北京理工大学：《鲁棒控制》课程教学资源（讲义）Chapter 01 鲁棒控制问题及其数学描述

北京理工大学自动控制系 2002/2003学年第二学期硕士研究生课程讲义 鲁棒控制 伍清河

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目录 第一章鲁棒控制问题及其数学描述 81.1控制系统的鲁棒性 81.11鲁棒性及鲁棒控制的基本概念 111 1.1.2鲁棒控制问题举例 §1.2不确定性的数学描述及分类 81.2.1非结构不确定性 81.2.2参数不确定性 81.2.3结构不确定性 81.3鲁棒控制问题的数学描述 81.31D稳定性 81.3.2内稳定性的频域表达 2234 81.33广义 Nyquist判据 81.3.4关于非结构不确定性的分析 81.35关于结构不确定性的分析 81.3.6关于参数不确定性的分析 81.4H。控制简介 81.41∞控制的历史与发展 81.4.2H。问题的一般框架 81.4.3线性分式变换 81.5参数鲁棒性分析方法简介 81.5.1鲁棒性检验问题 5.2稳定性半径问题 999 81.6本课程内容简介 81.7问题与习题 第二章控制系统的内稳定性 §21内稳定性的频域表达 23 §22线性分式变换中G的可镇定性 §2.3传递函数矩阵的互质分解 26 §24镇定器的 Youla参数化公式 27 §25化H控制问题为模型匹配问题 §26问题与习题 第三章化模型匹配问题为广义距离问题 §31引言 §32 Inner、 outer传递函数矩阵的定义 §321imer矩阵 22iner- outer分解与代数 Riccati方程 §3.3 Riccati方程论 8331ARE的解 8332ARE解的结构 8333ARE的镇定解

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§334ARE的一些特例 §34传递函数矩阵的 inner-outer分解 §35广义距离问题 §36传递函数矩阵的谱分解 §37化多块问题为一块问题 58 第四章 Hankel范数模型逼近理论 841信号与系统 84.1.1时域信号 841.2频域信号 8413算子与系统 84.2 Hankel算子和 Hankel范数 842.1 Hankel算子 842.2‖f-Q|的一个下界 8423 Hankel范数的计算 842.4平衡实现与平衡截断 4.25 Hankel算子的 Schmidt分解 84.3次优 Hankel范数模型降阶问题 74 §4.3.1次优 Hankel范数模型通近问题的特解 76 4.3.2次优 Hankel范数模型通近问题的通解 §44最优 Hankel模降阶问题 最优 Hankel模降阶问题的特解 §4.4.2最优 Hankel模降阶问题的通解 845一块问题的解 845.1次优一块问题的解 8452 Nehari问题的解 84.6问题与习题 89 第五章四块问题的解 85.1引言 §5.2矩阵扩张问题的解 §5.3次优四块问题的可解性条件 85.4次优四块问题的解 106 §5.5最优四块问题的解 第六章H∞控制问题的解 §6.1H。控制问题的可解性条件 2次优。控制器的参数化 §6.2.1次优 Youla参数的参数化 §6.2.2次优。控制器的通解 §6.3H。控制器的一般形式 §6.3.1Xx和Y不可逆的情况 86.32D1≠0,D2≠0的情况 §633。控制器的最终形式 §6.4H。控制算法的总结 133

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目录 第七章基于∞优化的鲁棒控制 35 §7.1加性摄动系统的鲁棒控制 87.1.1问题的简化 §7.1.2鲁棒控制器的设计 §7.2互质分解的分子分母中均有加性摄动的对象族的鲁棒镇定 137 §721正规互质分解 87.22问题的描述 138 §7.2.3鲁棒镇定问题的解 139 第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 141 §8.1多项式的稳定性判据 141 §82区间多项式族的鲁棒稳定性- Kharitonov定理 §82.1多项式族 §83值集和除零原理 147 §8.3.1值集 147 83.2除零原理 147 88.3.3 Kharitonov定理与除零原理 147 3.4区间多项式族的值集 84区间多项式族的稳定性半径 §4.1稳定性半径的定义 842稳定性半径函数p()的解析表达式 84.3稳定性半径函数的分析 84.4稳定性半径6max的解析计算 §85球形多项式族的鲁棒稳定性 §5.1球形多项式族 162 §8.5.2球形族的值集 163 8.5.3球形多项式族的稳定性半径 §86菱形多项式族的鲁棒稳定性 §86.1菱形多项式族的值集 86.2菱形多项式族的稳定性检验 86.3菱形多项式族的稳定性半径 §86.4一些特殊情况 182 第九章区间欢象族系统的鲁棒稳定性检验 §9.1问题的提法 §9.2 Overbounding及其保守性 §9.3值集 §9.31C(ju)位于第I象限 89.3.2C(ju)位于第II象限 89.3.3C(ju)位于第II象限 89.34C(ju)位于第IV象限 §94棱边定理 198 顶点定理 阶超前控制器 952一阶滞后控制器

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般一阶控制器 199 89.5.4结论及引出的问题 §9.6一般棱边定理 §9.7凸方向和 Ranter定理 201 §9.71凸方向的概念 §9.72凸方向的 Ranter判据 89.73 Ranter判据的应用 §9.8问题与习题 204 第十章区间对象族系统的稳定性半径 810.1一般控制器时稳定性半径的计算问题 205 810.11稳定性半径函数(a)的解析表达式 810.121()上确界的计算 810.1.3确定切换频率sw,和p(sw) 810.14关于相交点A 810.154(X)的驻点Asr 810.1.6()的边界点 810.2例子 216 §10.3一阶控制器时稳定性半径的计算 220 810.3.1一阶超前控制器稳定性半径的计算 810.32阶滞后控制器的稳定性半径 810.3.3其它一阶控制器的稳定性半径的计算 8104变长度棱边多项式族及其稳定性 8104.1变长度棱边多项式族 81042稳定性分析 228 81043稳定性半径的等价表示 229 附录一串联及逆系统和LFT的状态空间表达式 §A.1串联系统的状态空间表达式 233 A2反馈系统的状态空间表达式 §A.3逆系统的状态空间表达式 §A.4 Redheffer星形积的状态空间表达式 §A.5可控性、可观测性分析 237 §A.5.1可控性、可观测性判据 A.52LFT的可控、可观测性分析 附录二矩阵方程及矩阵不等式 239 B1化线性矩阵方程为线性方程组 B2 Lyapunov方程 §B.3 Schur补 参考文献

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第一章鲁棒控制问题及其数学描述 §1.1控制系统的鲁棒性 1.1.1鲁棒性及鲁棒控制的基本概念 鲁棒性是英文 ROBUSTNESS一词的音译.它指的是在外界干扰或系统模型发生变化的情况下系统 性能的保持能力。按照鲁棒性要求设计的控制方案叫做鲁棒控制 对控制系统的设计一般都基于控制对象的某一数学模型,如传递函数矩阵或状态空间表达式,并要求 这一模型的所有参数都是已知的。这个模型叫做控制对象的标称模型。根据标称模型可以设计控制器,使 得控制系统具有某种性能.例如在保证稳定性这一控制系统应具备的最基本的性能的基础上,可对系统的 超调、稳态误差以及频率响应特性等提岀要求.但控制对象的实际模型不可能精确地知道,例如用系统辩 识的方法只能得到参数的估计值,为简化设计而忽略掉的一些动特性或用线性化模型代替非线性系统,因 元器件老化而导致的性能退化和参数值的改变,作为设计依据的标称模型只能近似地描述控制对象。于是 根据标称模型进行设计而获得的性能在系统的实际运行过程中不一定得到保证.当系统的实际模型与标 称模型之间存在偏差而系统的某一性能仍能保持,则称这种性能是鲁棒的. 鲁棒控制问题可大致分为鲁棒性分析和鲁棒综合两个方面.鲁棒性分析研究的问题是:当系统中不 确定因素在某一给定范围内变化时,系统性能是否保持不变。例如,线性定常系统的稳定性由闭环系统的 特征多项式的根的分布所决定,对于连续时间系统,如果特征多项式的根全部位于左半开平面,则系统稳 定。当特征多项式的系数全部已知时,对这些系数进行一些代数运算,即可确定其根的分布情况.但当多 项式的系数不完全知道,而仅知道每个系数的取值范围,就得到一族多项式.要研究的问题是:当多项式 的系数在给定的范围内任取值时,是否所有的多项式都是稳定的。鲁棒综合研究的问题是:设计一个控制 器,使得系统中不确定因素在某一范围内变化时系统仍具有要求的性能指标.鲁棒综合的一个例子是鲁棒 镇定问题.例如,设计一个控制器,当控制对象的参数在给定的范围内变化时,闭环系统总是稳定的。注 意,这里强调了设计的是一个控制器.这与自适应控制的策略有明显的不同.自适应控制系统具有的适 应性,是通过改变控制器的参数获得的。而鲁棒控制系统中的控制器则是一个,即控制器的结构和参数 都是不变的。鲁棒控制系统的这个特性使得控制器的实现更为容易,更为经济 系统中的不确定因素可分为结构和非结构两类。多项式系数中的不确定性即为结构不确定性的一种, 又叫徹参数不确定性。为简化建模或控制而忽略掉的动特性则属于非结构不确定性,如机电系统的动特性 主要取决于机械子系统,电气部分子系统的动特性则可忽略.对于不同的不确定因素,分析和综合的方法 不同,但又有联系 由于不确定因素存在于任何一个控制系统中,任何一个可实际运行的控制系统的设计都应是鲁棒的 (事实上,任何成功的反馈控制系统都具有某种鲁棒性)。所以鲁棒控制问题一直是控制学科和其它相关学 科重要的研究领域。近20年里,这个领域的研究取得了一些决定性的进展.特别要提到的是关于区间多 项式族鲁棒稳定性分析的 Kharitonov方法,和关于多项式多面体鲁棒稳定性分析的棱边定理.这些结果 给具有参数不确定性的控制系统的鲁棒性分析提供了强有力的工具.∞控制理论则为具有非结构不确 定性的控制系统的鲁棒综合问题提供了系统化的解决办法 §1.12鲁棒控制问题举例 图11是单级倒立摆系统的示意图.小车M在推力u的作用下后于动,以相倒立摆pp保持在与 点平面垂直、自由;p在上的r态.这可以例为是子超演出的一个经前滞后的示意图,也可例为是运变 火长发度多空rr态控制问题的示意图.r族完全靠子超演分M的经等进行控制,并不示要建模、附 等串子的过程.用控制学科的术联,这已经属于及和LF的范畴.后族则示要对运变火长的r态控制问 题进行建模、附一,以制定合适的控制策略 忽略摆的T量状的分布性和摆空的变表,可以相摆近似为位于摆达1式(T3)处串与其联定;p状 性联结的一个T空间忽略摆在运动时的空气动力学特性等一些馈要因素,可用下述非线性常逆分方程d

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章鲁棒控制问题及其数学描述 i cos e 图11:单级倒立摆示意图 描述其运动规律 1dt( cos 0)+mg (ar+Isin e 其中Ⅰ是摆杆关于其质心(G,vG)=(x+lsinθ,lcosθ)的转动惯量,m是摆杆的质量,2l是摆杆的长 度,M是小车(底座)的质量,g是重力加速度,g=9.87/sec0;:是作用于小车的控制量(力),x是 车在水平方向的位移,θ是摆杆与水平面法线的夹角。由于缺乏处理一般非线性系统的控制问题的方 法,我们将上述方程在其平衡态=[00处线性化,得到近似描述倒立摆在其平衡态附近足够小的 邻域中运动规律的线性常微分方程组 (M +mT+ ml8=u (I +ml-)0+mla 最终可建立起受控量和控制量u之间的近似关系: (M + m)(I+ml-)0+mlu-(m0)-=(M+m)mgle 8+000= bo 式中 (M +m)mgl (M +m)I+ Mml (M +m)I+Mml 待定参数,可通过系统辨识的方法确定。这样我们就得到了一个近似描述单摆运动规律的传递函数模型 Po由于≠0,P不可能有零极相消。于是可以寻找到合适的控制规律u,使平衡态[=⑩0是 稳定的。 在上述建模过程中,我们先忽略了系统中的某些动态特性,得到了线性化模型;在以后的系统辨识 中,又只是得到了这一模型的参数的一个估计值。所以,在此基础上建立的模型Po,只能近似反映系统的 特性。而控制规律u完全是针对Po设计的。当它作用于实际系统时,控制效果如何,则是需要深入研究 的问题 综上所述,我们可以方框图1.2来描述一个典型的反馈控制系统。在图12中,C是控制器的传递

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811控制系统的鲁棒性 °c"四 图1.2:典型反馈控制系统 函数,P(,6)是控制对象。6表示控制对象中存在的不确定性( uncertainty),称为内扰动或摄动( Pertur bation),如前面提到的建模时忽略的系统动态特性以及参数的不确定性等。d是作用于系统的外部扰动 disturbance),它应被理解为所有外扰动的综合作用。r,e,u分别为系统的参考输入、(参考输入和输出 的)误差和控制量.我们将以图1.2所示的系统为背景,研究鲁棒控制问题。 对于一个控制系统我们可以提些什么样的性能指标?首先要考虑闭环系统的内稳定性。所谓内稳定 性指当外扰动和输入为零时,由系统的任何初始状态引起的系统的响应随时间增长而衰减至零。这里所说 响应指的是系统中所有的变量。显然,内稳定性是所有控制系统的最基本的性能指标。 先不考虑对象中的不确定性,即设6=0.称Po=P(s,0)为标称对象。如果Po中没有不稳定的零 极点相消,则称Po可镇定,因为此时可以找到控制器C使得闭环系统稳定。C称为Po的一个镇定 器( Sta bilizer)。若能找到一个镇定器,则存在无穷多个镇定器,例如,若用状态反馈方法可使闭环系统稳 定,则使系统稳定的反馈阵F有无穷多个。记S(P0)为Po的所有镇定器的集合。如果Po中有不稳定零 极点相消,则稳定控制无法实现,因为此时无论如何取控制器C=Nc(s)/Dc(3),闭环系统的特征多项式 都会有不稳定因子。而这种相消只是反映在系统外特性输入、输出间的关系)上。在系统内部,这些极点 决定的动特性依然存在。注意,传递函数Po的可镇定性相当于状态空间表达式的可镇定性+可检测性。 从稳定性这个最基本性能指标来看,要设计一个能运作的控制对象,对控制对象已经要提出要求。如 这些要求达不到、则性能指标肯定实现不了。一般来说,设计时所提的性能指标能否实现,完全取决于被 控对象。如果被控对象不具备某种特定的天赋或基本素质,就不能完成某项特定的任务 除了稳定性外,还可以提一些更进一步的要求。例如要求系统在某种参考输入信号r时无静差,即 误差信号随时间增大而趋于零,即lise(t)=0.如果r为阶跃信号,则要求C或Po中至少有一个 积分器。此时C=CnC,其中 Cser=(s+a)/s,a>0,称为伺服补偿器( servo- compensator,C是 增广对象P,(3)=CPo的镇定器,它的任务是使闭环系统稳定。显然Po,(s)可镇定的必要条件是 P(0)≠0,而这个条件在稳定控制中没有提出。由此可见,对系统提出新的要求,则对控制对象的素质要 求可能更高。如果γ为斜坡或正弦函数,控制中的伺服部分Csry将随之改变。而Cs的任务总是镇定 (s)=Cser P( 当然还可以提其它的要求。如不仅imse(t)=0,还要求误差的平方与输入信号的平方之和的积分 最小,即 (e(t)e(t)+u(t)u(t)dt=mi 或对系统的调节时间、超调量等时域指标提岀要求;或对系统的频域特性(穿越频率、带宽、低频性能、 高频性能)提出要求等等。相应地如果Po满足某种条件,则可以通过设计控制器,使得希望的性能指标 得到满足。这就是我们通常所说的校正 校正需要一个足够精确的控制对象的数学模型P。.然而,即使设计是成功的,也只是对Po而言,即 当控制对象的特性与Po所描述的系统完全等价时是成功的。由于前面小节中所述的原因,Po不可能完 全等价于控制对象。那么控制系统的设计对实际系统而言是否还是成功的?不妨看看下面的几个例子 例11设控制对象的传递函数为

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处A串联统状态空反馈逆dhf星 形积可观LF定T二矩阵方程不等9 B化线矩程腺线-科 补参考文定献4题矩由于B化的分子和分母多项式互质,B化可镇定矩若取C线陶稻+5)/陣+u,则闭环 统的特征多项式9 F南线库u灌S科+阳5)庵u+可线陌+可库2)+3)+啪+5)。 当哦践组时,闭环亲统文定矩当可线Su2时,闌有一个根位于原点矩而当可<Su2时,由根轨迹法 知,F闌将有一个根位于正实轴上矩上述分析表明,T二的LF定献将影响亲统的文定献矩 再参考伺服4题矩设T参输入9阶跃信号,则控制器积应有积分环节矩此时要求矩线矩南舸程 L能有L文定的零极点不消矩9保证这一点,可应大于-1 这个例子说明,系统中的不确定参数会使系统的性能发生逆变矩为了保证系统的性能不受不确定性的影 响,不确定性参数应该在某种意义下足够小矩换句话说,作为设计依据的标称模型B仳应足够精确矩上面 这个例子还说明,对系统的性能要求越高,对标称模型B化的精确度要求越高矩 下面考虑具有另一种不确定性的系统矩我们先定义∞范数矩设G是稳定的线性系统矩G的 范数‖l|s定义为 Gls:线 ess supo[G陈)为 阵u 这里∂是矩阵的最大奇异值矩‖的意义如下矩设G的各个输入信号t;陶是同频率的正弦信号, 则稳态时各个输出信号y阵是和输入同频率的正弦信号矩令u陈)和vy陈)分别是u陶和y陶的复数 表示,则有 y陈)线G陈)u陈)为 其中ω是正弦信号的频率矩系统对频率是的正弦信号的放大作用定义为 ax 陈) 可以证明,上述比值为∂G于是,‖C‖s实际上是系统对正弦输入的最大增益,目可以录解为v§ 系统驮小的一个3度矩G是般变系统时,∞阶G的制频响应器性的最大值,见图u3 伋引弭珺4 的0棱边定理义 凸垧参考图1.和a具有 n t z LF定献的控制杀统矩图积B化观方程不等,e9LF定献矩于观 矩)线 程S程 设e观r意∞概二有念的文定的线献环节矩于观 可意判据e的幅应响应用线阵图)第 观位于章线可的区间对图1歙Ra矩族这系e统做 n z LF定献矩 稳取C线陶5)/廂+叫.参考闭环亲统的定性文定献矩由于参考的观余统的半文定献,可设径线2 的输入0和输时vo稳性的半余9 线SC陶+B他o)

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811控制系统的鲁棒性 1.4:具有加性摄动的控制系统 图1:‖A‖∞≤1的△的可能的幅频特性 由此可解出 记Ga=(I+CPo)-C,则可得图1.6所示的等价亲统,这里 Ga=C(I+ PoC) (8+1)(8+2)(8+3) 为稳定的传递函数。 图1.6:等价系统 如果对所有满足条件‖△‖。≤δ的△,都有 1+△(ju)Ga(ju)≠0 则由Δ和Ga的稳定性和 Nyquist判据,知闬环糸统鲁棒稳定。若 则(1.8)式肯定成立。下面我们证明,对于非结枃不确定性Δ,(1·4)也是亲统鲁棒稳定的必要条件。如图 1.7中虛线所示,设存在Δ1满足‖△l|l<δ,且使得 △1(ju)Ga(ju)≥1, for some∈ 中点划线表示单位圆。设|△1(jω)Ga(jωo)=1,则存在Δ满足 ≡1,vu,∠1△c

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