ✿✚➺áÒ❰➱ ➼ ❐ ❒ Õ➔➱ ➼ ❐ ❒ ×✚✹✚✙ ❡ ÒÐã Õ✙❣Ðà✄➋ ❄ ➌ ❄ Ò✶➍ ➱ ➼ ❐ Õ✱➱ ➼ ❐ ➎Ð➼ ➱ ç è ➏ ❐ ➐ é
第四章 Hankel范数模型逼近理论 则(f,g)是一个内积。此时导出范数 1/2 f|2 f(t)f(t)dt 表示信号∫(t)的总能量。用 Lebesgue空间C2(-x,∞)表示所有总能量有限的信号f(t),即 C2(-∞,∞)={f:‖f|20}.于是 c2(-∞,∞)=C2(0,∞)c(-∞,0) 相应地,任何一个f∈C2(-∞,∞)都可分解为 f=ff这里f。∈C2(0,∞),fa∈C2(-x,0 ∫。叫做∫的因果( causal)部分,∫a。叫做∫的反因果(anti- causal)部分。这种叫法的原因是我们的时空 在时间轴上是因果的 412频域信号 (43)式说明,C2(-∞,∞)中的信号f(t)都是平方可积的。根据积分变换理论可对f(t)∈C2(-∞,∞) 进行 Fourier变换 f(t)e dt (j)是f(t)在频域中的表达。f(j)也可看作是f(s)当s=ju时的取值,这里f(a)是f(t)的双边 Bilateral) Laplace变换。显然,按通常意义下的加法和标量乘,所有的频域信号,即f(s)=C{f(t)},也 构成一个线性空间。由 Laplace变换的线性,可知 (f+g)(t) (f+g)(s) (af)(t) cf(s) 用S表示这个线性空间,于是 我们用C2表示所有在虚轴上平方可积的复变函数f(s)的集合,即 f(ju)f(j)du<∞ 在C2上定义内积 (f, g) f (wg(w)de 则导出范数|H|2=√(,分由Pae等式(f,9)=(f,g)可得|fl2=2 对于∫(t)∈C2(0,∞),相应的f(s)在右半平面内解析。所有在右半平面内解析且满足条件‖f|2< 的函数定义了C2的一个子空间,记为h2. Fourier变换建立了C2(0,∞)和2之间的同构关系。H2的 正交补空间记为H2,则2与C2(-∞,0)同构。于是 显然,2为所有在左半平面内解析且范数有界的函数的集合。由 Liouville定理,在某区域内解析的 函数的极大值只可能在g的边界上取得。于是对于f(s)∈ I l2 f (o+ ju)f(o+ jw)de
➑ ➒ ➓❱➔✹→↔➣✆↕➙➛➜➝✦➞✣➟✑➠✌➡✑➢✄➤✁➥✑➦ ➧❑➨ ➩❥➫ ➭✙➯❥➲✁➳✑➵★➸❝➺✌➻✹➼✌➽✑➾❱➚✑➪✄➶ ➹ ➩ ➹ ➘✫➴➬➷➮✕➱✃ ➱ ➩✶❐ ❒ ❮ ❰ ➩❥❒ ❮ ❰ Ï❥❮ Ð✙Ñ Ò ➘ Ó✄Ô✄Õ✄Ö×➩✫❒ ❮ ❰✫Ø✄Ù✑Ú✑Û✌➻✣ÜÞÝ✙ßà●ß á âãßåä✁æ❂ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰✶Ó✄Ô✄ê✄ë✌Ù✑Ú✄Û✄ë❱ì✄Ø✑Õ✁Ö×➩✆❒ ❮ ❰ í●î ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰ ➴✌ï ➩❂ð ➹ ➩ ➹ ➘✆ñ éóò ❒ ô õ ö ❰ ÷ ç ➘ ❒ ø ➫ é✑❰❥ù❢ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰✆ú✑Ø✑ê✁ë✁û❱ü✁➽✌æ✕ý✁þ✁ÿ✁✌ù✁✂✌Ø☎✄✑➶✌Ø✁✆✁✝✟✞✡✠✁☛Þç ➘ ❒ ø ➫ é✑❰✶➲❑ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰ þ✌Ø✑➳✑➵✌☞✡✍✌ä✌æ✎✞✡✏✁✑☎✒☎✓❢ç ➘ ❒ è✆é✄➫ ø ❰✦ù ï ➩✶❒ ❮ ❰✦ð ➩❥❒ ❮ ❰ ➴☎✔ ➫ ✕❮✗✖✑ø ò õ✙✘✑➲ ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰ ➴ ç ➘ ❒ ø ➫ é✑❰ ✚ ç ➘ ❒ è✆é✄➫ ø ❰ ✛✁✜✁✢✟✞✡✣✎✤✁➳✑➵❑➩✎✥▲ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰✧✦☎★✎✩✁✪✁ù ➩ ➴ ➩✧✫✬✚↔➩✧✭ ✫✯✮✁✰❭➩✧✫✗✥▲ç ➘ ❒ ø ➫ é✑❰ ➫ ➩✱✭ ✫✲✥▲ç ➘ ❒ è✆é✄➫ ø ❰ ➩✧✫✴✳✶✵×➩✕Ø☎✷✡✸×❒ ✹✺ãá✺✻ ❰✙✼✁✩✟✞❢➩✙✭ ✫✽✳✶✵×➩✕Ø✿✾✌✷✡✸×❒ ✺❀❁ ❂ ❃ ✹✺ãá✺✻ ❰❄✼✁✩✌➻❅✮✁❆❇✳✶❈✌Ø✎❉✌✷✕➲☎❊✟❋✄Ø✁➽✄ä û✌➽✁æ✣ý✄þ✄➲✌✷✿✸✌Ø✁➻ ● ❍✧■ ❏✱■ ❑▼▲✁◆✁❖✁P ❒ ô õ ö ❰✬◗✁❘❇❙✿✞✄ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰✦ú✕Ø✕Õ✄Ö×➩✦❒ ❮ ❰✧✦✄➲✁❚✁❯☎★✑➺✌Ø✄➻✗❱✁❲✄➺✁✩✁❳✁❨✁❩✁❬☎★✎❭×➩✆❒ ❮ ❰❄✥▲ç ➘ ❒ è✆é✄➫ é✑❰ ❪✁❫❵❴❛ã❜ ❂ ß ❜❄❳✁❨ ❝ ➩❥❒ ❞✧❡✦❰ ➴ ➮➱ ✃ ➱ ➩❥❒ ❮ ❰ ❢ ✃ ❣ ❤ ✐ Ï❥❮ ❒ ô õ ô ❰ ❝ ➩❥❒ ❞❥❡✦❰✦➲×➩❥❒ ❮ ❰✦û☎❦☎❧★ú✑Ø✑Ó☎♠❱➻ ❝ ➩❥❒ ❞❥❡✦❰❄♥✟★✁♦☎♣✁➲ ❝ ➩❥❒ q ❰srtq ➴ ❞✧❡✁➽✁Ø✑ÿ☎✌✞✶✮☎✰ ❝ ➩❥❒ q ❰✫➲×➩❥❒ ❮ ❰✆Ø✎✉☎✈ ❒ ✇✙❂ ✻✺❁ ß ❜✺✻ ❰ Ý✬✺①✻✺✹ ß✲❳☎❨❱➻✡✠✁☛✌✞✶②☎③✟④✁⑤✟⑥☎⑦✌Ø✁⑧✁❈☎⑨☎⑩✄Û☎❶✌✞✹ê✄ë❱Ø✎❦☎❧✄Õ✁Ö✌✞✕î ❝ ➩❥❒ q ❰ ➴ ç ï ➩❥❒ ❮ ❰ ò í ♥ ❷✁❸✁➳✑➵☎❹✎❺✌ä✌æ✑➻✟❻➬Ý✬✺①✻✺✹ ß✽❳✁❨✌Ø✎❹✎❺✟✞✡★☎❼ ❒ ➩❾❽✕➭✙❰ ❒ ❮ ❰➀❿✴➁ ❒ ❝ ➩➂❽ ❝ ➭✲❰ ❒ q ❰●➫ ❒ ➃✦➩✶❰ ❒ ❮ ❰➀❿✴➁➄➃ ❝ ➩❥❒ q ❰✱➅ Ü ❝ ➆ Ó✄Ô✁✮✄➵☎❹✎❺❱ä✁æ✁✞✡✘✄➲ ❝ ➆ ➴✌ï ❝ ➩✹ð➈➇➂➉è✱➁➊➇✱➋✙ò✙➅ ❊☎❋✑Ü❢ç ➘ Ó✄Ô✄ê✄ë✄û☎➌✄ý✄þ☎❚✁❯✟★✑➺❱Ø✿➍☎❳✌✄✕➶ ❝ ➩❥❒ q ❰✆Ø✎✆✎✝✟✞✕î ç ➘ ➴❇➎ ❝ ➩❥❒ q ❰✄ð➐➏ ➒ ➑ ➮✑➱✃ ➱ ❝ ➩ ❐ ❒ ❞❥❡✦❰ ❝ ➩❥❒ ❞❥❡✦❰ Ï❡ ñ é➊➒✎➅ ❒ ô õ ➓ ❰ û×ç ➘ þ☎➔✁⑥✛➸❝➺ ➨ ❝ ➩✦➫ ❝ ➭●➯✦ð ➴ ➏ ➒ ➑ ➮➱ ✃ ➱ ❝ ➩ ❐ ❒ ❞✧❡✦❰ ❝ ➭✶❒ ❞❥❡✦❰ Ï✙❡▲➫ ❒ ô õ ➑ ❰ ➧✄➾❱➚✕➪✑➶ ➹ ❝ ➩ ➹ ➘✦➴✌→➨ ❝ ➩❥➫ ❝ ➩✶➯ õs❻↔➣✧✺❜ á ß↕✺✻✧➙✎➛✁◗❦➨ ❝ ➩✫➫ ❝ ➭●➯ ➴ ➨ ➩❥➫ ➭✙➯❄★✎➜ ➹ ➩ ➹ ➘✫➴❱➹ ❝ ➩ ➹ ➘ õ ❭☎✘❭➩✦❒ ❮ ❰❄✥▲ç ➘ ❒ ø ➫ é✑❰ í ✛✁✜✌Ø ❝ ➩✦❒ q ❰❥û✁➝✁➞✁❚☎➟✛➸❅✪☎➠❱➻✹ê✄ë✁û✁➝☎➞✁❚✟➟✛➸✶✪☎➠✁➡☎➢☎➤✁➥✁➦ ➹ ❝ ➩ ➹ ➘✆ñ é Ø☎✄✑➶✟➔☎⑥✌➧✻ç ➘ Ø✄➳✄➵☎✍❱ä✌æ✁✞ ÷ùt➨➘ õ✲❴❛ã❜ ❂ ß ❜❄❳☎❨☎➩☎➫❇➧Þç ➘ ❒ ø ➫ é✑❰✙⑨➐➨➘s➭ æ✄Ø✟➯✿❷☎➲✌➳✁➻↔➨➘ Ø ✑✁✒☎✓✁ä✁æ÷ù↔➨ ➘➵ í ➧t➨➘➵✡➸ ç ➘ ❒ è✆é✄➫ ø ❰✗➯✡❷✌➻✡✘✑➲ ç ➘ ➴ ➨➘ ✚➨➘➵ ✠✎☛✟✞➺➨➘➵ ù✑ê✄ë✄û✁➻✁➞✁❚✟➟✛➸✶✪✁➠☎➡✌➪✑➶✁ë✁➼❱Ø✁✄✑➶✌Ø✁✆✁✝✌➻☎❻➬Ý✬❂ ❛ã↕❂ ✻ ✻ ß✽➔✎❩✟✞✹û✁➽✌➾✡❧❵➚ó➸❅✪✁➠✌Ø ✄✕➶✌Ø✿➪✁➶✁✟➹✁★✄Ú✄û❵➚✛Ø✿✈✁➼✄þ✄ÿ✁➜✌➻✡✘✄➲✁❭✟✘ ❝ ➩❥❒ q ❰❄✥➂➨➘ ➹ ❝ ➩ ➹ ➘✫➴ ➷áã① ➘ ➴✱➷ ➏ ➒ ➑ ➮✕➱✃ ➱ ❝ ➩ ❐ ❒ ➬➮❽✡❞❡✦❰ ❝ ➩✦❒ ➬➮❽✡❞❡✦❰ Ï✙❡✶Ð✲Ñ Ò ➘
84,1信号与系统 而对于f(s)∈%2 f (o+ ju f(o+ju)dw 通常还在C2,2或2前面冠以前缀R以表示实有理函数。于是 RC2:有理函数向量,每个分量都严格真(分子阶次低于分母阶次),且在j轴上没有极点 Rλ2:有理函数向量,每个分量都严格真,且 Hurwitz稳定 RH2:有理函数向量,每个分量都严格真,且反稳定(所有极点都在右半平面) 注4.1函数f()=-++工显然属于C2,但其拉氏反变换函数f(=d+C3C2(x,x)导致 这矛盾的原因在于,我们把所有的时间函数都看成是因果的。从前面的分析可以看出,f(s)中反稳定部 分 对应于某一f(t)∈C(-∞,0),即反因果时间函数。事实上,、1 e,t∈(-∞,0).于是 f(s)在时域中的表达应为 对∫(t)进行双边 Laplace变换,即可得到f(s).如果把e-t当作定义在整个时间轴上的函数,则当t 时,e-1→∞.从而c-t3C(-∞,∞).一般情况下,若f(t)=t·eat,m≥0,a>0,则任为它是因果 的;若α<0,则认为它是反因果的。同理,若∫(s)∈H,则认为它是反因果时问函数的 Laplace变换。反 因果信号的物理意义在于它赋于亲统某一初态m(0),这里a(t)为亲统的状态向量。以后将会看到,若亲统 可控,则对任意給定的向量:0,都可找到u(t)∈C2(-∞,0),使得余统在输入u(t)的作用下,m(0)= 定理4.1 Fourier变换是C2(-∞,∞)到C2的一个 Hilbert空间同构映射( Hilbert space isomorphism) 用符号 表示同构,则有 C2( ) L C2(0,∞)H (4.7) H- 84.13算子与系统 令l和y是丑 Filbert,空间。A是从l到y的一个映射.如果把l中的元素u(t)作为“输入”,并定 y(t)=(Au)(t) 为“输出”,则A就是一个系统。如果对任何a1,a2∈C,u1,u2∈l,都有 (A(a1u1+a2u2)(t)=a1(Au1)(t)+a2(Au2)(t) 则称A为线性映射。如果存在正实数a,使得 Au|≤ llull,Yu∈l (49) 则称Δ为有界。满足(49)式的a如果存在,将有无限个。因为如果(49)成立,则对任何a≥a,u∈l 都有‖Au2≤叫ll.使得(49)式成立的最小的a叫做映射A的范数,记做|A 4.4有界的线性映射叫做算子。 42)如果G∈C。则GC2CC2,且有 i)如果G∈,则Gh2c2,且有 IGloo=sup lGu 2:u H2, lu|2=11
➱ ✃❐ ❒✟❮✌❰✎Ï☎Ð✎Ñ Ò Ó Ô✁Õ☎ÖØ×Ù✙Ú Û Ü❄Ý➂Þ➂ßà á Ù× á ß✗âäãåæç è é✱ê✟ëì í❅î✿ïð ï Ù✙ñ × Ú ò➮ó✡ôõ❄Ü Ù❄Ú × ò➮ó✡ôõ❄Ü ö✙õ❥÷✧ø ù ß ú☎û✎ü✁ý➐þ ß ÿ Þß✁ Þßà✄✂✆☎✞✝✠✟✄✂☛✡✌☞✍✟✄✎☛✏✆✑✞✒☛✓✠✔✖✕✠✗ Ö✞✘ ☞þ✗ß✚✙ ✒☛✓✛✔✖✕✢✜✤✣✛✥✄✦☛✧✆★☛✣✆✩☛✪✛✫✞✬✮✭ ★✆✯✠✰✖✱☛✲Ö★✆✳✢✰✄✱✌✴ ✥✤✵ý ô õ✆✶☛✷✆✸✒☛✹✛✺☛✻ ☞Þß✼✙ ✒☛✓✛✔✖✕✢✜✤✣✛✥✄✦☛✧☛★✆✣✆✩☛✪✛✫✞✬✠✥✤✵✾✽æ✿❀❂❁ ❃ ❄❆❅☛❇✻ ☞Þßà ✙ ✒☛✓✛✔✖✕✢✜✤✣✠✥✄✦✞✧✆★☛✣✆✩✆✪✆✫☛✬✛✥✤✵✆❈❅✆❇ ✭❊❉☛✒✆✹✛✺✞✩ý✆❋✆●☛❍☎■✴ ✗ ❏▲❑◆▼ ❖✠P✞◗ ❘✧Ú × Û Ü â ë Û❚❙ ë ó ë Û❄ó ë ❯✆❱✞❲✠❳ þ ß ❨❬❩✠❭✞❪❴❫✄❵✠❛✞❜ P✞◗ ❘✬Ú ❝ Ü â✆❞ ❡ ó ❞ ð ❡❂❢ þ ß Ú ❙✁❣ÿ ❣✎Ü ❤✁✐✞❥ ❦✢❧✞♠✛♥☛♦q♣✄r ❳☛✥✖s☛t☛✉✛✈✆✇ ♥✆①✛② P✞◗✆③✆④☛⑤☛⑥ ♣✤⑦✛♥ ✗✤⑧✛⑨✠⑩ ♥✖❶✆❷✆❸✠❹ ④q❺ ✥ ❘✧Ú × Û Ü❆❻✄❵✆❼☛❽✛❾ ❶ ë Û❂❙ ë ❿☛➀ ❳✛➁✞➂ ❘✬Ú ❝ Ü✽Ý þ ß Ú ❙✁❣ÿ ➃ Ü ❨✁➄✖❵ ♣✄⑦✛①✠② P✞◗✗✖➅✠➆✖➇✛✥ ë Û❚❙ ë ➈✼➉ ❞ ❡ ÿ ❝✽Ý✁Ú ❙✁❣ÿ ➃ Ü ❤ ❳ ⑥ ❘✧Ú × Û Ü r✆①✄➊ ❻ ♥✖➋✆➌☛➀✠➍ ❘✬Ú ❝ Ü â ➎ ❞ ❡ ❝❂➏ ➃ ❞ ð ❡ ❝❂➐ ➃ ❿ ❘✬Ú ❝ Ü❚➑☛➒☛➓✞➔➣→◆↔↕❊➙↔ ➛➜✁❛✖❜✥ ➄ ❸☛➝✆➞ ❘✧Ú × Û Ü ❤➠➟⑦✉ ❞ ð ❡➢➡➥➤❽✆➦r✠➧➥➨✠①✛②✤➩➇ ♥ P✖◗✥✁➫ ➡ ❝ ➉ ❙✁❣ ① ✥ ❞ ð ❡ ➉ ❣✛❤ ⑧✢➭ ❞ ð ❡❂❢ þ ß Ú ❙✁❣ÿ ❣✎Ü ❤ ➂✞➯✠➲☛➳✛➵✆✥✖➸ ❘✬Ú ❝ Ü â ❝➺✆➻ ❞ ð❊➼ ❡ ÿ ➽ ➐ ➃ ÿ ➾✞➚✛➃ ❨ ➫✖➪ ➍✆➶ ⑥ ♣✄⑦ ♥ ✻➹➸✍➾ ➏ ➃ ❨ ➫✄➘➍☛➶ ⑥❵ ♣✤⑦✆♥ ✗✄➴✄➷☛✥➹➸ ❘✧Ú × Û Ü❄Ý❾Þßà ❨ ➫✄➘➍☛➶ ⑥❵ ♣✤⑦✆①✛② P✖◗ ♥ →◆↔↕❊➙↔ ➛➜❆❛✖❜✗ ❵ ♣✤⑦✞➬✛➮☛♥✖➱➷✞✃➦r ❳ ➶✖❐ ❳✢❒➥❮✛➁✞➂☛❰✆Ï➣Ð Ú ➃ Ü ❨ ❦✆Ñ Ð Ú ❝ Ü ➍ ❒➥❮ ♥✖ÒÏ✛Ó✄Ô☛✗ ❹✖Õ☛Ö✞×④ ➞ ✥✼➸q❒➥❮ ❸✞Ø✥✞➫ ❿➪✆✃✆Ù❽ ♥ Ó✖Ô➣Ð ê ❨ ③❸☛Ú✆➞✍Û Ú ❝ Ü❄Ý þ ß Ú ❙✁❣ÿ ➃ Ü ❨❬Ü➝ ❒➥❮r✞Ý✆Þ➣Û Ú ❝ Ü ♥ ➤✛ß ➵☛✥➣Ð Ú ➃ Ü â Ð ê ❤ à✞á▲❑◆▼ ❖✛âãæ✿ ❁ ä ✿ ❛✖❜⑥ þ ß Ú ❙✁❣ÿ ❣✎Ü ➞↔þ ß ♥ ➂➨ ✽ ❁ åæ❊ä ✿ ❃➹ç ② ➴✤è☛é☛êìë✽ ❁ åæ❊ä ✿ ❃✽åçíî ä✚❁ åãï➹ã✿çð❁ åï❆ñ ❤ ò✞ó☛ôöõ✚÷â✠ø ✎☛✏✠ù✄ú✛✥✤û☛✒ þ ß Ú ❙✁❣ÿ ❣✎Ü ÷ â þ ß þ ß Ú ➃ ÿ ❣✎Ü ÷ â Þ➂ß þ ß Ú ❙✁❣ÿ ➃ Ü ÷ â Þ➂ßà Ú ü ý þ Ü ÿ ❑◆▼ ❖❊▼ ✂✁☎✄✝✆☎✞✠✟ ✡☞☛✍✌☞✎ ✘ ✽ ❁ åæ❊ä ✿ ❃✑✏✝✒✗✔✓ ✘☎✕ ☛✍✖✗✎✙✘✠✚✧✍✛✢✜✛✗✤✣☎✥☎✦ ☛★✧✢✘✢✩✍✪ Û Ú ❝ Ü✬✫✝✭ õ✮☎✯ø ✥✤✰❇ ✱ ✲ Ú ❝ Ü â Ú✓Û Ü Ú ❝ Ü ✭ õ✮✙✳ ø ✥✤û✴✓☎✵✘✚✧✍✶✢✷✠✗✸✣☎✥Õ✍✹✠✺ ➾ ø ÿ ➾ ß Ý✼✻✾✽ Û ø ÿ Û ß Ý ☛ ✽ ✩☛✒ Ú ✓ Ú ➾ ø Û ø ó ➾ ß Û ß Ü Ü✬Ú ❝ Ü â ➾ ø Ú✓Û ø Ü Ú ❝ Ü✧ó ➾ ß Ú✓Û ß Ü Ú ❝ Ü Ú ü ý ✿ Ü û✝❀☞✓ ✭☎❁✠❂✛✢✜✛✗✸✣✝✥☎❃ý☎❄✑✞✕✗❅ ✽❇❆☎❈ á ✓Û á ß✑❉ ❅ á Û á ß ÿ❋❊Û Ý ☛ Ú ü ý ● Ü û✍❀☞✓ ✭✒✝❍✠✗✸■✍❏ Ú ü ý ● Ü✾❑✘ ❅▲✣✝✥✝❃ý✥✸▼✆✒✝◆✙❖✞✧✠✗✠P ✭✣✝✥ Ú ü ý ● Ü❇◗✝❘✥✤ûÕ✍✹☎✺ ➾ ➐ ❅ ✽ Û Ý ☛ ✽ ✩☛✒ á ✓Û á ß✑❉ ➾ á Û á ß ý✬❆☎❈ Ú ü ý ● Ü❙❑☎◗☎❘✘✢❚✝❯✍✘ ❅✠❱✸❲✍✛✢✜✴✓ ✘✠❳✕✛✥✸❨☎❲ á ✓ á ý à✠❩▲❑◆▼ ❑ ✇✢❬♥✠❭✠❪é✆ê✝❫✠❴✝❵✝❛✆✗ à✞á▲❑◆▼ ❜ ë ❁ñ ➟⑦✗❝ Ý þ ï ➫ ❝➮þ ß✑❞ þ ß✚✥❢❡✆✇ á ❝ á ï â✁åæç❤❣ á ❝❆Û á ß ✙ Û Ý þ ß ÿ á Û á ß✗â ë ✐ ë ❁ ❁ñ ➟⑦✗❝ Ý➂Þ ï ❨ ➫ ❝Þ➂ß ❞ Þ➂ß ❨ ❡✆✇ á ❝ á ï â✎åæç ❣ á ❝❆Û á ß ✙ Û Ý❾Þß ÿ á Û á ß✗â ë ✐
第四章 Hankel范数模型逼近理论 从定理42可以看到,G∈C。通过通常意义下的乘法 定义了C2到C2的一个算子Aa,称AG为 Laurent算子.如果G∈化a,则Ac定义了h2→→2的一 个算子。现在考虑G∈RC.因为G在虚轴上没有极点,可以将它分解为 这里G+,G-∈R%∞,且严格真。Go是常矩阵。于是存在一个包含虚轴在内的垂直条形区域,在这个 区域内G是解析的。如果取收敛域为这个条形区域,对G做双边 Laplace反变换,记作C-1{G}=G: 并定义卷积映射三G y(t)=(EG,u)(t): y(t) G(t-T)u(r) 则三c,是线性映射。由 Parseval等式可得 y(t)y(t)dt (4.11) ≤‖Gl/u'(ja)u(ja)d 于是三c;1是一个算子。注意在(411)式中我们用到下述关系 y(t)=(三a1u)(t)则y(s)=Gu(s) 于是三c:是C2(-∞,∞)到C2(-∞,∞)的一个算子。然而三G:并不一定是因果的,因为由(410)可得 G06 t>0 这里G-,G6(t)和G+分别为G-,G0和G+的 Laplace反变换,6(t)为Drac函数。Ec;不是因果 的,是指它将一个只有因果分量的输入u(t)∈C2(0,∞)映射为一个既有因果分量又有反因果分量的输出 信号y(t).后者相当于在通常意义下不稳定分量。于是三是因果的,当且仅当G∈RHa,即G是稳定 的;三a;是反因果的,当且仅当G.∈RHa,即G是反稳定的 842 Hankel算子和 Hankel范数 本节将引入 Hankel算子的概念。用 Hankel范数给出‖l-Q川s的一个下界。最后给出 Hankel范数 的计算公式 8421 Hankel算子 在内积空间C2中可定义投影算子Ⅱ.特别地,由于C2=2⊕H,可以定义投影算子 显然(mxu()和(mn2)()取的分别是u()的稳定和反稳定部分.设G∈R,()∈H,则 (Gu)(s)即有反稳定部分,又有稳定部分。与G相对应的 Hankel算子rc定义如下:
❥ ❦ ❧✙♠✸♥✂♦✑♣qrst✈✉❢✇✠①✍②✠③☎④✝⑤✠⑥ ⑦✝⑧✠⑨ ❦ ⑩ ❶▲❷✍❸❢❹☎❺✍❻✴❼✔❽✼❾➀❿✙➁☎➂☎➁✝➃✠➄✝➅✝➆✝➇✠➈☎➉ ➊✈➋✑➌✠➍ ➎ ❼➌ ⑧➅✙➏➐❾➀➑➀❺✴❾➀➑▲➇☎➒☎➓✝➔✝→ ➊✈➋ ⑩➀➣ ➊✈➋✙↔✴↕❇➙➛➜ ➝➞➟ ➔✝→✙➠✸➡✝➢➤❼➥❽➧➦➧❿✤➨ ➩ ➊✈➋ ⑧➅✙➏☞➦➧➑✑➫➭➲➯➳➦➧➑▲➇☎➒ ➓☎➔☎→✍➠✸➵☎➸☎➺☎➻➼❼★❽✤➽✤❾➀❿✤⑩➀➾↔ ❼➚➸✝➪✠➶☎➹✝➘✠➴☎➷✙➬✝❻❢❷✍❸✢➮✝➱☎✃☎❐↔ ❼ ➎ ❼➧❒✤❮☎❼Ï❰❙❮☎❼✤Ð Ñ ❦ ⑩ Ò Ó Ô Õ✝Ö ❼✤Ð❙× ❼➧❒❇Ø▲❽✼➽Ï➦✼❿✤➨➲Ù✝Ú✍Û☎Ü✙➠✗❼▲❰ÞÝ✍➃☎ßáà☎➠❢â☎Ý✝ã✝➸✍➒☎➓✝ä✝å✍➪☎➶✝➸➥æ✢➇✠ç✝è✝é☎êáë✢ì✙❻✸➸Õ➓ ë✢ì➥æí❼➚Ý✝❐✝î✙➇✝➠✸➡✝➢✝ï✍ð✝ñ☎ì↔Õ➓☎é✝êáë✢ì✍❻✸ò➼❼✙ó✝ô✝õ ↕❇➙ö÷➙ø ➝✑ù✝ú✝û❻✸ü✝ý➼❾ ❒✾þ ÿ ❼✁ ➎ ❼✄✂ ➨ ☎✝⑧➅✝✆✟✞✡✠☞☛✍✌➋✏✎ ✑ Ñ ✒ Ô ➎ Ñ ✌➋✓✎ ➌ Ô Ñ ✒ Ô ➍ ✑ Ñ ✒ Ô ➎✕✔ ❿ ❒❇❿ ❼✄✂ Ñ ✒✬➭✗✖➲Ô ➌ Ñ ✖➲Ô ✘✖ ➩✍✌➋✓✎ Ý✕✙✝✚✡✠☞☛✍➠✕✛✢✜➙➜ ✣ ➝ ✤➙÷✦✥✝✧✟★❷✝✩ ✔ ❿ ❒❇❿ ✑✫✪ Ñ ✒ Ô ✑ Ñ ✒ Ô ✘✦✒ ➎✬✔ ❿ ❒❇❿ Ñ ❼✮✭➌ Ô ✪ Ñ ✯✰✈Ô Ñ ❼✝✭➌ Ô Ñ ✯✰✈Ô ✘✰ ✱✳✲ ❼✲ ➑ ❿ ✔ ❿ ❒❇❿ ➌✭ ✪ Ñ ✯✰✈Ô ➌✭ Ñ ✯✰✈Ô ✘✰✵✴ Ñ ❦ ⑩ Ò Ò Ô â✠Ý✍✌➋✎❙Ý✝➒✠➓☎➔☎→✍➠✮✶✠➄✝➸➤Ñ ❦ ⑩ Ò Ò Ô ★✸✷✮✹✕✺✝✻❺✍➆✝✼✕✽✿✾ ❀ ✑ Ñ ✒ Ô ➎ Ñ ✌➋❁✎ ➌ Ô Ñ ✒ Ô ➩✳✭✑ Ñ ❂ Ô ➎ ❼☞✭➌ Ñ ❂ Ô ✴ â✠Ý✍✌➋❁✎ Ý✴❾➀➑ Ñ ➭❄❃☎× ❃✠Ô✬❺➤❾➀➑ Ñ ➭❄❃☎× ❃✠Ô✈➇✠➒✠➓☎➔☎→✍➠✗❅✕❆✍✌➋❇✎ ☎✕❈➒⑧Ý✙➾❢➢✙➇☎❻✠➾ ↔ ✛➐Ñ ❦ ⑩ Ò Ó Ô✑❷✝✩ ❼✄✂ ➎❊❉❋ ❋ ● ❋ ❋❍ ❼➧❒■✂➲×❏✒❁❑✠Ó✈× ❼Ï❰ ▲ Ñ ✒ Ô➲×▼✒ ➎ Ó✈× ❼✤Ð■✂➲×◆✒❁❖✠Ó✓✴ Õ✝Ö ❼➧❒■✂ × ❼▲❰ ▲ Ñ ✒ Ô✓P➼❼✤Ð■✂✈✃✕◗↔ ❼✤❒❙× ❼Ï❰❇P➼❼✤Ð☎➇ ↕❇➙ö÷➙ø ➝✑ù✝ú✝û❻❘▲ Ñ ✒ Ô ↔✍❙❄❚ ➜➙ø❱❯✝❲➠❳✌➋✓✎ ❈Ýá➾✢➢ ➇✝❻✸Ý✡❨✝➱☎➮✍➒☎➓✿❩✠➴á➾✢➢✝✃✕❬✍➇✝❭✕❪ ➌Ñ ✒ Ô➀❽✸❾➀➑ Ñ Ó × ❃✠Ô❁✠✝☛↔➒☎➓✡❫☎➴á➾✢➢✝✃✕❬✡❴☎➴ù ➾✢➢☎✃✕❬✙➇✝❭✿❵ ❛✟❜ ✑ Ñ ✒ Ô ⑩✫❝✟❞✟❡✡❢✠â✠➸☎➁✍➃☎➄✝➅✝➆❈✕❣☎⑧✃✟❬✙➠✸â✠Ý✍✌➋❇✎ Ý✙➾❢➢✍➇☎❻✮❢✢Ù✟❤✡❢✴❼★❽✤➽Ï➦✼❿✤➨■✐✴❼áÝ❣☎⑧ ➇✟❥❘✌➋✎❙Ýù➾❢➢✍➇☎❻☞❢✢Ù✕❤✡❢✴❼ ✪ ❽✤➽Ï➦➧❿➧➨■✐✴❼áÝù❣☎⑧➇☎➠ ❦■❧❁♠ ♥♣♦✕q✫r❄s✦t✈✉❇✇②①②③④♦✕q✫r❄s✦t✈✉❱⑤②⑥ ⑦✕⑧➮✿⑨✝❪✍⑩➙➞❶➝ ÷ ➔✝→✙➇✝❷✕❸✙➠ ✻ ⑩➙➞❶➝ ÷■❹✟❲✡❺❵ ✲ ❻ ➭☞❼ ✲ ❿➥➇☎➒☎➓✍➆✟❽✙➠✗❾✕❝❺❵❿⑩➙➞❶➝ ÷ ❹✟❲ ➇☞➀☎➔✟➁★➠ ➂ ➃✈➄ ➅➆➄ ➇➉➈✁➊➋✫➌■➍➎✦➏✟➐ ➸➚æ✵✞✡➑✕➒➐❾➀➑ ✷❷⑧➅✟➓✝➔✝➔☎→✍→Þ⑩❁➣✟◗✟↔✍❻✕✛✸â☞❾➀➑ ➎ ➦➧➑✈↕★➦➧➑➙❙➨➲❷✍❸ ⑧➅✟➓✝➔☎➔✝→ →❁➛✓➜ ➍ ❾➀➑➀➫➭➲➯★➦➧➑✬× →➛ ➜➝ ➍ ❾➀➑➀➫➭➲➯★➦➧➑➙✄✴ ➞❅ Ñ →❁➛✓➜■✭➌ Ô➲Ñ ❂ Ô❇P➉➟→➛ ➜➝ ➌✦➠ ✭ Ñ ❂ ÔÞï✙➇✠✃✕◗✝Ý④✭➌ Ñ ❂ Ô▲➇❣✝⑧Pù❣✝⑧✟➡✃✙➠✗➢ ❼➤❽☎➽Ï➦✼❿✤➨❱✭➌ Ñ ❂ Ô✤❽☎➦➧➑➙❙➨✬➩ Ñ ❼☞✭➌ Ô Ñ ❂ Ô❄✐✢➴ù❣☎⑧✝➡✃✙❻✮❴☎➴❣✝⑧✝➡✃✍➠✮➤➤❼▼❡☎ò✟➥✍➇❘⑩➙➞❶➝ ÷ ➔☎→✍➦➋ ⑧➅✠➡✝➆✕➧ ➦➋✍➍ ➦➑➙ ➫➭❇➯★➦➑ ×✓➦➋ ➌❢➎ ✭ →❁➛✓➜ ❼☞✭➌ Ñ ❦ ⑩ Ò ❶ Ô
84,2 Hankel算子和 Hankel范数 即(rGu)(s)是(Gu)(s)在%2上的投影,就是(Gu)(s)的稳定部分.显然,r将一个反稳定的频域信 号u(s)映射为一个稳定的频域信号认(s).(4.12)式是G定义的 Hankel算子在频域中的表达 由于C2(-∞,∞)=C2(-∞,0)④C2(0,∞),亦可定义投影算子 (-∞,∞)→C2(0,∞) )→C2(-∞,0) 记G∈RHa的 Laplace反变换为G:,则时域中的 Hankel算子定义为 TGt: C(00, 0)C(0, oo), (IG,u)(t)=I+(EG u)(t) (4.13) t0 显然,D.矩阵的存在与否对y(t),从而对rG没有影响 下面我们研究rG的伴随( adjoint operator)算子 定义4.5设IG.是C(0,∞)到C2(-∞,0)的一个算子,且对任意的u(t)∈C2(-∞,0),y(t∈C2(0,∞) 都有 则称rG.是IG的伴随算子(或共轭算子) 注意,共轭算子是共轭转置矩阵概念的推广.引理41给出了IG.的表达式 引理41对于y(t)∈C2(0,∞) (rG.y)(t)= A(r-tC“y(r)dT t0,y(t)=0t<0 (T)B (T)B
➨ ➩➫ ➭➲➯❄➳➵➸➺➻✫➼✟➽✝➾❳➯❄➳➵➸➺➻❁➚✮➪ ➶ ➹ ➘❊➴ ➷➆➬✁➮➱❁✃ ➴ ❐ ✃✦❒ ➴ ❮☞➮➱✓✃ ➴ ❐ ✃✓❰✍ÏÑÐ❇Ò✡Ó✝Ô✝Õ✡Ö✗×✟❒ ➴ ❮✟➮➱✓✃ ➴ ❐ ✃❄Ó✝Ø✟Ù✝Ú✟Û✡Ü✮Ý✝Þ✿Ö ➷➆➬✿ß✕à✝á✟âØ✟Ù✡Ó☞ã✕ä✟å æç➮➱ ➴ ❐ ✃❁è☞é✕êà✝áØ✕Ù✕Ó✝ã✟ä✕åæë➮ì ➴ ❐ ✃ í ➴ î í ï ð ✃✫ñ✟❒➲ò ❮ Ù✟ó✕Ó❘ô❁õö÷ø ù➆ú✟û✟❰✟ã✟ä✸ü✝Ó☞ý✕þ✡Ü ò✗ÿ✁❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✄✃✟✞✝❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃ ✡☛❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃ ☞ ✌✎✍✟Ù✟ó✟Ô✝Õ✕ú✟û ✏☎✑✓✒ ❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✄✃✕✔✂✗✖ ❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃ ✏✙✘✚✒ ❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✄✃✕✔✂✗✖ ❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃ ✛❊❮✢✜✤✣Ï✦✥②Ó✁✧➆õ★ùõ✩ ø â✝✪✝✫ê ❮✤✬ ☞ ✭✝✮✟ä✸ü☞Ó❘ô❁õö÷ø ù✫ú✟û✕Ù✟ó✟ê ➷➆➬✰✯ ✒ Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃✕✔✂✗✖ Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃ ✆ ➴ ➷➆➬✱✯ ➱✓✃ ➴ ✲ ✃✱✞ ✏☎✑ ➴ ✳✫➬✴✯ ➱✓✃ ➴ ✲ ✃ ➴ î í ï ✵ ✃ ➘ ➴ ➷➆➬✯ ➱✓✃ ➴ ✲ ✃✱✞ ✶ ✠ ✲✰✷✸✠✴✆ ✹ ✥ ✘ ✥ ❮✺✬ ➴ ✲✕✂✼✻ ✃ ➱ ➴ ✻ ✃ ✽ ✻☎✆ ✲✴✾✝✠✴✿ ➴ î í ï î ✃ ❰✝✮✟ä✸ü☞Ö ➷➆➬✙✯✦ß✕à✝á✟â✝❀✝❁✝❂✝❃åæ ➱ ➴ ✲ ✃❁è☞é✕êà✸❀✝❁✝❂✎❄ ì ➴ ✲ ✃ ☞ ❅✝❆ î í ï í ❇ ❈ ❉ ➷➆➬ ❇ ❇ ❊ ❇ ❊ ❋❍● ■ ❏ ❑✟▲✴▼◆❖P◗✗❘❚❙ ê✝❯✎❱✎❲✎❅✎❳✎❨ß✎❩❊➷➆➬ ý✎❬✕ã✕ä✎❭✎✮✕ä✿Ó❳ô❁õö÷ø ù■ú✕û✿Ü✼❪ ➴❫❴✆ ❵❛✆ ❜✙✆ ❝✃✦❒ ❮☛✜✦✣Ï✦✥▼Óà✟á✎❞✎❡ ❢✝❣Ü✼✭✝❤✕ÿ❘➱ ➴ ✲ ✃ ✜ ❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃ ì ➴ ✲ ✃✱✞ ➴ ➷➆➬ ➱✓✃ ➴ ✲ ✃✱✞✎✐✚❥✘ ✥ ❜✙❦❧✟♠ ✬ ✘♦♥ ♣ ❵ ➱ ➴ ✻ ✃ ✽ ✻☎✆q✲✴r✝✠✴✿ Ý✝Þ✡Ö ❝❴st✝✉Ó✓✈✟❰✎✇✝①✎❤❳ì ➴ ✲ ✃ ☞ ②✝③✝❤ ➷➆➬⑤④✝⑥Õ✝⑦✡Ü ❳✝❨✝⑧✝⑨✝⑩✝❶ ➷➆➬ Ó✓❷✝❸ ➴ õ❹❺ ❻ ❼ö❽✰❻★■ø ❾õ❽ ❻❾ ✃✦ú✟û✡Ü ❿✝➀➂➁✟➃ ➄✎➅ ➷➆➬✰➆❴➇ ❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃✴➈➉❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃✴➊✎➋✎➌✎➍✎➎✿Ö✼➏✎➐✎➑✎➒✎➊❊➱➴ ✲ ✃ ✜ ❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃ ➓✈ì ➴ ✲ ✃ ✜ ❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃ ➓ ➔✝→ ➣ ➷➆➬ ➱ ✆ ì✕↔✕✞ ➣ ➱ ✆ ➷➆➬➆ ì✕↔ ✆ ➴ î í ï ➹ ✃ ↕✝➙ ➷➆➬✰➆✙➇❊➷➆➬ ➊✝➛✝➜✝➍✝➎➞➝➟✝➠✝➡✎➍✝➎✓➢ÑÜ ➤✝➥Ö✼➦✝➧✟ú✟û✟❒✎➦✎➧✝➨✎➩t✎✉✝➫✎➭Ó✓➯✎➲✡Ü✼➳✎➵ î í ï❴➸❄✝➺ ➷➆➬☎➆ Ó☞ý✟þ✟ñ✡Ü ➻✝➼➂➁✟➃ ➽ ➐✝➾ ì ➴ ✲ ✃ ✜ ❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃ ➓ ➴ ➷➆➬➆ ì✫✃ ➴ ✲ ✃✱✞✎✐ ✥ ❥ ❵❴➚ ❦❧ ➆ ♠ ♥ ✘ ✬ ♣ ❜❴➚ ì ➴ ✻ ✃ ✽ ✻☎✆q✲✴✷✝✠✴✿ ➴ î í ï ➶ ✃ ➪✎➶➉➹ ò ➷➆➬☎➆ Ó✟Ù✕ó✎✍✝➘✎➴✕❒➞❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃✙➷➬❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃❱Óà✟áú✕û✿Ü✼➮✎➱✸Ö✼✃⑤❐✎❒⑤❮✎❤⑤❰➥Ó ➱ ➴ ✲ ✃ ✜ ❁Ð ➴ ✂☎✄✝✆ ✠ ✃ ☞ ì ➴ ✲ ✃ ✜ ❁Ð ➴ ✠ ✆ ✄✃ ☞ Ï⑥ ➣ ➷➆➬ ➱ ✆ ì✟↔✱✞ ➣ ➱ ✆ ➷➆➬➆ ì✱↔✫×✝Ð➺ Ü✕ò✗ÿ✍➱ ➴ ✲ ✃✱✞✎Ñ✤Ò✲✴r✝✠ ☞ ì ➴ ✲ ✃✱✞✎Ñ✤Ò✲✴✷✝✠ ☞ ➣ ➷➆➬ ➱ ✆ ì✕↔Ó✞ ✐ ✥ ❥ÕÔ✐✓❥ ✘ ✥ ➱ ➚ ➴ ✻ ✃ ❵❴➚✟❦❧ ➆ ♠ ✬ ✘♦♥ ♣ ❜❴➚ ✽ ✻Ö ì ➴ ✲ ✃ ✽ ✲ ✞ ✐ ✥ ❥ ✐✚❥✘ ✥ ➱ ➚ ➴ ✻ ✃ ❵❴➚♦❦❧ ➆ ♠ ✬ ✘♦♥ ♣ ❜❴➚ ì ➴ ✲ ✃ ✽ ✻ ✽ ✲♦✆
笫四章 Hankel范数模型逼近理论 交换积分次序可得 TIGu, y) "()/BeA"(-uC" y(t)dtd v(r)在整个时间轴上都有定义.特别地,当T>0时v(r)≠0.但由于u(r)∈C2(-∞,0),U(r)在r>0 时的值对积分无影响.若定义 (Ic,y)(t)=Ⅱ-v(t) Be-A(-rC"y(r)dr,t 则(reu,y)={u,re.y)Yu(t)∈C2(-∞,0),y(t)∈C2(0,∞) 422‖R-Q‖的一个下界 由 Hankel算子和算子范数的定义,可得 (t)y(t)dt (417) (t)u(t) di 式中v(t)=(Icu)(t).上式中的范数rc‖叫做G的 Hankel范数对于传递函数矩阵G,将|rl‖记 为‖CH|.显然,‖·‖r并不满足范数的条件(i),因为当G.∈咒时,即使G≠0,vu(s)∈ (Gu)(s)∈%2.于是rcu)(s)=0.所以,‖·|a只是半范数( seiml-norm).只有把G限制在咒a上时, G|a才成为范数.由定理4.1容易证明 rc‖,‖ra.‖=|rd‖,‖rcl‖2=|ra.I 用 Hankel范数可以容易地给出‖R-ρ‖s的一个下界。考虑一块问题 引理4 IR-Qlloo 这里R,Q∈咒H.于是R-Q,∈RC.记G=R-Q,,由定理4.2 p{Gu|g:u∈C2,lll=1} p{|Gu|2:u∈H2,‖l=1 ≥sup{|In2Gu|:u∈2,‖ll=1} 这就是所需的结果 (419)式给出了一块问题的一个下界.若能证明存在Qp∈R∞使(419)中的等号成立,则‖fln 就是可达到的下确界,Q。p即最优解 8423 Hankel范数的计算 前一小节的分析说明, Hankel范数的计算是解化。控制问题的一个关键。本节将给出 Hankel范数 的解析计算公式 定理43令(A,B,C)是稳定的传递函数矩阵G的一个最小实现, BBe dt 则‖rd‖=√人ma(P·Q),这里λmx()是矩阵的最大特征值
× × Ø✝Ù✝ÚÜÛ☎ÝÞßàá✗â✝ã✝ä✝å✝æ✝ç✎è✝é ê✝ë✝ì✝í✝î✝ï✝ð✎ñ ò ó♦ô☎õ❚ö ÷✟ø✱ù✎ú✓û ü♦ý õ✴þ ÿ ✁✄✂ú ý û✆☎ þ ✝✞✠✟ ✡ ☛ ü✌☞ ✍ ✎ þ ÷✱ÿ ✏ ✁ ✑ ✏ ✒ ✓ ✔✕ ✖ ✗ ✘✚✙ ✡ ☞ ✍ ✑ ✄✛ ✙ ÿ ✁✢✜✤✣✤✥✤✦✤✧✤★✤✩✤✪✤✫✭✬✤✮✭✯✱✰✤✲✤✳✵✴✷✶ ✹✸✭✺ ✦ ✙ ÿ ✁✼✻ù✭✽✌✾❀✿❂❁❄❃ õ✰ÿ ✁❀❅❄❆❀❇ ÿ ❈✄❉✝ö ✺ ✁ ❊ ✙ ÿ ✁✢✜ ❋✸✭✺ ✦✭●✷❍❏■ì✝í❏❑✤▲✭▼ ✯✱◆✭✬❏✮ ÿ ó♦ô✟ ÷ ✁ ÿ ✏ ✁ ù✤❖ ü ✙ ÿ ✏ ✁ ù ú ý ûP☎ þ ✝ ü ✞ ✟ ✡ ☛ ü✌☞ ✍ ✎ þ ÷✱ÿ ✁ ✑ ✙ö◗✏✢❘❏✺✴ö ❙ ò ó♦ô☎õ❚ö ÷✕ø✱ù⑤ò õ✦ö ó♦ô✟ ÷✕ø❯❚✦õ☎ÿ ✏ ✁❯❅❋❆❀❇ ÿ ❈✄❉✝ö ✺ ✁ ❊ ÷✱ÿ ✏ ✁✢❅❱❆❀❇ ÿ ✺ ö ❉ ✁ ✾ ❲ ❳✠❨ ❩✌❨ ❩❭❬ ❪ ❈❴❫ ❬ ý❛❵❴❜❴❝✤❞❴❡ ❁❣❢❀❤✐❥❦ ❧✌♠❏♥❏♦❏♠❏♥✤♣❴q●❴✬✤✮✤✴ ð✎ñ ❬ ó♦ô ❬ ❇ ùsrt✉ ✈ ✡ ☛ ✍ ✇ ① ② ✡ ü♦ý④③ û ✍ ú ý û ÷✕þ ÿ ✏ ✁ ÷✴ÿ ✏ ✁ ✑ ✏ úû ü♦ý õ✴þ ÿ ✏ ✁ õ☎ÿ ✏ ✁ ✑ ✏ ö ÿ ⑤ ✾ ⑥ ⑦ ✁ ⑧⑩⑨ ÷✱ÿ ✏ ✁ ù ÿ ó♦ô☎õ ✁ ÿ ✏ ✁ ✾ ✩⑧⑩⑨ ●♣❏q ❬ ó♦ô ❬❋❶❄❷❹❸ ● ❢❀❤✐❥❦ ❧✢♣❏q✯✱■❃✤❺❏❻✵❼❴q❾❽➀❿❸❊✠➁ ❬ ó♦ô ❬④➂ ➃ ❬ ❸❋❬ ➄ ✾❋➅❏➆✴ ❬✄➇✚❬ ➄⑩➈✭➉❏➊✭➋♣❏q●❴➌✤➍ ÿ ➎ ➎ ✁✼✴❴➏ ➃ ✶ ❸ þ ❅❴➐✹➑ ý ✦✵✴✷➒❴➓ ❸ ✻ù❂✺ ❊ ❚❀➔õ✰ÿ → ✁✹❅❴➑❱❇➣❯❊ ÿ ❸ õ➔ ✁ ÿ → ✁❀❅↔➑❱❇➣ ✾↕❃❴➙ ÿ ó♦ô❱➔õ ✁ ÿ → ✁ ù✤✽✌✾↕➛✵➜ ✴ ❬↕➇ ❬ ➄✤➝➙❏➞✤♣❴q ÿ r ❦➟↔➎ ➠ ✐➡➢➟ ✁ ✾ ➝✫❏➤ ❸❂➥✷➦✜➧➐✹➑ ý ✩❏✦✭✴ ❬ ❸❋❬ ➄✭➨❴➩➃ ♣❴q✯ ❁ ✬❏➫ ⑤ ✾ ⑥➯➭✭➲✷➳➀➵ ❬ ó♦ô ❬ ù ❬ ó♦ô✢➸ ❬ ö ❬ ó♦ô✟ ❬ ù ❬ ó♦ô ❬ ö ❬ ó♦ô ❬ ❇ ù ❬ ó♦ô✟ ó♦ô ❬ ✛ ÿ ⑤ ✾ ⑥ ➺ ✁ ➻ ❢❀❤✐❥❦ ❧✌♣❴qð ➜❄➭✭➲✳✤➼✵➽ ❬ ❪ ❈❴❫ ❬ ý ●❴➾❴✥✤➚❴➪✭✯✱➶❏➹✭➾❴➘➀➴❄➷✵✯ ➬✷➮ ❳✠❨ ❩ ➟↔➎✐ ➱ ✇ ✃✢❐✢❒ ❬ ❪ ❈✷❫ ❬ ý➀❮ ❬ ❪ þ ❬ ➄ ✛ ÿ ⑤ ✾ ⑥ ❰ ✁ Ï✭ÐÒÑ ➟↔➎✐ ➱ ✇ ✃✢❐❀❒ ❬ ❪ ❈✷❫ ❬ ý ùÓ➟↔➎✐ ➱ ✇ ✃✢❐✢❒ ❬ ❪ þ ❈✷❫þ ❬ ý Ô❏Õ ❪ þ ❊ ❫ ❅↔➐✹➑ ý ✾❯❃❴➙ ❪ þ ❈❴❫ þ ❅↔➐↔❆ ý ✾ ➂Ö❸ ù ❪ þ ❈✷❫þ ✾➯❁ ✬❴➫ ⑤ ✾ × ❬ ❸❱❬ ý ù❴rt✉✠Ø ❬ ❸ õ ❬ ❇❋Ù õ ❅❱❆❀❇ ö ❬ õ ❬ ❇ ù✵⑥ Ú ❮ rt✉✠Ø ❬ ❸ õ ❬ ❇❋Ù õ ❅↔➑❱❇➣ ö ❬ õ ❬ ❇ ù✵⑥ Ú ❮ rt✉✠Ø ❬ ❖ ❐ ② ❸ õ ❬ ❇❋Ù õ ❅↔➑❱❇➣ ö ❬ õ ❬ ❇ ù✭⑥ Ú ù ❬ ❸❋❬ ➄ ù ❬ ❪ þ ❬ ➄ ✛ Ô❏Û➙❏➛✤Ü●✷Ý✤Þ✭✯ ÿ ⑤ ✾ ⑥ ❰ ✁ ⑧➼✭➽❏ß✷➾❴➘✵➴❄➷✭●❴➾❴✥✤➚❴➪✵✯✄◆✤à➳➀➵❄á✜ ❫❱â ã ä ❅↔➐✹➑ ý ➓ ÿ ⑤ ✾ ⑥ ❰ ✁ ⑨●✷å❏æ➩❏ç✴ ❙ ❬ ❪ þ ❬ ➄ Û ➙ ð❏è❏é●❴➚✤ê❴➪✵✴ ❫ â ã ä ➒✷ë❏ì❏í✭✯ ❲ ❳✠❨ ❩✌❨ îðï↔ñò↕ó✚ôõ❯ö❏÷❵❴ø❴ù ú➾✤û❏ü✵●í✤ý✤þ ➵ ✴ ❢❀❤✐❥❦ ❧✌♣❏q●❴ÿ♠✤➙í ➑ ý ✁➦ ➴✷➷✵●❏➾❏✥✄✂✄☎✵✯✝✆✤ü✤➁✭➼✵➽ ❢❀❤✐❥❦ ❧✚♣❏q ●✷íýÿ ♠✞❏⑧✯ ✟❴➮ ❳✠❨ î✡✠ ÿ ☛ ö ☎ ö ✎ ✁✌☞✎✍✑✏✓✒✕✔✎✖✓✗✕✘✄✙✓✚ ❸ ✒✑✛✕✜✡✢✄✣✄✤✦✥✭✴ ✧ ù ú ý û ✝✞✌☛ ☎④☎ þ ✝✞ ✟ ☛ ✑ ✏✓ö ★ ù ú ý û ✝✞✌☛ ✎ þ ✎ ✝✞ ✟ ☛ ✑ ✏♦ö ✩ ❬ ó♦ô ❬ ù ✪✫✬✮✭✯ ÿ ✧ ➇ ★ ✁ ✰✲✱✄✳ ✫✬✮✭✯ ÿ ➇ ✁✴☞✎✙✓✚✑✒✑✢✎✵✎✶✎✷✡✸❏✯
84,2 Hankel算子和 Hankel范数 证明:直接按式(417)计算|‖并不容易。为此,我们从 Hankel算子的物理意义出发,分三步进行计 算 第一步:设u(t)∈C2(-∞,0),计算y(t)=(rau)(t)及‖y(t)|2 因为考虑的仅仅是u(t)的作用,可设a(-∞)=0.在反因果输入u(t)的作用下,a(0)=mo.由于 u(t)=0,t>0,系统的输出为 y(t)=(TGu)(t)=Ce-At t>0 由y(t)可算得 ly(t)2=Jo yr(t)y(t)dt Q eAtC"Ce At dt 则‖y(t∥=Qa0.由于A稳定,(C,A)完全可观测,Q>0.Q满足 Ly apunov方程 AQ+QA+CC=0 第二步:求将系统的状态由 0转移至a(0)=o,且能量最小的反因果输入信号u(t) 个问题等价于在限制条件 a= Ae+ Bu 下解优化问题 u (t)u(t)di 做变量置换:r=-t,v(r)=u(-t),p(r)=(-t),则上述问题等价于求解优化问题 v"(T)u(r)dr p(r)=-Ap(r)-Bu(r 这是取状态p(r)的加权阵为0输入(7)的加权阵为I的LQ问题。应用LQ理论,可得topt(r)=BXp(r), 其中X是ARE XA-AX-XBB X=0 的镇定解,即-(A+ BB X)Hurwitz稳定 由于(A,B)可控,(A,B)的可控性 Gramianp,即 Lyapunov方程 AP+ PA+BB=0 4.24 的解可逆。于是有 且-(A+BBP-1)=PAP-1稳定。这意味着X=P-1是(423)的解。从而问题(42)的解是 意,uopt(t)是以状态反馈的形式给出的。如果能让时光倒流,则由于闭环系统的状态矩阵A+BBP-1 PAP-1反稳定,无论a(0)为何值,都有a(-∞)=0.但时光显然不能倒流,而我们的任务是把a(-∞) 转移至x(0)=0.此时需将uop(t)改写成开环控制的形式 uopt(t)=B" P-l(t)=B"P-e(A+BBP)*zo= B" P-le-PAP'ao=Be-4tP-lzo (4.26)
✹ ✺✻ ✼✾✽❀✿❁❂❃❄❆❅✎❇✑❈❉✽❀✿❁❂❃❄✌❊✦❋ ● ❍ ■✡❏▲❑✝▼✎◆✎❖✎P❘◗ ❙ ❚ ❯ ❍ ❱✴❲✎❳❩❨ ❬❪❭❫❨❀❴✄❵✑❛✡❜✎❝✦❞✑❡✡❢✦❣✡❤✕✐❦❥✌❧♠♥♦ ♣❆❳✎q✡r✕s✎t✎✉✡✈✡✇✕①✓❢✝②✎③✄④✎⑤✄⑥✎❲ ❳✡❝ ⑦✄⑧④❑✝⑨❉⑩❶◗ ❷ ❱✴❸❺❹✌❻ ◗ ❼❀❽✎❾ ❿ ❱ ➀ ❲✎❳❘➁ ◗ ❷ ❱✮➂ ◗ ❬❪❭⑩ ❱ ◗ ❷ ❱✮➃❩❨ ➁ ◗ ❷ ❱ ❨ ❻ ❚ ➄ ❞✎➅✄➆✓r✑➇✄➇✄➈ ⑩✌◗ ❷ ❱❀r✑➉✡➊✡❢✦➋⑨❘➌✮◗ ❼❀❽❱✌➂✓➍ ❚❶➎✄➏➐➄✕➑✄➒✄➓➔⑩✴◗ ❷ ❱❶r✑➉✡➊✄→✡❢ ➌❆◗ ❿ ❱✌➂ ➌❆➣ ❚❺↔✦↕ ⑩✌◗ ❷ ❱✮➂ ❿➙❾ ➛❷✴➜✎❿ ➀➞➝✕➟✡r➒✇✕❞ ➁ ◗ ❷ ❱✮➂ ◗ ❬❪❭⑩ ❱ ◗ ❷ ❱✮➂✎➠❶➡➢❪➤ ➌✲➣✮❾➥❷✌➜✎❿ ↔ ➁ ◗ ❷ ❱✴➋✑❳✎➦ ❨ ➁ ◗ ❷ ❱ ❨ ❻ ❻ ➂✄➧✮➨➣ ➁❆➩ ◗ ❷ ❱ ➁ ◗ ❷ ❱ ➫❷ ➂ ➌ ➣❀➭ ➩ ➧➣➨ ➡➢✲➯ ➤ ➠➙➩ ➠❶➡➢❪➤ ➫❷ ➲❆➌✲➣❆➳ ➵ ➸✡➺ ➂✄➻➨ ➣ ➡➢✲➯ ➤ ➠➩ ➠❶➡➢❪➤ ➫❷❪❾ ◗ ❙ ❚ ➼ ❿ ❱ ➽ ❨ ➁ ◗ ❷ ❱ ❨ ❻ ❻ ➂ ➌ ➣➩ ➸ ➌✲➣ ❚❶↔✝↕▲➾✡➚✎➪❢ ◗ ➠❾ ➾❱✌➶✑➹✄➋✑➘✎➴✡❢▲➸ ➜✑❿ ❚ ➸✡➷✄➬❉➮❪➱❧✃❐♠❒❮❫❰✄Ï ➾➩ ➸✑Ð✕➸➾ Ð✑➠➩ ➠✄➂ ❿✴➳ ◗ ❙ ❚ ➼ ❯ ❱ ⑦✎Ñ④❑✝Ò✎Ó➝✕➟✓r✑Ô✄Õ ↔Ö➌❀◗ ❼❀❽❱✮➂✎➍Ø×✄Ù✎Ú ➌✌◗ ❿ ❱✮➂ ➌❆➣ ➀ Û✄Ü✑Ý✎Þ✄ß✄r➏➐➄✦➑✄➒✎➓✄à✎á❦⑩➙◗ ❷ ❱ ❚ â✎ã✓ä✦å✎æ✎ç↕✎➎✓è✕é✄ê✎ë✲ì ➌ ➂ ➾❶➌ Ð✑í⑩❺❾î➌✮◗ ❼❀❽❱✮➂✄➍ ❾î➌✮◗ ❿ ❱✮➂ ➌✲➣ →✑ï✎ð✎ñä✦å ⑩✴ò ó ô ◗ ❷ ❱✮➂✎❧õö❶÷ùøØú♠ ûü ➤ ý þ ÿ ü ✁ ➨✄✂ ➣ ý ➻ ➣ ✁ ➨ ⑩ ➩ ◗ ❷ ❱ ⑩❀◗ ❷ ❱ ➫ ❷ ☎ ➳ ◗ ❙ ❚ ➼ ➼ ❱ ✆✞✝Ý✞✟✞✠❑☛✡ ➂ ❼✴❷ ➀ ☞ ◗ ✡ ❱✮➂ ⑩✌◗ ❼✴❷ ❱ ➀ ✌◗ ✡ ❱✮➂ ➌✴◗ ❼✴❷ ❱ ➀ ➽✞✍✞✎✓ä✦å✎æ✎ç↕✑Òï✎ð✄ñä✕å ☞ ò ó ô ◗ ✡ ❱❆➂✎❧õ ö❶÷ øØú♠ ✏ ü ✑ ý þ ÿ ü ➣ ✂ ➨ ý ➻➨ ➣ ☞ ➩ ◗ ✡ ❱ ☞ ◗ ✡ ❱ ➫✡ ☎✓✒ ➳ ❷ ➳✕✔ ì ✌◗ ✡ ❱✮➂ ❼✌➾✌◗ ✡ ❱ ❼ í✖☞ ◗ ✡ ❱ ❾ ✌◗ ❿ ❱✮➂ ➌✲➣ ❾ ✌◗❽❱❆➂✄➍ ➳ â➈✞✗✎Ô✄Õ✘✌◗ ✡ ❱✲r✚✙✚✛✢✜✕❞ ❿ ➀ ➒✎➓ ☞ ◗ ✡ ❱✲r✚✙✚✛✢✜✕❞✤✣❀r ➮✦✥ ä✦å❝ ✧✄➊Ö➮✦✥✝t✞★✡❢ ➋✑➦✩☞ ò ó ô ◗ ✡ ❱✮➂✄í➙➩ ✪✫✌ ◗ ✡ ❱ ➀ ✬✮✭ ✪ ➈✰✯✖✱✳✲ ❼✪ ➾✎❼✝➾➩ ✪ ❼ ✪✡í➙í ➩ ✪ ➂ ❿ ◗ ❙ ❚ ➼ ✴ ❱ r✶✵➪ï✡❢✶✷ ❼❶◗➾ Ð✑í➙í➙➩ ✪❱ ❥✌❐õ✸✌ú ✹ ✺ ➚✎➪❝ ↔✝↕❦◗➾✦❾ í➙❱✌➋✚✻✡❢ ◗➾✦❾ í➙❱❀r✑➋✚✻✞✼✾✽❶õ❧øØú❧♠❀✿❫➀ ✷❦➮❪➱❧✃❐♠❒❮❫❰✄Ï ➾ ✿✕Ð✚✿➾➩ Ð✕í➙í ➩ ➂ ❿ ◗ ❙ ❚ ➼ ❙ ❱ r✕ï✄➋✚❁✡❝ ↕➈✞❂ ❼ ✿ ✁✦❃ ➾✑❼✝➾➩ ✿ ✁✦❃ ❼ ✿ ✁✦❃ í➙í ➩ ✿ ✁✦❃ ➂ ❿✴❾ Û ❼ ➭➾ Ð✕í✕í➙➩ ✿ ✁✦❃ ➲ ➂✕✿➾➩ ✿ ✁✦❃ ➚✎➪❝ â✉✢❄❆❅✰✪ ➂✕✿ ✁✦❃ ➈ ◗ ❙ ❚ ➼ ✴ ❱✴r✕ï✡❝✝✐✞❇ä✦å ◗ ❙ ❚ ➼ ➼ ❱❶r✕ï✎➈ ⑩✴ò ó ô ◗ ❷ ❱❆➂✄í ➩ ✿ ✁✦❃ ➌✮◗ ❷ ❱ ➳ ◗ ❙ ❚ ➼ ❈ ❱ ❉✉✡❢ ⑩✮ò ó ô ◗ ❷ ❱❪➈✢❊✦Ô✄Õ➏✞❋r✶●P✕❍✇✑r✎❝❀■➑Ü✚❏▲❑✶▼✞◆✕❖✄❢ ➽ ↔✝↕▲P✶◗➝✕➟✡r✕Ô✄Õ✤❘✢✜➾ Ð í➙í➙➩ ✿ ✁✦❃ ➂ ❼ ✿➾➩ ✿ ✁✦❃ ➏✄➚✎➪❢ ❙✞★ ➌✮◗ ❿ ❱✲❞✚❚✞❯✡❢ ❱✞❂ ➌✮◗ ❼❀❽❱❆➂✄➍ ❚✦❲❑✶▼✕❳✚❨✄❵✎Ü✚◆✕❖✄❢ ❇✄❣✄❤✎r✚❩✚❬✎➈✞❭ ➌✮◗ ❼❀❽❱❆➂ ➍Ø×✄Ù✎Ú ➌✴◗ ❿ ❱✮➂ ➌✲➣ ❚ ❡▲❑✚❪Ó❘⑩❀ò ó ô ◗ ❷ ❱❴❫✞❵✚❛✞❜◗✻é r✶●P✡❑ ⑩✴ò ó ô ◗ ❷ ❱❆➂✄í ➩ ✿ ✁✦❃ ➌✮◗ ❷ ❱✮➂✄í ➩ ✿ ✁✦❃ ➡ ü ➢✦❝❀❞✦❞ ➯ ❡❣❢ ❤ ý ➤ ➌❆➣ ➂✄í ➩ ✿ ✁✦❃ ➡ ✁ ❡➢ ➯ ❡❣❢ ❤ ➤ ➌❆➣ ➂✄í ➩ ➡ ✁ ➢ ➯ ➤ ✿ ✁✦❃ ➌✲➣✮➳ ◗ ❙ ❚ ➼ ● ❱
第四章 Hankel范数模型逼近理论 于是 min llu()l2=llop(t)l2=aoP-xo 第三步。求|rel 由o的任意性可得 这就是所需的结果 自共轭算子IG,rG是C2(-∞,0)到C2(-∞,0)的一个映射。于是可以定义其特征值和特征向量 定义4.6若存在非零向量u;(t)∈C2(-∞,0)和实数λ;使 成立,则称λ是算子IG.IG的一个特征值,u;(t)是(属于λ的)特征向量 下面我们将求出rG.IG的所有非零特征值及其特征向量 给定常向量xo.定义u(t)=B"e-4"P-1ro,t0时u(t)≡0 y(t)=TGu(t)=C (428) 为确定rG.rG的特征值和特征向量,令v(t)=Ce4mo为共轭算子TG.的输入。则 TG. y(t) dt. t<0 (4.29) 由(428)和(4.29)可得 TGTGu(t)=B'e4P-PQao (4.30) 令 )(t)= Au(t) vt <0 B"e-AtQzo=XB"e-Atp-lzo vt<0 台→Be-4P-1[(MI-PQ)a]=0t< 由于(A,B)完全可控,上式又等价于(M-PQ)a0=0,即mo是PQ的右特征向量。于是,u(t)是rGIG 的特征向量,当且仅当PQx0=a2x0.即x是矩阵PQ的右特征向量。于是IG.IG的个特征向量为 u(t)=B"e-P-1m,其中;是矩阵PQ的右特征向量。‖rc.T‖是ra.Ta的最大特征值。 8424平衡实现与平衡截断 若(A,C)不可观测,则存在v≠0,使得 λI-A 若取xo=U,则由(421)可得 IQo+aoQAo+Caol →(X+入)a3Qao 上述分析表明,如果ao属于(A,C)的不可观测子空间,则由mo决定的零输入响应y(t)=0,→ yt)‖=0
✐ ❥ ❦✢❧✄♠♦♥✳♣qrst❴✉❆✈✚✇▲①✚②✞③✕④✚⑤ ⑥✚⑦ ⑧⑩⑨❶❸❷ ❹❻❺ ❼ ❽ ❷ ❾ ❾❻❿ ❷ ❹➁➀ ➂ ➃ ❺ ❼ ❽ ❷ ❾ ❾❻❿✕➄❣➅➆ ➇➉➈✦➊ ➄ ➆❣➋ ❺ ➌ ➍ ➎ ➏ ❽ ➐✞➑✞➒▲➓✄➔ ❷ →✦➣✳❷ ➍ ↔ ➄ ➆➉↕✚➙✚➛✞➜✕➝✚➞ ❷ →✦➣❻❷ ❾ ❿✩➟➠➡ ➢ ➤ ➦❀➧ ➥ ➄ ➅ ➆ ➨ ➄ ➄ ➅ ➆ ➆ ➇ ➈✦➊ ➄ ➆ ❿✕➩➫➁➭➯ ❺ ➇ ➨ ❽ ➋ ➲✞➳⑦✞➵✕➸↕✶➺✕➻➓ ➼✫➽✞➾✞➚✞➪ →➹➶✖➘ →➹➶ ⑦✰➴ ❾ ❺ ➷✳➬✞➮ ➱ ❽❣✃ ➴ ❾ ❺ ➷✳➬✞➮ ➱ ❽ ↕✚❐✚❒▲❮✶❰➓ ⑥✞⑦➝✢Ï✶Ð✕Ñ✚Ò✕Ó✕Ô✞Õ✕Ö✞Ó▲Ô✢×❆Ø➓ Ù✚Ú☛Û✦Ü Ý✢Þ✚ß✕à▲á✚â▲ã✶ä ❹✳å ❺ ❼ ❽❴æ ➴ ❾ ❺ ➷✳➬✞➮ ➱ ❽✖ç✕è❆é ➩ å❻ê ❺ →➹➶❻➘ →➹➶✳❹➁å ❽❀❺ ❼ ❽ ❿✕➩ å ❹➁å ❺ ❼ ❽ ë✞ì✞í✚î✶ï ➩ å✳ð✕ñ✞ò✰→➹➶❻➘ →➹➶✮ó✚ô✶õ✕ö✞÷✕øí ❹✳å ❺ ❼ ❽❻ðúùû▲ü ➩ å✳ó❸ýþö✞÷ ã❆ä✞➓ ÿ✁✁✂☎✄✝✆➔✟✞ →➹➶þ➘ →➹➶ ↕➵✁✠☎✡☞☛Ó✕Ô✞Õ✁✌✕Ò✕Ó✕Ô✮×✄Ø➓ ✍ Ð✁✎✢×✄Ø ➄ ➆ ➍ Ð✞Ñ ❹❻❺ ❼ ❽ ❿☎✏ ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➇ ➈✦➊ ➄ ➆ ➮ ❼ ✕ ➱ ✖ ✗Ð☞✘ ➌ ➍ ✙✛✚✢✜↕➐✁✣✞➒✁✤✜ í ❹þ❺ ❼ ❽❴æ ➴ ❾ ❺ ➷✳➬✞➮ ➱ ❽ ✖ ✥✧✦✩★ ↕✝✪✁✫☎✬ ❹✖❺ ❼ ❽ ✭í ➄ ❺ ➱ ❽ ❿✞➄ ➆ ➍ ↔ ⑥ ❼ ✮ ➱ ✭ ❹❻❺ ❼ ❽ ✯☎✰ ✖ ✱ ❺ ❼ ❽ ❿ ❺ →➹➶✳❹❴❽ ❺ ❼ ❽ ❿☎✲ ✑ ✒ ✔ ➄ ➆ ➮ ❼ ✮ ➱ ➋ ❺ ➌ ➍ ➎ ❥ ❽ ✬✁✳✞Ð →➹➶ ➘ →➹➶ ↕✶Ó✕Ô✚Õ✞Ö✞Ó✕Ô✮×✄Øí✵✴ ✱ ❺ ❼ ❽ ❿☎✲ ✑ ✒ ✔ ➄ ➆✶✬➽✞➾✞➚✞➪ →➹➶ ➘ ↕✝✪✁✫➓ ❺ →➹➶❻➘ ✗ ✱ ❽ ❺ ❼ ❽ ❿☎✷✝✸➆ ✏þ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✹ ✔ ➈✻✺ ✼ ✲þ➅ ✲✑ ✒✽✺ ➄ ➆✻✾❀✿ ➮✾❼ ✕ ➱ ❿☎✏ ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➨ ➄ ➆ ➮ ❼ ✕ ➱ ➋ ❺ ➌ ➍ ➎ ❁ ❽ ↔ ❺ ➌ ➍ ➎ ❥ ❽ Ö ❺ ➌ ➍ ➎ ❁ ❽ ➝✚➞ ❺ →➹➶❻➘ →➹➶✳❹❴❽ ❺ ❼ ❽ ❿☎✏ ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➇ ➈✦➊ ➇ ➨ ➄ ➆➁➋ ❺ ➌ ➍ ✙ ➱ ❽ ✴ ❺ →➹➶➘ →➹➶❻❹❻❽ ❺ ❼ ❽ ❿✕➩❹✳❺ ❼ ❽❃❂❼ ✕ ➱ ❄❆❅ ✏þ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➨ ➄ ➆ ❿✕➩✓✏þ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➇➉➈✦➊ ➄ ➆ ❂❼ ✕ ➱ ❄❆❅ ✏þ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➇➉➈✦➊✽❇ ❺ ➩ ❈ ➷ ➇ ➨ ❽ ➄ ➆ ❉ ❿ ✰ ❂❼ ✕ ➱ ➋ ↔ ⑥ ❺❊❆➮ ✏ ❽●❋☞❍➝☞■í●❏✁❑☎▲☞▼✁◆⑥ ❺ ➩ ❈ ➷ ➇ ➨ ❽ ➄ ➆ ❿ ✰ ✖ ❖ ➄ ➆ ⑦ ➇ ➨ ↕✝P✞Ó✕Ô✢×✄Ø➓ ⑥✚⑦í ❹✖❺ ❼ ❽ ⑦ →➹➶❴➘ →➹➶ ↕✶Ó✕Ô✢×✄Øí ✦✝✥☎◗✧✦ ➇ ➨ ➄ ➆ ❿✁❘å❾ ➄ ➆ ➍ ❖ ➄ ➆ ⑦✁❙✟❚ ➇ ➨ ↕✝P✞Ó✕Ô✢×✄Ø➓ ⑥✚⑦ →➹➶✖➘ →➹➶ ↕❱❯❸❒✞Ó✕Ô✢×✄Ø☎✬ ❹➁å ❺ ❼ ❽ ❿☎✏ ➅ ✑ ➈✓✒ ➘ ✔ ➇ ➈✦➊ ➄ å ✖ Ò✢❲ ➄ å ⑦✁❙✟❚ ➇ ➨ ↕✝P✞Ó✕Ô✢×✄Ø➓ ❷ →➹➶ ➘ →➹➶➉❷ ⑦ →➹➶➘ →➹➶ ↕✝❳✁❨✞Ó✕Ô✚Õ➓ ❩ Û✦Ü ❬➹Ü Û❪❭☞❫☎❴☞❵☎❛✁❭☞❫☎❜✁❝ ❞ ❺❊▲➮ ✲ ❽●❡➝☞❢✁❣í ✗✁❤✁✐✩❥✩❦❿ ✰ í✵❧➞ ♠ ➩♥❈ ➷✵❊ ✲♣♦ ❥ ❿ ✰ ➋ ❞✁q ➄ ➆ ❿ ❥r✖ ✗ ↔ ❺ ➌ ➍ ➎ s ❽ ➝✚➞ ➄ ➅ ➆ ❊ ➅ ➨ ➄ ➆❀t ➄ ➅ ➆ ➨ ❊ ➄ ➆❀t ❷ ✲þ➄ ➆ ❷ ❾ ❾ ❿ ➱ ❄❆❅ ❺ ➩ t ➩ ❽ ➄ ➅ ➆ ➨ ➄ ➆ ❿ ➱ ❄❆❅ ➄ ➅ ➆ ➨ ➄ ➆ ❿ ➱ ❏☎✉☎✈☎✇☎① ✜ í✵②➻ ➄ ➆❆③ ⑥ ❺❊✩➮ ✲ ❽ ↕❡ ➝✁❢☎❣➪✟④✧⑤ í ✗ ↔ ➄ ➆⑦⑥▲Ð▲↕☛✪☎✫✟⑧☞⑨ ✱ ❺ ❼ ❽ ❿ ✰ ❷ ✖ ❄❆❅ ✱ ❺ ❼ ❽ ❷ ❾ ❾❻❿ ➱ ➍
84,2 Hankel算子和 Hankel范数 如果(A,C)完全可观测,则对任何x0≠0,|y)=Qo≠0.但对不同的o,即使它们的范数 (大小)相同,相应的|y(t川2可能不同。如果对于|l‖=|l=1,有|y(t)川2>‖y(t川2,自然可以认 为x比m可观测性强 若(A,B)不可控,则存在U≠0,使得 U"[I-A B]=0f 若取0=U,则mo不可控。类似地可以证明cPco=0.换句话说,若要求a(0)=o,则需要反因果输 入信号u(t)的能量无限。对于可控对(A,B)来说,如果mPzo很小,则可认为o可控性差 对一般的状态空间表达式(A,B,C),其每个状态向量ao的可控性与可观测性的好与否是不一样 的。ao的可观测性也许好,但可控性也许很差。于是,我们要问,是否存在这么一种实现(Aba,B1a1,Cba) 其状态空间中任何向量:o的可观测性和可控性的好坏程度是一样,即所有的状态的可控和可观测性程度 都是一样的。我们称这种实现为平衡实现( Balanced realization) 定义47状态空间表达式(A,B,C)叫做G∈咒饥。的一个平衡实现,如果A渐近稳定,且存在正定对 满足 Lyapono方程 A∑+∑A+BB A∑+∑A+CC 这里a1≠02≠……≠σ,均为正数,T1+72+…T。=n.如果还有01>02>…>σs,则称(A,B,C)为有 序平衡实现 注意,平衡实现有三个含义:稳定性、最小性和(状态空间的可控、可观测性的)平衡性 下面的定理说明了如何把一个稳定的最小实现(A,B,C)通过线性变换转换成平衡实现 引理43设(A,B,C)是一稳定的最小实现 1.存在非奇异阵T使得(TAT-1,TB,CT-1)是平衡实现,这里T=∑-12UR-1,P=RR”是P的 个 Cholesky分解,R"QR=U∑2U·是矩阵R'QR的一个奇异值分解,P,Q分别是(A,B,C)的 可控性以及可观测性 gramian g.平衡实现在相差一个正交矩阵因子的意义下是唯一的,即如果∑是另一个平衡实现的可控可观测性 Gramian,则有∑=S∑S这里S"S=I.如果r1=r2 rs=1,则S为对角矩阵,其对角线元 素等于1或-1 证明: 如果P和Q满足关于(A,B,C)的两个 Lyapunov方程,则有 (TATTPT)+(TPT(TAT-(TB)(TB) (4.31) (TAT-4)(-QT-1)+(T-“QT-1*)(TAT-1)+(CT-)(CT-1)=0 于是,状态空间中的线性变换Ta(t=(t),对P和Q的影响是合同变换: P→TPTQ→(T-1)QT 在上述合同变换中令T=∑12U*R-1,则有 ∑-1/2URB-U∑2UR-1RU∑-1/2=∑
⑩ ❶❷ ❸❺❹✛❻❼❽❾❿➁➀✁➂☞➃✩❹✛❻❼❽❾❿♥➄➆➅ ➇ ➈ ➉☎➊➌➋➍✢➎ ➏➑➐❀➒✁➓✧➔✁→☎➣✟↔✵↕☎➙✧➛✁➜➞➝✻➟r➠➡✟➢✓➤●➥ ➦ ➋ ➧ ➐ ➥ ➨ ➨ ➡ ➝➁➩➟ ➫ ➝➁➟r➠➡✧➭ ➯✛➲➙✧➳✟➵✁➸✩➝✻➟ ➤✽➺☞➻✧➼✧➽ ➸✁➾✁➚ ➋➪☎➶☞➐❀➹✟➵☞↔✵➹✁➘✧➸ ➥ ➦ ➋ ➧ ➐ ➥ ➨ ➔✁➴✁➳✧➵☞➷✵➉✁➊✁➙☎➬ ➥ ➝❀➮➟ ➥ ➨ ➡✟➥ ➝✽➮➟➮ ➥ ➨ ➡✟➱ ➤ ✃➌➥ ➦ ➮ ➋ ➧ ➐ ➥ ➨✛❐ ➥ ➦ ➮ ➮ ➋ ➧ ➐ ➥ ➨ ➤♥❒❆❮➔✧❰➆Ï Ð✩➝✽➮➟rÑ ➝✽➮➟➮ ➔☞→✁➣✁Ò✁Ó✧➷ Ô➞➋➍➆➎ Õ➑➐❀➳✁➔☞Ö✧↔✵↕✁×✁Ø✩Ù✧➠➡✁➢✻➤ ➻✁Ú Ù ➩●ÛÜ Ý➑Þ ➍✩Õ✛ß ➡☎➢à Ô☎á➞➝✽➟ ➡ Ù ➤ ↕➞➝✽➟â➳☎➔✁Ö✟➷✵ã☎ä☎å✧➔✟❰✝æ❺ç❱➝✻➩➟ è ➝✻➟ ➡✧➭ ➯♥é☎ê☎ë☎ì↔✵Ô☎í☎î➞➝✽➋ ➭ ➐ ➡ ➝✽➟ ➤ ↕✧ï✁í☎ð✢ñ✝➊☎ò ó✁ô✁õ✩ö ➋ ➧ ➐✛➸☞➴☞÷✁ø✧ù✁➷✵➙☎➬☎➔✁Ö✁➙➞➋➍➆➎ Õ➑➐✛úì↔✵➉✁➊➌➝♥➩➟ è ➝✽➟✛û☎➶☎↔✵↕☎➔☞Ï☎Ð✩➝❀➟➑➔☞Ö✁Ò✁ü✧➷ ➙✧ý✁þ✟➸☞ÿ✁✁✂✁✄✆☎✞✝✞✟ ➋➍➆➎✽Õ☞➎✓➏➑➐➑↔✡✠✁☛✌☞☎ÿ✁✎✍➆÷ ➝➁➟r➸✁➔✁Ö☎Ò✁✏☎➔✁→☎➣☎Ò✟➸✒✑✁✏✞✓✌✔✧➳☎ý✌✕ ➸✁➷⑦➝➁➟♥➸☞➔☞→✁➣✁Ò✌✖✌✗✌✑✧↔ ➲➔☞Ö✁Ò✌✖✌✗✁û✁ü✧➷✻➬✒✔✧↔✙✘➽í✛✚☞↔✜✔✞✓☞×✁Ø✌✢✁✣☞ý✒✤✞✥✒✦ ➋➍★✧ ✩✪ ➎✻Õ✫✧ ✩✪ ➎✻➏✬✧ ✩✪ ➐ ➤ ✠✁ÿ✞✞✂✞✄✞✭➆➛☞➜✎✍➆÷✩➝❀➟➑➸☞➔☞→✁➣✁Ò✌✮☎➔☞Ö☎Ò✧➸✆✑✞✯✞✰✌✱✌✔✧ý✒✕✧↔ ➺✆✲☎✃➸☞ÿ✞☎➸✁➔☞Ö✞✮☎➔✁→✁➣✁Ò✁✰✒✱ ✳✌✔☎ý✒✕✧➸✁➷✴✘➽✌✵✢✌✤✁✥✒✦✧Ð✒✶✞✷✁✥✒✦➞➋ ✸✬✹✺✹✻✼ ✽✾✴✿✫✽✹✺ ❀ ❁ ✹❂ ❀❃✻✓➐ ➯ ❄✒❅❇❆❉❈ ❊✞❋✛●✁❍✁■✴❏✞❑✛▲✩➋➍➆➎ Õ✵➎ ➏➑➐◆▼✒❖❇P❘◗❚❙❱❯❚❲❨❳✌❩✒❬✁❭✌❪❘❫✆❴✧↔✴❵✞❛ ➍✁❜✒❝✁❞✌❡✟↔✴❢✞❣✁❤✌✐✌❡✁❥ ❦✒❧ ♠ ➡ ♥♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♣ q❉r Ýs t ➭✈✉ ✉ ✉ ➭ ➭ q ➨ Ýs ✇②① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ① ➭ ➭③✉ ✉ ✉④✉ ✉ ✉ q✙⑤ Ýs ⑥ ⑦⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑨ ⑩✆❶❇❷❹❸ ❺❻❼❽✜❼ ❾❱❿✒➀ ➍♠✴➁✆♠➍✶➩ ➁ Õ➑Õ➑➩ ➡ ➭ ➎ ➍✶➩ ♠✡➁✆♠➍ ➁ ➏➑➩ ➏ ➡ ➭ ➎ ➂✞➃ q❉r ➠➡ q ➨ ➠➡✁✉ ✉ ✉ ➠➡ q✙⑤◆➄✞➅ ✐✌➆☎↔➈➇ r ➁ ➇ ➨ ➁ ✉ ✉ ✉ ➇ ⑤ ➡✌➉ ① ❵✞❛✌➊✌➋ q❉r ❐ q ➨✛❐ ✉ ✉ ✉ ❐ q✙⑤ ➌❹➍✆➎ ➋➍➑➎ Õâ➎ ➏➑➐ ➅ ➋ ➏✒❭✒❪✎❫✴❴☎➷ ➐✒➑↔✡✶✌✷✞✥✒✦✃✞➒☞✌➓✁➔✞→✴➣✞↔☞Ò✛↕✡➙✧➶☞Ò✞✮➞➋ÿ✞✁✂✁✄☞➸✁➔☞Ö✛↕➆➔☞→☎➣☎Ò✧➸✝➐★✶✌✷✁Ò✧➷ ➛✌➜➸✒↔✒➝ìç✌➞✝➉✁➜✞➟☎ý✌☞✞➣✞↔✧➸✆➙✧➶✌✥✌✦➞➋➍➆➎ Õ☎➎ ➏➑➐❹➠✌➡✞➢☞Ò✌➤é✌➥☎é✌➦✶✞✷✞✥✌✦✧➷ ➧✆➨❇❆❉❈ ➩✞➫➌➋➍➆➎ Õ✝➎ ➏➑➐✫➭✞❩✒❞✒❡✛❳✒➯✞➲✞❫✆❴✧➷ ➳ ① ❣✁❤✛➵✒➸✞➺✛❧➼➻➌✙➽✁➾ ➋➻♥➍★➻◆➚ r ➎ ➻✛Õ✝➎ ➏◆➻◆➚ r ➐★➭✞❭✌❪❘❫✆❴✧↔ ➂✁➃ ➻ ➡ ♠ ➚ r ➪ ➨ ➶ ➩ ➹➘➚ r ➌ è ➡ ➹◆➹✶➩➘➭ è ❳ ❩✆❬➷➴❹➬ ❼ ➮➱ ✃ ❐❸➘❒✌❮↔❨➹✶➩ ➫ ➹ ➡✞➶ ♠ ➨ ➶ ➩◆➭✌❰✛❧➼➹✶➩ ➫ ➹✎❳✒❩✆❬✁➸✌➺✌Ï❒✌❮ ↔ è ➌ ➫ ❒✞Ð➭ ➋➍➆➎ Õ☞➎ ➏➑➐✫❳ Ñ✒Ò✌Ó✛Ô✡Õ✁Ñ✒Ö✁×✌ÓÙØ Ú❺ÛÝÜ ❺❽ ① Þ ① ❭✒❪✎❫✴❴✞❤✒ß✁à✌❩✒❬✞✐✁á✌❰✛❧✛â✡ã✁❳✆ä✞å✁æ✒➭✞ç✞❩✁❳☞↔✞è✴❵✁❛êé♠ ➭❘ë✡❩✆❬✞❭✒❪❘❫✴❴✛❳ Ñ✌Ò✁Ñ✒Ö✁×✒Ó ìÚ❺ÛÝÜ ❺❽ ➌í➍ ➋ ♠é ➡✞î ♠ î➩ ➂✞➃ î➩ î✵➡ Ý ① ❵✞❛ï➇ r ➡ ➇ ➨ ➡✁✉ ✉ ✉ ➡ ➇ ⑤ ➡✟➱ ➌❹➍ î ➅ ❥✛❦✡❰✛❧✝↔✆ð✞❥✛❦✆ñ✌ò ó✌ô✌õ ➱❱ö Þ ➱ ① ÷✁ø → ➱ ➯ ➉✁➊ è ✮ ➫✞ù✞ú✒û➬ ➋➍➆➎ Õ✁➎ ➏➑➐❀➸✆ü✌☞Ùý✙þ✹ÿ✻❃✁✄✂✞✰☎↔✵↕✃ ➋➻r➍ ➻◆➚ r ➐ ➋➻ è ➻✛➩ ➐ ➁ ➋➻ è ➻✛➩ ➐ ➋➻r➍ ➻◆➚ r ➐ ➩ ➋➻✛Õ➑➐ ➋➻✛Õ➑➐ ➩ ➡ ➭ ➋➻r➍ ➻◆➚ r ➐ ➩ ➋➻◆➚✻➩ ➫ ➻◆➚ r ➐ ➁ ➋➻◆➚✻➩ ➫ ➻◆➚ r ☎ ➐ ➋➻r➍ ➻◆➚ r ➐ ➁ ➋ ➏◆➻◆➚ r ➐ ➩ ➋ ➏◆➻◆➚ r ➐ ➡ ➭ ➋ ✆ ➯ ✝ ➱ ➐ ➬✒✔✧↔✵ÿ✞✞✂✞✄✁✭✝➸✌➢☞Ò✞➤é ➻✶➝✛➋ ➧ ➐ ➡ ➝❀➋ é ➧ ➐♥↔✵➙ è ✮ ➫ ➸✟✞✡✠✆✔☞☛✟➵✴➤é→ è Þ✍✌ ➻è➻➩ ➫ Þ✎✌ ➋➻➚ r ➐ ➩ ➫➻➚ r✎✏ Ø☞✑☞✒☞☛✟➵✴➤é ✭✔✓ ➻ ➡ ♠ r ➪ ➨ ➶ ➩ ➹➘➚ r ↔✵↕✃ ➻è➻✛➩ ➡ ♠ r ➪ ➨ ➶ ➩ ➹➘➚ r ➹◆➹✶➩ ➹➘➚✻➩ ➶ ♠ r ➪ ➨♥➡ ♠ ➋➻◆➚ r ➐ ➩ ➫➻◆➚ r ➡ ♠ ➚ r ➪ ➨ ➶ ➩ ➹✶➩ ➹➘➚✻➩ ➶ ♠ ➨ ➶ ➩ ➹➘➚ r ➹ ➶ ♠ ➚ r ➪ ➨❀➡ ♠
第四章 Hankel范数模型逼近理论 2.证唯一性。在线性变换S下 ∑→→SEs∑→→(S-1)∑S 由于变换后仍是平衡实现,必有∑=S∑S=(S-1)∑S-1.于是 ∑2=Ss·(S)-∑S ∑2S 最后一个式子说明S的列向量是∑2的右特征向量,即s;满足 (a2I-∑2) 由于σ;>0,0+∑非奇异。再由a2I-》2=(o;I+∑o-∑),得 (2I-∑2)s;=0÷(o-∑)s;=0∑s=S∑ 若存在S满足∑=S∑S,则必有∑=∑SS",于是SS=I 现在将∑进行分块 这里 ∑ 相应地,将(TAT-1,TB,CT-1)进行分块 aT TB=/B 这里dm1=dm1=-1r,为简便起见,我们仍用(A,B,C)来表示平衡实现(TAT-1,TB,CT-1) 引理44设(A,B,C)是平衡实现。称(A1,B1,C1)是它的一个平衡截断。则(A1,B1,C1)也是平衡实 证明:先证明(A1,B1)的可控性 gramian和(C1,A1)的可观测性 Gramian为同一个正定对角阵。(431) 等价为 A1A12 ∑10 A1 A2l BI A21A22 0∑ A12A22 B, Al A ∑10 A A2 A1 A12 这两个矩阵方程的(1,1)块分别为 11+∑1A1+B1B1 A111+∑1A1+C1C1 再证明稳定性。由定理B,只需证明(A1,B1,C1)是最小实现,则由∑1>0可知A1渐近稳定。用反 证法。设(A1,B1)不可控。则存在υ≠0,满足 [λI-A1B1]
✕ ✖ ✗✙✘✛✚✢✜✤✣✥✦✧★✪✩✔✫✭✬✡✮✭✯☞✰✲✱✭✳ ✴ ✵✷✶✡✸✭✹✭✺✡✻✛✼✲✽☞✺☞✾✲✿❁❀☞❂✲❃ ❄✭❅✎❆❇❀❈❄✷❀❈❉❊❄☞❅✍❆●❋ ❀■❍❑❏ ▲ ❉ ❄✷❀■❍❑❏❑▼ ◆✛❖✾☞✿☞P☞◗☞❘✲❙✲❚✲❯☞❱✡❃✔❲☞❳❨❄✡❩✲❀❈❄✷❀❉ ❩✡❋ ❀❍❑❏ ▲ ❉ ❄✷❀❍❑❏ ✵ ❖❘ ❄✷❬✷❩✲❀❈❄✷❀❉✤❭ ❋ ❀❉ ▲ ❍❑❏ ❄✷❀❍❑❏ ❩✲❀❈❄✷❬ ❀❍❑❏✪❪ ❀❈❄✷❬✤❩✲❄✷❬ ❀✄▼ ❫P✲✹✭❴☞❵☞❛☞❜❞❝❇❀✡❡✟❢❤❣✛✐☞❘❁❄ ❬ ❡✟❥☞❦✲❧✙❣✛✐✙❃✟♠♦♥✍♣❑q✲r ❋ s❑❬♣ t ❅✟❄✷❬ ▲ ♥ ♣❑❩✲✉ ◆✛❖ s✍♣■✈☞✖ ✇ s✍♣ t②① ❄☞③✭④✲⑤✲✻✛⑥ ◆ s♣ ❬ t ❅✟❄ ❬ ❩✡❋ s✍♣ t②① ❄✷▲ ❋ s✍♣ t ❅✔❄✷▲ ✇ ⑦ ❋ s❑❬♣ t ❅✔❄✷❬ ▲ ♥ ♣❈❩☞✉⑨⑧✄⑩❶❋ s✍♣ t ❅✟❄✷▲ ♥ ♣❑❩✲✉⑨⑧✄⑩❷❄✷❀✔❩☞❀❈❄ ❸☞❹✼❁❀✟q✲r❺❄✭❩✲❀❈❄✷❀❉ ✇ ❻✲❲✭❳❁❄✭❩✲❄✷❀❈❀❉ ✇ ❖❘❁❀❈❀❉ ❩ t ✵ ❱☞✼☞❼❁❄☞❽☞❾☞❿☞➀ ❄✭❩❇➁ ❄ ❏ ✖ ✖➂❄ ❬➄➃ ➅☞➆ ❄ ❏ ❩♦➇➈ ➈ ➈ ➈ ➈➉ s ❏ t➊ ➋ ✖ ❭ ❭ ❭ ✖ ✖➌s❬ t➊ ➍ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✖ ✖ ❭ ❭ ❭ ✖➎s✍➏ t➊ ➐ ➑➒ ➒ ➒ ➒ ➒ ➓→➔ ❄ ❬ ❩♦➇➈ ➈ ➈ ➈ ➈➉ s✍➏ ➣ ❏ t➊ ➐ ↔ ➋ ✖ ❭ ❭ ❭ ✖ ✖↕s✍➏ ➣ ❬ t➊ ➐ ↔ ➍ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✖ ✖ ❭ ❭ ❭ ✖⑨s✎➙ t➊ ➛ ➑➒ ➒ ➒ ➒ ➒ ➓ ➜☞➝☞➞❃✛❼➟❋➠✛➡➢➠❍❑❏ ➔ ➠✤➤ ➔ ➥ ➠❍❑❏ ▲■❽☞❾☞❿☞➀✡❃ ➠➄➡➢➠❍❑❏ ❩❇➁ ➡ ❏ ❏ ➡ ❏ ❬ ➡ ❬ ❏ ➡ ❬ ❬➄➃ ➔ ➠✤➤➦❩➦➁ ➤ ❏ ➤ ❬➢➃ ➔❨➥➠❍❑❏ ❩✙➧➥ ❏ ➥ ❬ ➨ ➅☞➆➦➩➫➭➡ ❏ ❏ ❩ ➩➫➭❄ ❏ ❩✲❄➏ ♣ ➯ ❏ ➲ ♣ ✵❑➳☞➵✭➸☞➺✲➻✲❃ ➼✲➽✟◗✲➾❇❋➡ ➔ ➤ ➔ ➥ ▲ ➚☞➪☞➶☞❙☞❚✲❯✭❱♦❋➠➹➡➢➠❍❑❏ ➔ ➠✤➤ ➔ ➥ ➠❍❑❏ ▲✎✻ ➘✟➴➟➷❑➬ ➷✡➮ ❋➡ ➔ ➤ ➔ ➥ ▲✪➱☞✃✭❐❤❒✔❮✲✻➢❰➟❋➡ ❏ ❏ ➔ ➤ ❏ ➔ ➥ ❏ ▲✷➱✡Ï☞Ð✭Ñ✟Ò✲✃✭❐✡Ó✡Ô✭✻✔Õ❁❋➡ ❏ ❏ ➔ ➤ ❏ ➔ ➥ ❏ ▲✪Ö☞➱☞✃✭❐❤❒ ❮✲✻ ✶❤❝✟×❈Ø☞✶❤❝Ù❋➡ ❏ ❏ ➔ ➤ ❏ ▲❈❡✭Ú✭Û☞✺●Ü②ÝÞ➭➹➫Þß②à♦❋ ➥ ❏ ➔ ➡ ❏ ❏ ▲❈❡✭Ú✭á☞â☞✺●Ü②ÝÞ➭➹➫Þßã➳✡ä✟✹✭❴☞å✲æ✭ç✲è✡é✭✻✟❋ ê ✵ ë ì ▲ í☞î➳ ➁ ➡ ❏ ❏ ➡ ❏ ❬ ➡ ❬ ❏ ➡ ❬ ❬➄➃ ➁ ❄ ❏ ✖ ✖➎❄ ❬➢➃ ① ➁ ❄ ❏ ✖ ✖➎❄ ❬➄➃ ➁ ➡❉ ❏ ❏ ➡❉ ❬ ❏ ➡❉ ❏ ❬ ➡❉❬ ❬ ➃ ① ➁ ➤ ❏ ➤ ❬➢➃ ➧➤ ❉ ❏ ➤ ❉❬ ➨ ❩ï✖ ➔ ➁ ➡❉ ❏ ❏ ➡❉ ❬ ❏ ➡❉ ❏ ❬ ➡❉ ❬ ❬ ➃ ➁ ❄ ❏ ✖ ✖➎❄ ❬➄➃ ① ➁ ❄ ❏ ✖ ✖➎❄ ❬➢➃ ➁ ➡ ❏ ❏ ➡ ❏ ❬ ➡ ❬ ❏ ➡ ❬ ❬➄➃ ① ➁ ➥ ❉ ❏ ➥ ❉ ❬ ➃ ➧ ➥ ❏ ➥ ❬ ➨ ❩ï✖✪▼ ❋ ê ✵ ë ✴ ▲ ➅☞ð❴☞ñ✙é✔ò✲ó✡❡❺❋ ì ➔ ì ▲✷➀☞❿☞ô✲➳öõ ➡ ❏ ❏ ❄ ❏ ① ❄ ❏ ➡❉ ❏ ❏ ① ➤ ❏ ➤ ❉ ❏ ❩ï✖ ➔ ➡❉ ❏ ❏ ❄ ❏ ① ❄ ❏ ➡ ❏ ❏ ① ➥ ❏ ➥ ❉ ❏ ❩ï✖✪▼ ❋ ê ✵ ë ë ▲ ⑥✲✶❞❝✟÷✲æ☞✺✙✻ ◆ æ☞ø➟ù✷✵ ë ✇ ú☞û☞✶❞❝♦❋➡ ❏ ❏ ➔ ➤ ❏ ➔ ➥ ❏ ▲✪❘❫✡ü❯☞❱✙❃✛❻ ◆ ❄ ❏ ✈✡✖✄Ú✲ý❺➡ ❏ ❏✷þ✲ÿ÷✲æ✡✻✔➾✁ ✶✁✂✡✻☎✄➟❋➡ ❏ ❏ ➔ ➤ ❏ ▲✝✆☞Ú✭Û✡✻✛❻❹✼✟✞✡✠❩✲✉✎✇ q✲r ✞ ❉ ➧☛ t ❅✛➡ ❏ ❏ ➤ ❏ ➨ ❩✲✉ ❉ ▼ ❋ ê ✵ ë ê ▲
