第十章区间对象族系统的稳定性半径 考虑(9.18式定义的多项式族。不失一般性,设标称对象P(s)=NM(s)/D0(s)能镇定、能检测,C(s) 镇定Po(s)于是∫o(s)=(s,0 Hurwitz稳定。显然,C(s)并不一定能镇定P(s,6)全体。但由于多项式 的根是其系数的连续函数,当‖δ‖足够小时,F(s,δ)仍然稳定。但当|6l逐渐增大时,F(s,6)将 失去稳定。上述分析表明,可以找到♂x,当‖‖<x时,F(s,b)鲁棒稳定;但当‖6l≥δmx 时,F(s,6)中至少有一个不稳定的元素f(s)6mx叫做闭环系统的稳定性半径。若能计算出稳定性半径 6ax,则可确定C(s)能镇定的最大区间。这是本章要解决的问题。 310.1—般控制器时稳定性半径的计算问题 给定一个控制器,用棱边和顶点定理检验它是否鲁棒镇定一给定的区间对象族P(s,δ)非常容易。问 题在于这些定理并没有说明如何设计控制器来解决P(s,6)的鲁棒镇定问题。暂且不论32棱边的镇定问 题,仅16个顶点对象的同时镇定问题目前已无法解决,因为至今仅解决了两个不同对象的同时镇定问题 η可以想象,在没有理论指导的情况下,不能保证选定的控制器鲁棒镇定P(s,6).在这种情况下,可能 希望改变控制器的参数以获得更好的结果。然而,棱边和顶点检验的结果并未提示如何改变参数。所以, 新的控制器并不见得比原来的好 另一个重要问题是鲁棒镇定问题的可解性。当不确定参数的变化范围[a]和b]足够大 时,鲁棒镇定冋题可能根本就无解。为对可解性冋题做进一步的说明,考虑(9.10)描述的区间对象族,并 设|6l<6.如果M(s,6)=M(s)+∑1=;s6x;和D(s,6)=Db(s)+∑)=0lD,6D,在右半平面 有公共根,则鲁棒镇定问题无解。这两个多项式族在右半平面有公共根意味着彐s∈C M()+∑mx;sx,;=0,D(s)+∑"n,y6n,=0 上式等价于 Do(s) d(s) 其中 ]r 对于给定的s,U(s)和ub(s)都是常向量,从而(10.1)是一组线性方程,当s为实数时,有两个方程, 而当s为复数时,将每个方程分为实部和虚部,可得4个方程。未知数的个数为2n+1.只要n≥2,如 果不对‖6‖。做任何限制,(10.1)总有解。这意味着M(s,b)和D(s6)可以在右半平面任何地方有公共 根。鲁棒镇定问题无解。 鲁棒镇定问题的可解性留待下一章再做讨论。本节将给出一种基于稳定性半径的计算的分析方法。 方法的思路可简述如下。采用(9.17)描述的区间对象族,闭环系统的特征多项式为 r(s,6)=Dc(s)|D()+∑mnyD,+N()M()+∑x;sb (10.2) i=0 由于C(8s)镇定P(s)标称闭环系统的特征多项式fo(s)=F(s,0)=D4(s)Do(s)+N(s)No(s) Hurwit稳 定。由于多项式的根是其系数的连续函数,当‖δ‖~足够小时,F(s,6)仍然稳定。但当|δ‖逐渐增大 时,F(8,δ)将失去稳定。上述分析表明,可以找到mx,当‖6‖<δmx时,F(s,6)鲁棒稳定;但当 ||l≥6max时,F(s,6)中至少有一个不稳定的元素∫(s).max叫做闭环系统的稳定性半径。记S(P) 为所有镇定P(s)的控制器的集合。则对于C(s)∈S(P),C(s)能镇定的区间为 a7a)=( b; +UN
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206 第十章区间对象族系统的稳定性半径 上述区间又可等价地表示为 (ai af) dax-1 af+wD,j(max-1)) b+b,矿 max (Omax -1) b 显然,1mx是控制器的函数,可记为max(C).C(s)能鲁棒镇定区间对象族(91)当且仅当C(s)∈S(P) 且amx(C)>1,P(s,6)的鲁棒镇定问题有解,当且仅当 Supces(P)6mx(C)>1.可以证明,对于任何 C(s)∈S(P),与之相应的稳定性半径6ma(C)均为大于0的正数.考虑到32棱边以及16顶点定理,当 6|l<ax(C)时,任何C(s)∈S(P)都是一个同时镇定器.所以,通过计算稳定性半径ma(C)可以 完全避开复杂的同时镇定问题.并可以检验某一给定区间对象族的鲁棒镇定问题在控制器的阶次为某 固定常数的情况下是否有解.例如,设P(s)可以被一阶控制器C(s)=k(s+z)/(s+p)镇定,则可选择 控制器参数k,z和p使标称系统稳定。然后计算该控制器下的稳定性半径max(C.接着改变控制器的参 数,依次使k变为k+Δλ,z增至z+Δz,以及使ρ增至p+Δp,相应地计算稳定性半径,则♂ax(C)的 梯度可以近似求得.而梯度指明了改变参数以使nax(C)增加的方向.按照这个方向改变参数,即可改善 稳定性半径.重复上述步骤,可搜索到max(C)(至少是局部)的极大值.如果这个最优max(C)大于1 则原区间a]和[b都可被用最优点处的参数构成的控制器所覆盖,此时鲁棒镇定问题有解.如 若不然,也确定了能被一阶控制器覆盖的最大区间,同时还可获得控制器的最优参数.上述方法实际上适 用于任意阶镇定器的设计.只不过当控制器的阶次增加时,参数个数将增加,从而寻优过程的计算量也将 增加.所以,可从最简单的控制器开始 显然,稳定性半径♂max(C)的精确计算是进行参数优化的前提.因此,稳定性半径的计算问题对于鲁 棒控制器的设计起着至关重要的作用。长期以来这个问题吸引着众多研究工作者的注意并取得了许多重要 结果,见[],[?[?]and[?].目前amx(C)是以某一频率的函数的最小值的形式给出,一般是通过频率扫 描的办法(类似于Bode图和 Nyquist曲线法)近似求解.近年来颇为鲁棒控制界重视的 Tsypkin- Polyak?] 轨迹法亦属此类.在本 统性旅系6第情赫系控制器阶时的特情足:的,到稳1有 8鸡稳性径/D能锁歉这多均为系的性谢称不 式 不失一般性:,设我()和rc()r,·0H系统的特失多n式为 w (,.6)=于()()+,mDD,+fC()2()+ j稳 ()+(8)6 全体p()是标称。,系统处式,(b根1,…其+1的定系(920)类似于区间多式 族,对于C()∈!定 数三1￥5、国(0,6是=0),数=1连6函F0,6)=0)(1 104) 注意,6是使多,式族(6)体的F(x6至在。=0处有一个根(即0,6)=0)的不确定 性,数当F(062=0时b应有爵数的最小值所以,当1数时,F前同理可 数ex∥ 现在考虑,轴上一点 根 若定 系
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墩栋去上述分析表可找到δ径mx,< 则≥1|6中至元素做闭半棒出确做最个区间这.本章要解决 曾 嘴亓半 有構元 则≥|16中至素做般于控制时稳定性统闭输半样的调题区给解控制器用项棱区边和顶点这理 验区它否控做非常容易点在区给解控些没说 婶棒叶计论题32半半啊同 有樽 的前题已无元说法因为今棱做计 62情δ问今别最下述最小范这问题区解: 计题31|62中 需 d问问问x问62计棒 元计恿{|中:问z6计0}同 有樽元 类似于区间用项棱族给解控些没区计算做非制证明 计门间单9(币半 有樽棒亡 这里‖·|2最H引der.-范这做 有樽元 COS θ计径μ 条计少有元满足方程 子+1(3+2-)计有時 有樽 顶中f用讲輸元实部情控部解决区向量做子最边据且销元区相位所确解区向量髋有鲫,径 有算将这些向量代入有棒翔则非确解给解控些没间这算 定理101若控制器的 Nyquist曲线且毓υ屬于第Ⅰ象限做则 ∫问 统计·择半半 半半 有槨元 一2+(8++份)+(+)半 有1 h 如n+(2+个仅 h计 +个)如+(hD+队12)+。bm hCga %(w0+)0如+()姆+,b面同 8问+ 有样元 同理非求出且毓元于顶它相限素μ肴元区解析表达棱 准论10.1若且餚元于第Ⅰ象限做则 ∫问 p有+一在问 统计·-择半半 有槨元 统计5半半半半
② ③ ④ ⑤ ③❛⑥✝⑦✏⑧✁⑨✄⑩❷❶❹❸❜❺✁❻✄❼✁❽❷❾❩❿✄➀❷➁➃➂ ➄ ➅ ➆ ➇❜➈❍➉ ➊✤➉ ➋❷➌✏➍➎➏❑➐➒➑✄➓→➔✓➎ ➣➏↕↔ ➊✹➐➒➙➛ ➅ ➜➞➝✏➟➓→➍➎➏❑➐↕➠✰➏✄➡✄➢✝➤❜➥➃➦✄➧✄➨❜➩✄➫ ➍➭ ➛✏➯➲➳ ➵ ➍➎➏❑➐✹↔ ➎ ➸ ➅ ➜ ➺ ➐ ➇❜➈➻➉ ➊✤➉ ➋❷➌✏➍➭★➑✄➓✓➼✁➽✄➾✏➚✄➪✁➶✏➹❜➘✁➴➷➣ ➏↕➬✤➔✓➎ ➣➏↕↔ ➊✹➐➒➙➛ ➅ ➜✚➮✃➱❐ ➎ ❒ ➐↕➡✏❮✄➩✏❰✫Ï❩Ð✁Ñ✏Ò✄Ó✫➡✝Ô✫Õ✝Ö❜×✏➤✄Ø Ù❜➡✝Ú✄Û✄❰❜➓❩Ü✄Ý✫Þ✏ß✁×✏à❜➡✄❮✄➩✄❰✁á✄â❜ã äå➞æç ➎ è★➐ ➛✄é✓➯➲↕ê ➍ë★↔➒➍ì★↔➒➍➭➞íïî ➎ ➸ ➅ ➜ ➆ ➐ ➮ ➽➻ðï➎ ❒ ➐❑ñ✓ò❅➎ ❒ ↔ ➊✹➐❑ã✏ó✁ô✏õ✄ö✄Ó❜➓→➍ì ➛❛÷÷ ÷★ø ù ú✸û✸ü ù ÷ ÷ ÷ ý þ ➊✸ë❑ÿ❍➊ ➭➒ö✁✄➠✄✂✆☎✁✝✄✞✄✟✄➤✡✠☞☛❜➡✆✌✁✍ ➍ë ➛ ➯➲➳✤ê ➉ ➊✹ë ➉ ➋✏✎✒✑❐ ✓❐✕✔✗✖❐ ✘❐✕✔✄✙ ✑❐ ✚✜✛✕✢ ❐✣✖❐ ✚✜✤✥✢ ❐✧✦ ➊✹ë ➛ ➅ í ➎ ➸ ➅ ➜ ★ ➐ ➍➎➏❑➐ ➛ ➯➲➳✪✩ ➉ ➊➭ ➉ ➋✏✎✬✫ ❐ ✔☞✭✕✮ ➊➭ ➛✄✯✱✰ î ➎ ➸ ➅ ➜ ✲ ➐ ✳✁✴✁➽✆✵✁✶✁Ñ✏Ò✁Ó✁✷❜❮✁➩✏❰✁á✄â✫➡☞✸✄✹✫➓❩Ü❜Ï☞✺✁✻ ➍ë ➛✽✼ ✑❐ ✓❐✕✔✗✖❐ ✘❐ ✼ ✼ ✑❐✚✜✛✕✢ ❐ ✼ ✔ ✼ ✖❐✚✜✤✥✢ ❐ ✼ ↔ ➍➎➏❑➐ ➛✾✼ ➱❐ ➎ ➣➏❑➐ ✼ ➯➲➳✿✧❀ ❁ ➉ ❂ ✔☞❃✪❄ ➉ ë ↔ ➎ ➸ ➅ ➜ ➸ ➅ ➐ ❅✁❆✢➉✕❇ ➉ ë❑➠❉❈✱❊❋●❍■ ❏ ➸ ❑✥✟✏➤❜➓ ▲ ❄ ✮ ❂✮◆▼ ➛ ▲✒❖❋P ◗❙❘✬P ➯➲ ◗ P ➯➲ ◗ ❖ ❋P ◗ ▼ ❚ ❯❱ ❲ ❳ ❨❬❩❭ ❇ ✭✕✮ ↔ ➎ ➸ ➅ ➜ ➸ ➸ ➐ ◗ ➛✁❪❏❫ ➱❐ ➎ ➣➏❑➐ ➬ þ❵❴ ➎➏❑➐✕✎ ➛ ➍❛ ë ➎➏❑➐✕❜✁❝✁❞✁❡ ✫✧❣ ❢ ✔✆❤❥✐ ✫✧❣ ❢ ❦ ë ❘ ✫✧❣ ❢ ❧ ➛ ❴ ➎➏❑➐ ✫ ❐ ↔ ➎ ➸ ➅ ➜ ➸ ➄ ➐ Ö✁♠♥✫ ❐ ➠✁♦ ➱❐ ➎ ➣➏❑➐↕➡☞♣✁q✄ÿ✁➾✆q✁➩✄➫❜➡☞r✄s❜➓ ✫✧❣ ❢ ➒➠✄Ô✁t➻èï➎ ➣➏❑➐➒➡☞✉✁✈✁✇✁①✁➩✁➡☞r✄s❜➓✒②❚➎ ✲ ➜ ③ ✲ ➐ ➬ ➎ ✲ ➜ ④ ★ ➐ ➬ ➎ ✲ ➜ ⑤ ➄ ➐ ➬✹➎ ✲ ➜ ⑤ ➺ ➐ ➜✪⑥❅✁⑦✁r✁s✁⑧✁⑨✭➎ ➸ ➅ ➜ ➸ ➄ ➐ ➬✹➇✁Ü✆①✁➩✄❮✄➩✏❰✁á✁â❜➢✏➤ ❴ ➎➏❑➐ ➜ ⑩✁❶❸❷ ✯❬❹ ❷✁❺✁❻✁❼✁❽✁❾➀❿➂➁ ➃➄➅➆ ➇✥➈✁➉✭èï➎ ➣➏❑➐✜➊✁➋✁➌➀➍✜➎✁➏❜➓➑➐ ❴ ➎➏❑➐ ➛◆➒ ❴❬➓❣ ➎➏ ì ➐ ✫ ❐ ñ✬➔❣ ➣ ➛ ➸ ↔ ➄ ↔ ③ ↔ ④ ↔ ❘ ❴❬➓❣ ❛✧→ ➎➏ ì ➐➣✫ ❐ ñ✬➔❣ ➣ ➛ ⑤ ↔ ➺ ↔ ➆ ↔ ★ ↔ ➎ ➸ ➅ ➜ ➸ ③ ➐ ↔✁↕ ❴❬➓ë ➎➏ ì ➐ ➛ ➎ ➙✤✪➛✪➜✛✥➛ ❘ ➜✤✪➛ ➙✛✥➛ ➐ ä✤✥✢ ➝✱✔✣➞ ➜ ì✛✥➛ ✔ ➏ ì ➙ ì✛✥➛❥➟ ä✛✕✢ ➠✕✔✡➞ ➜✤✪➛❥➜✛✥➛➡✔ ➏ ì ➙✤✪➛ ➙✛✥➛ ➟ ä✤✥✢ ➠ ➜❐ ➙✛✥➛ ❘ ➙ ❐ ➜✛✥➛ ↔ ❴❬➓ì ➎➏ ì ➐ ➛ ➎ ➙✤✪➛✪➜✛✥➛ ❘ ➜✤✪➛ ➙✛✥➛ ➐ ä✛✕✢ ➝➂✔✡➞ ➜✤✪➛❥➜✛✥➛➡✔ ➏ ì ➙✤✪➛ ➙✛✥➛ ➟ ä✛✕✢ ➠✜✔✣➞ ➜ ì✤✪➛ ✔ ➏ ì ➙ ì✤✪➛❥➟ ä✤✥✢ ➠ ➜❐ ➙✤✪➛ ❘ ➙ ❐ ➜✤✪➛ ↔ ❴❬➓➭ ➎➏ ì ➐ ➛ ➞ ➜ ì✛✥➛ ✔ ➏ ì ➙ ì✛✥➛ ➟ ä✛✕✢ ➝➂✔✡➞ ➜✤✪➛❥➜✛✥➛➡✔ ➏ ì ➙✤✪➛ ➙✛✥➛ ➟ ä✤✥✢ ➝➂✔ ➏ ì ➎ ➙✤✪➛❥➜✛✥➛ ❘ ➜✤✪➛ ➙✛✥➛ ➐ ä✤✥✢ ➠ ➏ ì ➙ ❐ ➙✛✥➛✒✔✆➜❐ ➜✛✥➛ ↔ ❴❬➓→ ➎➏ ì ➐ ➛ ➞ ➜✤✪➛✪➜✛✥➛✒✔ ➏ ì ➙✤✪➛ ➙✛✥➛ ➟ ä✛✕✢ ➝➂✔ ➞ ➜ ì✤✪➛ ✔ ➏ ì ➙ ì✤✪➛❬➟ ä✤✥✢ ➝✱✔ ➏ ì ➎ ➙✤✪➛❥➜✛✥➛ ❘ ➜✤✪➛ ➙✛✥➛ ➐ ä✛✕✢ ➠ ➏ ì ➙ ❐ ➙✤✪➛➡✔☞➜❐ ➜✤✪➛ î ➎ ➸ ➅ ➜ ➸ ④ ➐ ➢✁➤Ü✆➥✁➦❍èï➎ ➣➏❑➐➧✈✁➽✏Ö✁➨✁✉✁➩❜➑ ❴ ➎➏↕➐★➡☞✌✁➫✁➭✁➯✄Ó❜➥ ➲✁➳❸❷ ✯❬❹ ❷✁❺✭èï➎ ➣➏❑➐✜➵✁➋✁➌➀➍➍✜➎✁➏❜➓➑➐ ❴ ➎➏❑➐ ➛◆➒ ❴❬➓ ➓ ❣ ➎➏ ì ➐ ✫ ❐ ñ✬➔❣ ➣ ➛ ➸ ↔ ➄ ↔ ③ ↔ ④ ↔ ❘ ❴❬➓ ➓ ❣ ❛✧→ ➎➏ ì ➐➣✫ ❐ ñ✬➔❣ ➣ ➛ ⑤ ↔ ➺ ↔ ➆ ↔ ★ ↔ ➎ ➸ ➅ ➜ ➸ ⑤ ➐
第十章区间对象族系统的稳定性半径 这里 (hNchDc +w2gNcaDe)op,h+(hN+w29])SN, h +w2(gNchpc -hNcgDc)SD (w gogNc hohN (hi. +w2g2)8p,A-(hNchDc +wgNcgDc)oN, h+w2(gNchDe hNc gDC (h 示。)6N he 推论10.2若C(j)位于第ⅠI象限,则 (∞) fo∈Sj j=1,2,3,4 10.17) fo∈Sj 这里 (hNchpc +w2gNc9Da)D, g+(hN+wga (hog c+w2gD)Sp, h-chNchDc +w2gNcgDd)N, h-w2(gNc hpc -hNagDc)%, w-go gp hop gNchDc -hNc gDc)oD, g 推论10.3若C(j)位于第IV象限,则 f0∈ 1,2,3,4 fo∈ j=5,6,7,8 这里 (gNchpc -hNcgDc)SN,h+(hi+w2gD)8p, g hpc +w nCdc)oN y(a2) 2gNcgDe) (ha09 我们现在给出(j)的几何意义。由(9.28)和(9.38)知,r(a)=|l+al是非负折线函数,其分界点 i/.于是 fo(jd)|’|fo(j 容易证明 r(a1)
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810.1一般控制器时稳定性半径的计算问题 fo 图101:72中的向量f;和∫,值集(s,6)以及两() 由(10.12),(10.21)和(10.23)可得(u)的几何意义,如图10.1显然p()是w2的函数。为简便起见,记 入=2并认为(·)是A的函数。于是 p1,P2 pu(A 81012(入)上确界的计算 由定理10.1及其推论,()是A的有理函数。于是()=()(A),这里()和(λ)均 是多项式,其具体形式见(10.14),(10.16),(10.18)以及(10.20).从而p()是分段有理函数。这种函数的上 确界只可能在定义域的边界点、驻点以及函数的表达式发生变化的点取得.对于(X),这些点为 边界点A=0和 2.切换点 (the switching frequencies )wsw,在这些点处C(j)穿过两个象限的边界,从而()的表达 式从一组8个函数()切换到另一组8个函数p(入).记Asw,=3wr用这些切换点可将(入) 的定义域(正实轴)划分为 其中xx又可能划分为若干个子区间,即工X=U(Asw,Asw,+1,使得当λ∈xx时, Ny quist曲线 C(j)位于X象限,从而()可由8个函数±(),=1,2,3,4,中的某一个进行描述,-取决于 向量f。位于哪个扇形区域S 3.交点( the intersection points);对于λ∈以及f∈S,p()=().随着λ的变化,f。可 能离开扇区S而进入与它相邻的另一个扇区S±1.这时()的表达式就由(A)变为1(A).向 量f穿过两相邻扇区S和S±1的边界的点A,叫做风(入)的交点,因为()与1()在此处相 交.由于在交点处1(A)的表达式可能发生变化,这些点是()的可能的极值点。所以,需求出交 点并计算1()(从)在交点处的函数值。显然,我们只需考虑”相邻”函数p()和1()的交 点,即满足 ())=2(A),2(A)=(),43()=14(A),4()=1(入) (X),1()=2(x),()=4(),()=(A) 的点。注意到当i=5,6,7,8时,()=-A4(A,只需解(10.26)中第一行中的4个方程 A(A1,)(A,)A(A2)A(A2,1)’A(3,1)月(A3,)’(A4,) (A4),(10.27
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第十章区间对象族系统的稳定性半径 就可以确定工X中的所有的交点。求出交点后,即可按下式算出p(X)的取值 1(x1)=|(x,),(A2)=|2(A2,),1(A,)=|(A,),(A4,)=|(A,.(10.28) 需要注意的是,(10.27)式有些解可能不属于工.事实上,交点A;1是多项式(A)+1()-71()分(入) 的根。显然,只有属于xX的根A1才需要考虑; 4.驻点,即以(入)的一阶导数为零的点。由于p(A)的表达式为(10.14),(10.16,(10.18)和(10.20)中的 32个有理函数的某一个,p(A)=0意味着((X)=0,这里x∈.,V},=1,2,4由于 ()为分段有理函数,并非体(入)的每个驻点都是(A)的驻点 在下面的小节里,我们将对上述4类点处(入)的计算问题做详尽的讨论 81013确定切换频率Asw,和(Asw,l) 为简单起见,假设控制器C(s)在虚轴上既无极点也无零点。将C(ju)分为虚部和实部 nHp.+ C(w) gDc jw(gNchpc -hNcgDc) Dc t yw 则切换频率λsw,由下述两种情况确定 a:gN。hDa-hNDe=0;这相当于 sin arg C(ju)=0,即argC(j)=k,此时C(ju)穿过虚轴。记这 类的切换频率为{w,} b: iNch+MgNc9Dc=0;这相当于 cos arg C(ju)=0,即argC(ju)=k霄+丌/2,此时C(ju)穿过实轴 记这一类的切换频率为{w,} 现在引入 Hurwitz矩阵对的公共特征向量的概念。 定义101給定m个ritz矩阵对(H,,H1,k),k=1,2,,m.令v(Ak)是(HB,k,H,k)的特征向量。 若A1=A2 Am=A,则称v(Ak)是矩阵对的公共特征向量 注意,在上述定义中我们并没有假设矩阵对(HB,k,H,)有相同的维数,所以v(Ak)可以是维数各异的向 量。v(Ak)之所以被称为公共向量是因为他们都是由Ao生成的向量,且M是与(H3,k,H,)对应的函数 对(,k(入),,k())的公共交点频率 设 deg No()=degD(s).则容易验证|g(4)-dg)()≤1.由(8.165)和(8.160,我们定以下述 Hurwitz矩阵 Hx,1=H(,,H2x,2=H(,A),丑1,3=H(,),丑3x,4=H(-A,所 H H(,72),H2x,2=H(2,73),H (3,14,H (,4) 此处X=I,II,以及 Hax,=H(A,A),丑Bx2=H(,A),丑Bx.=H(,B),丑3x,=H(-A,所) H n2),五,x,2=H(72,7,x,3=H(74,7) H(1,4) 此处ⅹ=I,IⅣV.下面的定理说明如何确定切换频率Asw;和 定理102(a)4w;>0是(a)类切换频率,当且仅当v(1w,是矩阵对 ),(H1,3,H1.3),( Hm,1),(H,3,H1m,3),( H 的公共特征向量。矩阵对(2x,k,2x,)的相应的特征值是(5w, (b)w;>0是(b)类切换频率,当且仅当v(w;)是矩眸对 (H,2,H12),(HBu,4,H14),(Hu,1,H,n,1),(Ht,3,H1,3), (丑n2,H1m,2),(H1,4,H1m,4),(HBv,Hny,),(Hav,3,H1,3) 的公共特征向量。矩阵对(互3x,k,H1x,k)的相应的特征值是体(4w,)
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§10.1一般控制器时稳定性半径的计算问题 证明.只证(a).由定理8.11,(w)是(Hx,k,H1x,A)的特征值当且仅当冯w;是多项式(A) n()()-(A)()的根,而A(A,(),7(),7(A)由相关的矩阵对(Hx,互1x)确定.要 证明(w,)是(10.30)中所有矩阵对的公共特征向量,只要证明Xsw;是下列所有8个多项式 的根就行了.我们现在证明,gbDe- hNcgD是这些多项式的公因子.通过简单的代数运算可得 412()=(gNch h -hoga 4(x) )(m-h) (A)=-A(x1D。一hmn)(mg-hoe) (A)=(3bD。-x9D0)(m-1e) A)=(Na。-D。)(m-h) (A)=A(wbD。=1×c0)(m-h) 2(A)=(bD-x9D)(-1) 6(A)=(gNchDc-hNc9De)( -hog 其中f=[分磅是本章第3节未尾定义的向量.于是,每个切换频率w;都是上述8个多项式的 公共根.要证明所有正的公共根0都是切换频率,只要证明上述分解的因子90-加没有公共正根 就行了注意到901-h=0当且仅当向量f和f共线,而所有8个向量f不可能同时与fo共 线,901-hg不可能有公共根A0> 下述定理说明如何计算切换频率处的p(入 定理10.3(a)令v(w,)是矩阵对(10.30)的公共特征向量,(w,是相应的特征值若|(w,川> (w,)则anC(id) (w;)=2(3w,)=-4(3w)=(x3w;) 吗(w,)=(w,)=n(Aw,)=(Aw,) 1(x3w,)=min{(xw,,(w,)}=min{2(w,川,同4(w, 否则有aryC(ju)=(2m+1)丌 (23w,)=mn{(xw,,p21(x3w,}=min{2(w,,p(w, (10.35) (b)令()3w,)矩阵对(10.31)的公共持征向量,体(4w,)是相应的特征值若(3w,)>同4(w, 则ayC(ju)=(2m+)丌 (w,)=-4(w,=p(kw,=2(点w 2(23w,)=3(kw:)=p(w)=4(鸡w:) (10.36 (3w,)=mn{2(x3w,),()3w,}=mn{m(w,列,3(鸡w,川
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第十章区间对象族系统的稳定性半径 否则有arC()=(2m-号) 12(w,)=2(3w,)=少(5w;)=4(地3w, (10.38) 12(x5w,川,同4(x3w,川}=min{Y )} (10.39) 证明:只证(a.(sw,)是矩阵对(10.30)的公共特征向量,当且仅当w,是gbDc- hDCc的根 将gNch hpcn入=A 0代入(10.14)和(10.18),得 (hD +w292)D, 3-(hNchDc Asw.igNcgDc)&N, 所以 i(SWi)>A1(swil,+ hNchDc AswigNcgDc >0 台→argC(jusw;) 现在来建立式(10.32).由于Awa既是((A),p(A)的相交点,也是((A),4(入)的相交点,我们有 类似地,Aw:既是both(-4Y(),()的相交点,也是(2(A,()的相交点,有 注意到式(10.14)和(10.20),可得 4 再由 (sw i )=min uj (sw, i =min u (sw. i)y 即可证式(10.33.其它的式子可以类似的证明 p(23w)和p(2w,)揭示了哪个±()应用来描述().利用这些信息我们可以确定(的显式 810.14关于相交点A, 找到所有的切换频率Asw;和A3w;后,将它们按从小到达的顺序排列 0<Asw 1<As 其中Aw=Aw,或w=w,则可将正实轴划分为有限个区间之和:R+=U人=1xx,其中 x=U[Aswl,Asw+,且在区间∈工内,p(X由()表达。若fo∈S,则(X)=(入)。从而在 ∈工X内,p(入)仍然是分段有理函数。于是[Asw,Asw,+1]可进一步划分使之成为有限个小区间之和 [λsw,Aswl+]=U[,j,A2+1,k]在小区间X∈[A,,A+1,]内,p(A)=p(A).显然,A是p(A)和 1()的相交点。于是(A)的表达式由()变为u1(),-见(10.27).由于相交点是p(A)的表达式 发生变化的点,它们是μ()可能的极值点。由定理811确定相交点A,并计算p(,)的问题可以转化 为矩阵特征值的计算问题。于是由下述结果
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制影器虚轴既无极也;部半N。+gD题 则 频率两:;当in屿;g和Ⅱ豳mg此时个穿过记{an幽;当gbn啪m当gon断当gb现引 人当w当此时个矩阵公共特{征公共向量i概;当g 念义点给定m个个 ngr nir'gi t z短阵对 n=gr nir:g念义点给2{"nrg?,·令0 是的若·m。由于念计算mrg?驻点时需要确;知道nrg,·令{而后者又i决于其义点性质{我 们将念这一节里提出一个判据{以判断n*grng念义点给m2还mz义 显然{n当g与ng念;当给23{当且仅当n当grnr当g2等且二者,一阶导u念;当給 也2等。我们称;当mn* gr ning? g点。下述命题确定了 n gr nir g?B点r多项令n当rgb grg-g当g1多重根之间,关系 命题两酒设n当gb,ngb到c当in当g和g此切记当且仅当它in当g此时个至 少g重根。 证明.;当mn当ig1重根{当且仅当 n当r当gb0 t and negri当g:bg半g-/r图1k=xb0t r柳40g 这里?单引号,示一阶导 设r坝40g成立{证明 b 当 塊4坝 为简便期间{省略rg令r坝40g等价于 -月件判- 坝4则 将令r坝4则代入 agb-(-nb-一用学当 得 a当当gb(-月1-+y当当 月判-/一+6当当 月学当+一挡当r+月 bn誉当当+/b0 于mn当gbmi当g 再设;当mn当grn;g点{证明它mn当rg一个至少二重根。设念;b;当給有 %-b珰"γ当当 鹨-作 将上令代入n当rg得 当当gb判-/件岗 消-%
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第十章区间对象族系统的稳定性半径 这说明A,是p,y(A)和它的一阶导数的根 mond形的特征向量。下述命题说明此时ew 如果两个函数()和两()的相交点也是切点,则矩阵对(H(B,月),H(7;,7;)将有非Ⅴ ander N是矩阵对(B(,月),B(77)的广义特征向量 a0(A 0入 (A;,) 0(入) 命题102设M是p()和()的一个相切点,即p;(A)=(A),(A,)=(A,).则有 H(,)'(A,)=H(1,月)[v(A;)+u'(A; (1043) 式中=4(A,)=1(A,),v=2(A;)=(A) 证明:容易验证 v(A)=[012A 1) 以及 ri+x B;+ABy + H(,月)[v+v’ 9+A2 令H(,)(入)等于H(月,月)v(入)+(川得 7k=k+ 7k=入Bk++A 2+2yk=2B+2入B+A2 10.44 这里k=i,j.将第一行代入其下面的行,又得 21x章=4计鄣 1x=1十彰 这里1=1,2,将(10.4象代入(10.44族系得 = 这统是的证的稳果 如果矩阵丑(A,月)非定性,半v经010.43)则有a H,月)H(,%)v(A
➒ ➓ ➔ →✞➣☛↔➙↕✠➛✆➜✠➝✍➞✫➟✍➠⑦➡❲➢✁➤✞➥✠➦✠➧ ➨✠➩⑦➫➯➭ ➲ ➳ ➵➺➸➼➻✐➲ ➳ ➵ ➽ ➭q➾❦➚✞➪✞➶✍➹✁➘✄➴✠➷✫➶☛➬✫➮ ➱✠✃✠❐✠❒✁❮☛➷❰➻✐➲ ➽ ➭q➾❉➚❰➻➵ ➽ ➭q➾❦➶☛Ï✠Ð✁Ñ➯➭ ➲ ➳ ➵ÓÒ✠➸✠Ô✁Ñ✠ÕÓÖ✠×✫Ø✄ÙÚ➽ Û✆➽Ü✐➲ Ý Ü➵ ➾qÝ✐Û✆➽Þ➲ Ý Þ➵ ➾ ➾❼ß✠à✞á➯â➅ãäåæ çè é✢êäå✔ë✫➶✍ì✁í⑦î✄ï✫➮✄ð✠ñ✞ò✞ó✞➩ô➫✄õ✫öø÷✐ù❼ú û ü ÷✐û❫ýý ý û þqû ÿ ✁ ➸✞×⑦Ø☛Ù ➽Û✆➽Ü✐➲ Ý Ü➵ ➾qÝ✐Û✆➽Þ➲ Ý Þ➵ ➾ ➾ ➶✄✂✆☎✠ì✁í⑦î✄ï✫➮ ✝ ù✟✞ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾✡✠☞☛ ù ➽ ➭q➾ ☛ ➭ ý ý ý ý û þqû ÿ ✁ Ý ➻ ✞➲ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾✡✠ ☛ ➻✐➲ ➽ ➭q➾ ☛ ➭ ý ý ý ý û þqû ÿ ✁✍✌ ✎✄✏✒✑ ✓✟✔ ✕✆✖ ➭ ➲ ➳ ➵✘✗➼➻✐➲ ➽ ➭q➾✚✙❰➻➵ ➽ ➭q➾✚✛✢✜✤✣✆✥✆✦✆✧✠Õ✄★❫➻✐➲ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾✩✠✠➻➵ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾ ✪❼➻✞➲ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾✩✠✍➻✞➵ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾ ✫✭✬✢✮ Û✆➽Þ➲ Ý Þ➵ ➾ ù ✞ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾✩✠✠Û✆➽Ü✐➲ Ý Ü➵ ➾✟✯ù ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾ ✰✍✱ ù ✞ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾ ➻✳✲❦Ý ➽ ➓ ✴ ✵ ➔ ✶ ➾ ✷✹✸ ➻✺✠✠➻✐➲ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾✩✠✠➻➵ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾ ✪✻✰✼✠✠➻✞➲ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾✩✠✠➻✞➵ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾ ✫ ✽✹✾❀✿❂❁✹❃✤❄✄❅ ù✟✞ ➽ ➭q➾✩✠✹✯ ✴♠➓⑦➒ ➭ ✶ ➭✳❆❀❇ ❇ ❇✁➽ ❈✟❉ ÿ ✱✤❈✟❉✁❋❊ ➓ ➾ ➭ ● ❍ ÿ ■ ● ❍ ✁ ❏ ❆ ✲ ❑✢Ý ▲◆▼ Û✆➽Þ➲ Ý Þ➵ ➾ ù ✞ ✠ ❖P P P P P P P P P P P P P P P P ◗ Þ ✞➲ Þ ✞➵ Þ➲✟✱☛➭Þ ✞➲ Þ➵❘✱☛➭Þ ✞➵ ➒ ➭Þ➲✟✱☛➭ ❆ Þ ✞➲ ➒ ➭Þ➵❘✱☛➭ ❆ Þ ✞➵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ❙❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❯ Ý✁Û✆➽Ü✐➲ Ý Ü➵ ➾✟✯ù ✰✚✱ ù ✞ ➻✳✲✟✠ ❖P P P P P P P P P P P P P P P P ◗ Ü✐➲ Ü➵ ➭Ü✐➲ ➭Ü➵ ➭ ❆Ü✐➲ ➭ ❆Ü➵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ❙❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❯ ✰✚✱ ❖P P P P P P P P P P P P P P P P ◗ Ü ✞➲ Ü ✞➵ Ü✐➲✟✱☛➭Ü ✞➲ Ü➵✭✱✍➭Ü ✞➵ ➒ ➭Ü✐➲✟✱☛➭ ❆Ü ✞➲ ➒ ➭Ü➵✭✱✍➭ ❆Ü ✞➵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ❙❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❯ ➻ ✌ ❱ Û✆➽Þ➲ Ý Þ➵ ➾ ù ✞ ➽ ➭q➾✩❲✆❳ Û✆➽Ü✐➲ Ý Ü➵ ➾✟✯ù ➽ ➭q➾ ✰✍✱ ù ✞ ➽ ➭q➾ ➻✳✲✻❨ Þ ❩✞ ✠☛Ü❩ ✰✚✱✆Ü❩✞ ➻ Ý Þ ❩ ✱☛➭Þ ❩✞ ✠✞➭Ü ❩ ✰✚✱✆Ü❩ ➻✼✱☛➭Ü ❩✞ ➻ Ý ➒ ➭Þ ❩ ✱☛➭ ❆ Þ ❩✞ ✠✠➭ ❆Ü ❩ ✰✚✱ ➒ ➭Ü ❩ ➻✼✱✍➭ ❆Ü ❩✞ ➻ Ý ✵ ✵ ✵ ➽ ➓ ✴ ✵ ➔➔ ➾ ➨✄❬✡❭✼✠✄❪ Ý ❫ ✵ ß✄❴✞➹✢❵✄❛✄❜✄❝✁ð✄❞✁➶✢❵✁Õ◆❡✄❨ ❢❤❣ ➭ ✐ ❏✻❥ Þ➲❦✠ ❣ ➭ ✐ ❏✻❥Ü✐➲ ➻ ❣ ➭ ✐ ❏✻❥ Þ➵✚✠ ❣ ➭ ✐ ❏✻❥ Ü➵ ➻ ♠❧✼♥ ➻✺✠ Þ➲ Ü✐➲ ✠ Þ➵ Ü➵ Ý ➽ ➓ ✴ ✵ ➔ ♦ ➾ ➨✄❬ ❣ ✠ ➓ Ý ➒ Ý ✌ ✌ ✌ ✵ ß ➽ ➓ ✴ ✵ ➔ ♦ ➾✻❛✄❜ ➽ ➓ ✴ ✵ ➔➔ ➾✩♣✆q✢❨ Ü ❩ Þ ❩✞ ❊ Þ ❩ Ü ❩✞ ✠☛Ü❆ ❩ ✰ Ý ❧✼♥ ✰✘✠ Ü✐➲ Þ ✞➲ ❊ Þ➲Ü ✞➲ Ü➲❆ ✠ Ü➵ Þ ✞➵ ❊ Þ➵ Ü ✞➵ Ü➵❆ ✌ ➨✄r✠➸✄s❅➶✤t✞✃✁➮ ➱✠✃✠×✫Ø❰Û✆➽Ü✐➲ Ý Ü➵ ➾❦á✢✉✆✈✞Õ❂✇✡✰✤①✠ ✴ ② ➽ ➓ ✴ ✵ ➔ ✶ ➾❦③✄④✄⑤ Û ❏✻❥ ➽Ü✐➲ Ý Ü➵ ➾ Û✆➽Þ➲ Ý Þ➵ ➾ ù ✞ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾ ⑥ ✰✼✠ ù ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾✻✱✄➻ù ✞ ➽ ➭ ➲ ➳ ➵ ➾ ⑥ ✰ ✌
