第八章模糊模式识别 §8-1、模糊集的基本概念 今1965年美国加利福尼亚大学LA. Zadeh”教授首次发表 “ Fuzzy sets”重要论文,奠定了模糊数学的理论基础,目前 “模糊数学”已广泛应用在系统工程、生物科学、社会科学 等领域中。 ◆模糊性:“高矮”、“胖瘦”、“年青”、“年老” 令一、模糊集的定义:假设论域E={x}(讨论的区间),模糊 集A是由隶属函数μ(x)描述。 令μA(x)是定义在E上在闭区间{0,l}中取值的一个函数,反映x对模糊 集的隶属程度 令则μA(x)描述了E中的一个模糊子集A
第八章 模糊模式识别 ❖ §8-1、模糊集的基本概念 ❖ 1965年美国加利福尼亚大学L.A. Zadeh.”教授首次发表 “Fuzzy Sets”重要论文，奠定了模糊数学的理论基础，目前 “模糊数学”已广泛应用在系统工程、生物科学、社会科学 等领域中。 ❖ 模糊性:“高矮”、“胖瘦”、“年青”、“年老” ❖ 一、模糊集的定义：假设论域E={x}（讨论的区间），模糊 集A是由隶属函数μA(x)描述。 ❖ μA(x)是定义在E上在闭区间{0，1}中取值的一个函数，反映x对模糊 集的隶属程度。 ❖ 则μA(x)描述了E中的一个模糊子集A
☆二、模糊集A的台:是E中能使μ(x)>0的 元素集合 令模糊独点集:它的台只含元素x1,而μ(x1)=μ, 则记为:A (独点集) 令若A是有限的台(x1,x2……,x)而(x) 令则A=1x1+2x2+…… H.隶属函数x为元素 心若A是无限的台则有无限元素 则A=(∠(x)
❖二、模糊集A 的台：是E中能使μA(x)>0的 元素集合。 ❖模糊独点集：它的台只含元素x1，而μ(x1 )=μ1， 则记为：A＝ μ1/x1（独点集） ❖若A是有限的台(x1 ,x2 ,……,xn )而μ(xi )=μi ❖则A= μ1/x1+ μ2/x2+……μn/xn= , μi为隶属函数,xi为元素 ❖若A是无限的台则有无限元素 ❖则 = n i i i 1 x ( ) = E A x x A
◆例:在论域E中确定一个模糊子集A,它表 示“园块”这一模糊概念。(如右图) ☆E=(ab,cd,e,f) ☆μ(a)=1,(b)=0.9,;(c)=0.4,(d)=0.2,(e) μ(f=0 0.90.40.2 A共有四个台,可得A=+ b E b
❖例：在论域E中确定一个模糊子集A，它表 示“园块”这一模糊概念。（如右图） ❖E=(a,b,c,d,e, f） ❖μ(a)=1, μ(b)=0.9, μ(c)=0.4, μ(d)=0.2, μ(e)= μ(f)=0 a b c d A A 1 0.9 0.4 0.2 共有四个台，可得 = + + + a b c d e f E
三、用α水平集来划分模糊集 今设A为E=(x)中的模糊集 令则A={xμ(x)≥α}称为模糊集A的α水平集,a 为阈值在(0,1)间取值(一个模糊集可利 用其水平集来划分) 令A为有限个台时,水平集为A=∑ 冷A为无限个台时,水平集为A=∫ ☆例:关于“年青”的模糊集为E={A50,A45 40:135,430 A 5 ☆E中模糊集:A=0/A50+0.1/A45+0.3/A40+ 0.5/A35+0.9/A30+1/A25
❖三、用α水平集来划分模糊集 ❖设:A为E=（x）中的模糊集 ❖则A={x| μA(x)≥α}称为模糊集A的α水平集， α 为阈值在（0，1）间取值（一个模糊集可利 用其水平集来划分） ❖A为有限个台时，水平集为 ❖A为无限个台时，水平集为 ❖例：关于“年青”的模糊集为E={A50, A45, A40 ,A35, A30, A25} ❖E中模糊集：A=0/ A50+0.1 / A45 + 0.3/ A40 + 0.5/ A35 + 0.9/ A30 +1 / A25 = ; A A = E A A
α=0.1水平集A=0.1/A45+0./A4+0.1/ A35+0.1/A30+0.1/A25 今=0.3水平集A=0.3/A40+0.3/A35+0.3/ A30+0.3/A25 今=05水平集A=05/A35+0.5/A30+0.5/ 25 ◆∴不同的α有不同的模糊集 令A01={A45,A40,A35,A302A25} 令A03={A40,A352A30,A25} A5={A35,A30,A25} 令A09={A302A25
❖α =0.1水平集:A=0.1 / A45 + 0.1/ A40 + 0.1/ A35 + 0.1/ A30 +0.1 / A25 ❖α =0.3水平集:A=0.3/ A40 + 0.3/ A35 + 0.3/ A30 +0.3 / A25 ❖α =0.5水平集:A=0.5/ A35 + 0.5/ A30 +0.5 / A25 ❖∴不同的α有不同的模糊集 ❖A0.1 ={A45, A40 ,A35, A30, A25} ❖A0.3 ={A40 ,A35, A30, A25} ❖A0.5 ={A35, A30, A25} ❖A0.9 ={A30, A25}
今§8-2、模糊集的简单运算及模糊关系 今一、并集、交集、补集 设:AB为E=(x)上的两个模糊集,则它们 的并集A∪B、交集A∩B、及A的补集A仍为模 糊集,则它们的隶属函数为: 令并集HAup(x)=max(μA(x),Hp(x) 令交集:H△Bx)=mn(HA(x),B(x)) 令补集:1(x)=1-中(x),(x),H1(x)分别为A、B的隶 属函数
❖§8-2、模糊集的简单运算及模糊关系 ❖一、并集、交集、补集 ❖设：A,B为E=（x）上的两个模糊集，则它们 的并集A∪B、交集A∩B、及A的补集 仍为模 糊集，则它们的隶属函数为： ❖并集:μA∪ B(x)＝max(μA(x) ,μB(x)) ❖交集: μA∩ B(x)＝min(μA(x) ,μB(x)) ❖补集: =1- μB (x) , μA(x) ,μB (x) 分别为A、B的隶 属函数 (x) A A
今例、模糊集 A=0.3/x1+0.6/x2+1/x3+0/x4+0.5/x5 B=04/x1 +0.8/x2+0/x3+0.6/x4+1/x5 令则A=0.7/x1+0.4/x2+0/x3+1/x4+0.5/x5 ☆B=0.6/x1+0.2/x2+1/x3+0.4/x4+0/x 令A∩B=0.3/x1+06/x2+0/x3+0/x4+0.5/x5 ☆A∪B=0.4/x1+0.8/x2+1/x3+0.6/x4+0.5/x5
❖例、模糊集 A=0.3 / x1+ 0.6/ x2 + 1/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5 B=0.4 / x1 + 0.8/ x2 + 0/ x3 + 0.6/ x4 +1 / x5 ❖则 =0.7 / x1+ 0.4/ x2 + 0/ x3 + 1/ x4 +0.5 / x5 ❖ =0.6 / x1+ 0.2/ x2 + 1/ x3 + 0.4/ x4 +0/ x5 ❖ =0.3 / x1+ 0.6/ x2 + 0/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5 ❖ =0.4 / x1+ 0.8/ x2 + 1/ x3 + 0.6/ x4 +0.5 / x5 A B A B A B
今二、距离的定义: ◆若AB为E=(x)上的模糊集,E中有n个元 素 今则AB的线性距离为 d(B)=∑1(x)-H2(x) 今AB的欧氏距离为 R(A,B)==1∑[1(x)+u(x) ◆我们可以利用模糊集间的距离对模糊集进行 分类和聚类
❖二、距离的定义： ❖若A,B为E=（x）上的模糊集，E中有n个元 素 ❖则A,B的线性距离为: ❖A,B的欧氏距离为 ❖我们可以利用模糊集间的距离对模糊集进行 分类和聚类。 = = − n i A i B i x x n d A B 1 ( ) ( ) 1 ( , ) = = + n i A i B i x x n R A B 1 2 ( ) ( ) 1 ( , )
今三、模糊关系: 令设U为两个模糊集则u,v的笛卡儿乘积集记为 U×V={(10)u∈Uv∈V},(u)是U,V元素间的 种无约束搭配,若把这种搭配加某种限制, UV间的这种特殊关系叫模糊关系R ◆(∴模糊关系是笛卡儿乘积集的一个子集,不是无 约束的) 令隶属度R(l4)表示l4具有关系R的程度 今例:为身高,v为体重 l=(14,1.5,1.6,1.7,1.8)(单位m) 令v=(40,50,60,70,80)(单位kg)
❖三、模糊关系： ❖设U,V为两个模糊集,则u,v的笛卡儿乘积集记为： U×V={(u,v)|u∈U,v∈V}, (u,v)是 U,V元素间的 一种无约束搭配，若把这种搭配加某种限制， U,V间的这种特殊关系叫模糊关系R。 ❖（∴模糊关系是笛卡儿乘积集的一个子集，不是无 约束的） ❖隶属度R(u,v)表示u,v具有关系R的程度 ❖例： u为身高， v为体重 ❖u=（1.4,1.5,1.6,1.7,1.8）（单位m） ❖v = (40,50,60,70,80) （单位kg）
◆模糊矩阵(模糊关系) 4050607080 080.20 1.50.81 0802 00 6020.8 0802 0208 0.8 1.8 00 0 0.20.81
40 50 60 70 80 1.4 1 0.8 0.2 0 0 1.5 0.8 1 0.8 0.2 0 1.6 0.2 0.8 1 0.8 0.2 1.7 0 0.2 0.8 1 0.8 1.8 0 0 0.2 0.8 1 ❖模糊矩阵（模糊关系） v u R(u, v)