第二章控制系统的内稳定性 解控制问题的第一步是找到所有使图1.19所示系统稳定的控制器κ.有别于典型控制系统,称 图1.19所示系统为线性分式变换系统。本章内容包括线性分式变换系统内稳定性的频域表达、传递函数 矩阵的互质分解、镇定器集合S(G)的 Youla参数化。本章末尾将证明,通过镇定器的 Youla参数化可将 关于K的非线性函数Tmz的x范数优化问题转化为一个特殊的a控制问题,-模型匹配问题。后 者的传递函数是 Youla参数的仿射函数 82.1内稳定性的频域表达 考虑控制问题的一般框架。如图2.1所示,在图1.19中引入两个辅助变量υ1和υ2.记 图21:三输入三输出的线性分式变换系统 C1|D1D12 K Bc 分别为G和K的状态空间表达式。不失一般性,设(21)和(22)是可镇定( (stabilizable)和可检测(do tectable)的,即系统不可控和/或不可观测的部分是稳定的。在(2.1)中已假设D2=0.如果D22≠0可 通过结构图等价变换将D22移至控制器K中,(见本章问题1)。所以,上述假设并没有使G失去一般 性 由G和K的状态空间表达式,可以写出闭环系统的状态空间表达式。记m和:。分别为G和K的 状态向量,则有 Aa+ Biw+ B2u D210 Acac+ bcy Ccac+ Dcy+ 于是闭环系统的状态空间表达式为 A+ B2 DC2 B2Cc B1+B2DD2B2D。B2 (23) BC. C1+ DiaDC2 Du2Ce I Du+ D12DD DC2
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第二章控制系统的内稳定性 根据内稳定性的定义,闭环系统内稳定,当且仅当其系统矩阵 AcI: A+B2D C2 B2C2 B C? A 是渐近稳定的,即Reλ(Aa)<0ⅵi,这里λ;(·)表示矩阵的特征值。内稳定性在频域中可描述如下 定理21图2.1所示的线性分式变换亲统是内稳定的,当且仅当从[u2nn]到[zyu]的传递 函数矩阵稳定。 证明:若Aa1渐近稳定,则与状态空间表达式相应的传递函数矩阵肯定是稳定的。所以必要性是显而易见 的.我们只证充分性,即:如果传递函数矩阵[on]→[yu]稳定,则Aa稳定。其实只 需验证(23)和(24)表示的系统是可镇定且可检测的就行了.将 Popov- Belevitch-Hautus判据应用于(2.3) 和(24)式表示的系统。矩阵 [AI-AI B.- De C2 - Cc B1+ B2 De D21 B2 Dc B2 B.c. 设向量[r1w2]使得 1w2]·[I-AaBa1]=0 若能证明(2.6)仅当[uu2]=02,或ReA<0时才成立,则(AaBa)可镇定 由(26)的最后一列和第四列可得 B2 u2·Ba=0 (26)式的第三列为vB1+u1B2DD21+u2BD21=0,将(27式代入,可得 B1 再将U·B2=02代入(2.6)式的第二列 i B2 Cc+12 又可得 最后将(27)代入(2.6)式的第一列 uf(入 Di B2 D C2 -w2 B C2=0 (27),(2.8),(2.9)(2.10)式可等价地写为 1[D-AB1B2] 由于(A,[B1B2])和(Ac,Bc)均是可镇定的,上式成立时或有[1w2]=02,或RA<0.于是 (Aa,Ba)可镇定。 同理可证(Ca1,Aa)的可检测性
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82.2线性分式变换中G的可镇定性 22线性分式变换中G的可镇定性 前面曾经假设G的状态空间表达式是可镇定和可检测的。这意味着可以找到控制器使得闭环系统稳 定.但由于。控制问题中控制器K反馈的只是G输出[x7y2]的一部分,所以G还须满足一定的 条件,才能使得一般框架中的镇定问题有解。这就是下述引理提出的条件 引理2.1存在控制器K使得图2.1所示的亲统內稳定,当且仅当(A,B2)可镇定,(C2,A)可检测 证明:为证明必要性,将A4分解为 B2 A BcC B D :=H 第一式说明Aa是状态反馈系统的状态矩阵A+BF,而第二式说明Aaμ是输出内射( output injection反 馈系统的状态矩阵A+HC Ai稳定,三→ B2可镇定,→(A,B2)可镇定; B C. 同理, Aa1稳定, a BcE Ca 可检测,=(C2,A)可检测 A 现证明充分性。因(A,B)可镇定,(C2,A)可检测,可用带状态观测器的状态反馈使系统稳定。这种 控制器的状态空间表达式为 Aa。+B2u-HC2(m-) =F+U2 其中F和H的选择应使得A+B2F和A+HC2稳定。于是取 SSR A+B2F+ HC2 H A B2 F A AC +B2F+AC a+ b2F B2F A+HC2 稳定 F(G,K)内稳定,等价于闭环系统的A矩阵(A41)的特征根的实部都小于零,即Aa1的特征多项式 A+ B2 C fa(s)=det(sI-Acl hurwitz稳定。在引理2.1的条件下,K镇定G,当且仅当κ镇定G2.所以,只要确定S(G2)就行了
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第二章控制系统的内稳定性 §23传递函数矩阵的互质分解 前一节导出了镇定问题有解的充要条件,并把镇定线性分式变换系统的问题简化为镇定G22的问题。 本章剩余的部分将讨论如何确定S(G22).由于S(G2)的确定建立在互质分解的基础上,所以首先讨论传 递函数矩阵的互质分解问题。我们从一个简单例子入手。 例21考虑一个控制统,其中控制对象的传递函数为P()=m,控制器的传递函数为C(s)=m 这里N(s),D(s),N(s),D2(s)均为多项式,degD(s)=π.设N(s)和D(s)在右半闭平面内没有公共根 于是存在阶次不超过n的多项式N2(s),D(s)使f1(s)=D(s)D2(s)+N(s)N(s)=f1(s)f2(s),这里f1(s) 和∫2(s)均为n阶 Hurwitz多项式。这个多项式方程又可改写为 D(s)D2(s),N(s)N(8) f1(s)f2(s)f1(s)f2(s) (212) 显然 (8)=Ns)x C(s)=N() m4.2,需,都是稳定的传递函数,由此可见,一个有理函数,只要它没有不稳定的零极相 消,一定可以把它表示为两个稳定的有理函数之比,且存在另外两个稳定的有理函数,使(2.12)成立 我们把这种两个稳定的传递函数之比的形弌叫儆传递函数在R咒、中的分解。如果一个咒η。分解满足 212则称和在R。中互质,自然,和别也在。中互质 现在将上述互质的概念推广到传递函数矩阵。 定义2.1两个列数相同的传递函数矩阵Nr,D,∈RH。叫做右互质,如果存在Xr,Yr∈R。,使得 XrNr+YDr=l 两个行数相同的传递函数矩阵N1,D1∈R。叫儆左互质,如果存在X,Yt∈RH,使得 NX+D, (213)和(2.14)都叫做 Bezout方程。有了传函矩阵互质的概念,就可以定义传函矩阵的互质分解了 定义2.2如果G=NDr1,且Nr和D,右互质的,则称NrDr1是G的一个右互质分解。如果 G=D1N1且N1和D1左互质,则称Dn1Nn是G的一个左互质分解 下述引理描述了传递函数矩阵互质分解的唯一性。 引理2.2设N1D11=N2D21都是右互质分解,则有 里W和W-1均属于R.同理,若D:N1=D2N2都是左互质分解,则有 (216) 这里W,W"∈RH 证明:令W=D1D2则有D2=D1W.由N1D12=N2D21,可得N2=N1W.于是(215)成立 令X2N2+Y2D2=I,由(2.15)得(X2N1+Y2D1)W=I,于是W1=X2N1+Y2D1∈RH。类 似地由X1N1+Y1D1=I可得 1N2+Y1D2∈Rh 个传递函数矩阵W,若W,W1∈R,则称它为R。中的 unimodular.引理2.说明左、右 互质分解在R咒。中的 unimodular的意义下是唯一的。 Unimodular可以理解为单位模的。我们知道,整 数环中可逆元素为+1和-1.除这两个元素之外,其余任何元素(整数)的逆(倒数)都不是整数。于是
③ ④ ⑤✖⑥✳⑦⑨⑧✜⑩✦❶✳❷✙❸✜❹✎❺✦❻✜❼ ❽✻❾➀❿ ➁➃➂➅➄➇➆➉➈➅➊➇➋➍➌➉➎➅➏➇➐➇➑ ➒✜➓✳➔✖→✙➣✖↔■↕✜➙✦➛■➜✖➝✖➞✦➟✖➠❄➡✖➢✖➤✦➥✿➦✖➧✖↕✜➙✖➨✳➩✖➫✖➭✖➯✖➲✦➳❄➵✦➟✜➛■➜✜➸✳➺✦➻✳↕✜➙➽➼❩➾ ➾➀➟✜➛■➜✦➚ ➪✖➶✖➹✖➘✦➟❄➴✖➫✖➷✜➬✖➮✖➱✜✃✜❐✜➙➽❒♠❮ ➼❩➾ ➾ ❰ Ï✐Ð❩Ñ➽❒♠❮ ➼✎➾ ➾ ❰♠➟✳❐✖➙✳Ò✖Ó✖Ô✖Õ✜Ö✳➫✜➞✦➟❄×✜Ø✖Ù✙➥✏Ú✙Û❄Ü✖Ý✖➬✜➮✜Þ ß✦à❄á✖â✙ã✳➟❄Õ✦Ö✳➫✜➞✴➛■➜✙➚■ä✜å✳æ✦➓✳ç✦➸✳è✜é✖ê✜ë✖ì✙➚ íïî✻ð ñ✙ò✳ó✦ô✳õ✦ö✦÷➅ø❩ù✜➥❄ú✴û■ö✜÷✜ü✜ý✜þ✳ÿ✁✄✂✆☎✞✝✠✟✹❮ ✡ ❰☞☛✍✌✏✎ ✑ ✒ ✓ ✎ ✑ ✒ ✔ ö✦÷✆✕✴þ✳ÿ✁✞✂✆☎✞✝✠✖☞❮ ✡ ❰☞☛✍✌☞✗ ✎ ✑ ✒ ✓ ✗ ✎ ✑ ✒ ✔ ✘✁✙✛✚ ❮ ✡ ❰ ✔☞✜❮ ✡ ❰ ✔ ✚✣✢ ❮ ✡ ❰ ✔✤✜✢ ❮ ✡ ❰✏✥✁✝✁✦★✧✁✩✳➥✫✪✬✭ ✜ ❮ ✡ ❰✮☛✆✯✮✰☞✱ ✚ ❮ ✡ ❰✳✲ ✜ ❮ ✡ ❰✣✴✶✵✆✷✞✸✺✹✞✻✄✼✺✽✆✾★✿✁❀✆❁✦➚ ❂★❃✶❄✴✶❅✆❆✄❇★❈✶❉❊✯✜þ✁✦★✧✁✩ ✚✣✢ ❮ ✡ ❰ ✔☞✜✢ ❮ ✡ ❰✏❋❍●■ ❏ ❮ ✡ ❰✮☛ ✜ ❮ ✡ ❰ ✜ ✢ ❮ ✡ ❰▲❑ ✚ ❮ ✡ ❰ ✚✣✢ ❮ ✡ ❰▼☛✁●◆ ❮ ✡ ❰ ●➾ ❮ ✡ ❰ ✔ ✘✁✙ ●◆ ❮ ✡ ❰ ✲✠●➾ ❮ ✡ ❰✳✥✁✝❖✯✆❅❖P✣◗❘❙▼❚ ❯❱❲✦★✧✁✩✳➚ ✘õ✫✦★✧✄✩✆❳✶❨✄❩✶❬✄❭✁❪✶✝ ✜ ❮ ✡ ❰ ●◆ ❮ ✡ ❰ ✜ ✢ ❮ ✡ ❰ ●➾ ❮ ✡ ❰ ❑ ✚ ❮ ✡ ❰ ●◆ ❮ ✡ ❰ ✚✣✢ ❮ ✡ ❰ ●➾ ❮ ✡ ❰ ☛✞❫☞❴ ❮ ③ Ï ❫ ③ ❰ ❵✶❛ ➥ ✟☞❮ ✡ ❰▼☛ ✚ ❮ ✡ ❰ ✜ ❮ ✡ ❰ ☛ ✌✏✎ ✑ ✒ ❜ ❝ ✎ ✑ ✒ ✓ ✎ ✑ ✒ ❜ ❝ ✎ ✑ ✒✳❞ ✖☞❮ ✡ ❰▼☛ ✚✣✢ ❮ ✡ ❰ ✜ ✢ ❮ ✡ ❰ ☛ ✌✏✎ ✑ ✒ ❜ ❡ ✎ ✑ ✒ ✌☞✗ ✎ ✑ ✒ ❜ ❡ ✎ ✑ ✒❢❞ ❣ ✓ ✎ ✑ ✒ ❜ ❝ ✎ ✑ ✒ ✔ ✓ ✗ ✎ ✑ ✒ ❜ ❡ ✎ ✑ ✒ ✔ ✌✏✎ ✑ ✒ ❜ ❝ ✎ ✑ ✒ ✔ ✌☞✗ ✎ ✑ ✒ ❜ ❡ ✎ ✑ ✒✐❤❃✶❥✆❦ þ❄ÿ✶✄✂✆☎✜➚✶❧♥♠✄❬✁♦✖➥❩ô✳õ✄✾✁♣✁✂✆☎✜➥✶q✺r✄s✶✽✶✾✁❇ ❥✆❦ þ✶t★✉✁✈ ✇ ➥❄ô❦ ❬✞①★②✞s✆③✄④✄✝✁⑤❄õ❥✶❦ þ✶✾✁♣✄✂✆☎✁⑥✄⑦✜➥ ❣❄ ✴⑨⑧✺⑩✄⑤❄õ❥✶❦ þ✶✾✶♣✄✂✆☎✦➥✺❋❷❶❸ ✰ ❹ ❸❺❲❻✁❼✁❽ ❾✶❿✁②✘✄➀ ⑤❄õ❥✶❦ þ✳ÿ✁✞✂✆☎✁⑥✄⑦✦þ✶➁✁✩✁➂✆➃✖ÿ✁✞✂✆☎✄✴✠➄➆➅➈➇◗û✳þ✆➉✁➊✦➚✺➋✄➌✜ô✳õ❊➄➆➅❢➇➍➉✁➊✄➎✆➏ ❶❸ ✰ ❹ ❸❺ ✔▼➐★➑ ✌✏✎ ✑ ✒ ❜ ❝ ✎ ✑ ✒ ✲ ✓ ✎ ✑ ✒ ❜ ❝ ✎ ✑ ✒ ✴✛➄➆➅➒➇✇û✺➓✆➔✜➚⑨→ ❛ ➥➣✌☞✗ ✎ ✑ ✒ ❜ ❡ ✎ ✑ ✒ ✲ ✓ ✗ ✎ ✑ ✒ ❜ ❡ ✎ ✑ ✒❢↔✴✛➄➆➅➒➇✇û✺➓✆➔✜➚ ↕Ô✖➷✖Ù✶➙✖Õ✜Ö✦➟★➛✁➜✁➝✁➞✶➟✜Þ✖ß✦à✳á✜â✙ã✖➚ ➠✆➡ïî✻ð ñ✞⑤■õ✄➢✆☎✶✈⑨➤❄þ❄ÿ✁✄✂✆☎✶➥✫➦✛➧✞➨ ✔✤➩➨✣➫❢➄➆➅➒➇➭➂★➃✁✵✶➓✆➔✜➥✺➋✁➌❄ ✴✠➯✄➨ ✔✤➲➨✳➫✐➄➆➅✐➇➇➥✺❋✁➳ ➯✶➨ ➧✶➨✮❑ ➲ ➨ ➩ ➨✳☛✆➵➈❴ ❮ ③ Ï ❫ ➸ ❰ ⑤■õ✁➺✶☎✶✈⑨➤■þ✳ÿ✶✞✂✆☎✶➥✫➦✛➧✞➻ ✔✤➩➻☞➫❢➄➆➅➒➇➭➂★➃✁➼✶➓✆➔✜➥✺➋✁➌❄✴✠➯✞➻ ✔✤➲➻✤➫❢➄➆➅➒➇ ✔ ❋✁➳ ➧✁➻➯✶➻ ❑ ➩ ➻➲ ➻▲☛✶➵❲❴ ❮ ③ Ï ❫ ➽ ❰ ❮ ③ Ï ❫ ➸ ❰☞➾ ❮ ③ Ï ❫ ➽ ❰☞➚✫➪♥➶❊➹▼✬ ➘ ➴➷➬✳➮✁➱✜➚❩➝✙↔❄Þ✜à❄â✴ã❄Õ✜Ö✦➟★➛✁➜✦➥♥✃✄❐✙Û❄➙✁❒✖Þ✦à❄â✴ã✳➟✳Õ✦Ö✳➫✜➞✙↔✖➚ ➠✆➡ïî✻ð î✄➋✞➌❲➼❮☛✛➧✶➨ ➩✆❰ ◆ ➨ ✔ ❣ ➧✶➨★✲ ➩ ➨✺✵✄➓✁➔✴þ✜➥ ➐✶➑ ➧✶➨ ➩✆❰ ◆ ➨ ❃ ➼ þ✜ô✖õ✫✵✄➓✁➔✄➉✄➊✙➚✺➋✞➌ ➼✫☛ ➩ ❰ ◆ ➻ ➧✶➻ ❣ ➧✶➻✏✲ ➩ ➻▼➼✶➓✆➔✜➥ ➐★➑❍➩ ❰ ◆ ➻ ➧✶➻ ❃ ➼❱þ✳ô❄õ✄➼✶➓✆➔✁➉✶➊✦➚ Ï➙✄Ð★Ñ✶Ò✶➙✙↔✳Þ✳ß✙à✳á✖â✴ã■Õ✦Ö✳➫✜➞✙➟✶Ó✖➓✳➩✙➚ Ô★Õïî✻ð î✁✱❮➧✄◆ ➩★❰ ◆ ◆ ☛✁➧✜➾ ➩★❰ ◆ ➾ ❤❃✵✶➓✆➔✶➉✶➊✦➥ ➐ ✾ Ö ➧✜➾ ➩ ➾♥× ☛ Ö ➧✄◆ ➩ ◆♥×★Ø ❮ ③ Ï ❫ Ù ❰ ✘✁✙ Ø ✲ ØÚ❰ ◆ ✥✆Û ❂ ➄➆➅➒➇♥✰✣➤♥♣✖➥★ÜÞÝ➩ ❰ ◆ ◆ ➧✞◆✮☛✛Ý Ý ➩ ❰ ◆ ➾ ➧✦➾ Ý ❤❃➼✶➓✆➔✶➉✶➊✦➥ ➐ ✾ ß➧✜➾ Ý Ý➩ ➾ à▲☛ ÝØß➧✄◆ Ý Ý➩ ◆ à ❞ ❮ ③ Ï ❫ ④ ❰ ✘✁✙ ÝØÚ✔ ÝØ❰ ◆ ➫❢➄➆➅➒➇➒✰ á✞â✠ã♥ä Ø ☛ ➩ ❰ ◆ ◆ ➩ ➾ å æ✜➝ ➩ ➾✳☛ ➩ ◆ ØÏ✹ÐÚ➧✄◆ ➩ ❰ ◆ ◆ ☛✁➧✜➾ ➩ ❰ ◆ ➾ å ❐✶ç❊➧✜➾✳☛✁➧✞◆ØÏ➀Ñ✶è ❮ ③ Ï ❫ Ù ❰☞é✜Ó✙➚ ä ➯✜➾ ➧✜➾☞❑ ➲ ➾ ➩ ➾✏☛✶➵✤å Ð➍❮ ③ Ï ❫ Ù ❰☞ç ❮➯✜➾ ➧✄◆✤❑ ➲ ➾ ➩ ◆ ❰Ø ☛✶➵❩➥★Ñ✆è ØÚ❰ ◆ ☛✶➯✖➾ ➧✄◆✤❑ ➲ ➾ ➩ ◆✏➫❢➄➆➅➒➇➅➚✐ê ë✶ì➉Ðí➯✞◆ ➧✄◆☞❑ ➲ ◆ ➩ ◆✮☛✶➵➒❐✆ç Ø ☛✶➯✄◆➧✦➾▼❑ ➲ ◆ ➩ ➾✳➫❢➄➆➅➒➇✏Ï ➓✖ç✦Þ✖ß✙à✳á✜â✴ã Øå î Ø ❞ Ø➭❰ ◆ ➫✐➄➆➅➒➇❢å æ✄ï✁ð✜➻❊➄➆➅❢➇➭ñ✳➟✛➷òóô❢➴ ✪➷õö÷ Ï▼Ð✆Ñ ③ Ï ③✣ø⑨ù✺ú✞û♥ü Õ✜Ö✳➫✖➞✖Ôí➄➆➅♥➇✍ñ❄➟Ú➷òóô❢➴ ✪➷õö÷ ➟★ý✁❒Ïè✄Ó✳➓✜➟✖➚✄þ✏òóô❢➴ ✪➷õö÷▼❐✦Û✺Ñ✖➞✜➻✛ÿ✁✄✂✙þ➍➚✐ä✜å✄☎✝✆✦➥✟✞ á✡✠✞ñ✺❐✝☛✄☞✍✌✖➻❖❑➈❫❲➾✏✎❲❫ Ï✒✑✁✓✄✔✖ç✄☞✍✌✄✕✝✖✙➥✘✗✖➘✍✙✳✃✡☞✍✌ ❮✞✜á✖❰✹➟✁☛ ❮✚✖á✖❰✮➚✡✛✆è✄✞✖á✦➚■Ñ✆è✦➥
§2.4镇定器的 Youla参数化公式 整数环中可逆元素均为单位模。稳定的传递函数按通常意义下的加法和乘法也构成一个环,即R化、.这 个环中的可逆元素,其分子、分母均是 Hurwitz稳定且同阶次的多项式。这些元素是RH、中的单位 相似地,可以定义R(mxm)稳定的传递函数矩阵的集合) Unimodular 令G=ND是G的一个右互质分解,G=D1N是G的一个左互质分解则存在X,Y,X1,Yt∈ RH。,满足 NIXI+ DY 由G=NDr1=D1N;得D1N一N1D,=0.于是 Y X YrXi+Xry 记Q=Y,Xt-XY1.则Q∈Rh。.将上式两端同时右乘矩阵 IQ\则有 (2.18) YI+N-Q 注意N1(X1-DQ)+D1(Y1+NQ)=I 仍记X-DQ为X,Y1+NQ为Yt,则对于传递函数G,存在RH。矩阵Dr,Nr,Xr,Yr,D1 N1,Xb,Yt,满足(2.18),.注意这个式子的(1,2)块(右上角)为 最后一个式子可写为(X1)Y1=Y71(-X).(2.17)式说明这是某一传递函数的右和左互质分解,记为 注意,K的右互质分解用的下标是l,而左互质分解用的下标是r.上述分析表明,对于G,存在K,满足 Y H 由(2.19)知 G=NDr=DI NI K=(-XnY=Y(Xr) (2.20) 均为互质分解。所以把这个分解叫做G和K的双互质分解( Doubly Coprime Factorization),并称(219) 式为双互质分解的 Double Bezout Identit.我们将用这个恒等式来确定G的所有镇定器的集合S(G) 2.4镇定器的 Youla参数化公式 现在回到(1.27)。令G2=D1N是G22的一个左互质分解,五=-XY12是K的一个右互质 分解,则有 det(I-G22k)=det Di det(D1Y1+ NiXndetY1 同理,对G22的右互质分解G2=ND1和K的左互质分解Yr(-X),有 let(I-KG22)=detY r det(Y D,+XN )det D
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第二章控制系统的内稳定性 由上述两个式子和(127)可得 det(DIYI+NIXI det(Y.Dr+XNr) fe(s)det DrdetY fop(s) 注意 det DI. detYI,detD,·detY,的不稳定零点与fp(s)不稳定零点相同。消去这些零点,可知fa(s) 稳定,当且仅当左边的行列式所有零点均稳定,即 DY1+NXt=W1且W1,W1∈R YDn+X,N,=W2,且W2,W∈RH 由引理22和双互质分解知,丑K的一个双互质分解,K=-XY1=Y1(-X),满足 Bezout方程 X (221) 由此可见,K镇定G2,当且仅当K的互质分解满足(2.1).所以,只需找到(221)式所有的解,即可 找到所有镇定G22的控制器。下述引理给出了 Bezout方程(221)的所有解 引理2.3设(Y,X)和(Y,X),(Y1,X和(Y1,X1),是 Bezout方程的任意两个解,则 Xr=Xr-QD, Yr=Y+QNI X DQ, Y=Y+Nr Q 其中Q为维数合适的R。传递函数矩阵。 证明:先证明(222)给出的(X,Y)和(X1,Y1满足(2.21).令Q为任意维数合适的R。传递函数矩 阵.将(2.21)式两端左乘/r-Q 1/,有乘/ +QN1X-QD1「D.-(X-D 上式说明(2.2)给出的(x,Y)和(Xn,Y)满足 Bezout方程(221). 再证明,若(X,Y)和(Xn,Y)是 Bezout方程的另一组解,则它们必有(222)式的形式。令 YD+XN=i, YD+X 两式相减,得(Y-Y)D+(X,-X)Nr 由N1X1+D1Y1=I得 (Y-Y)X1+(X-X)D11-(X-X)Y1=0 X 由于Y,Y,Xr,X,Y1和X1均是稳定的传递函数矩阵, (X-X,)Dn1=Q∈RH
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§2.4镇定器的 Youla参数化公式 从而 Xr Xr-QDI +QNI 同理可证,如果(X1,Y1)是Beot方程DYt+N1X=I的另一组解,则 X1-DrQ (226) Y1+NrQ 至此,下述结果就显而易见了 定理22任何镇定G2的控制器都具有下述形式: K =(Y,+QN1-(X.-QD1 (2.27)式给出了G2的所有镇定器。这个式子叫做镇定器的 Youla参数化公式,Q叫做Youl参数。对 于给定的G2,只要找到 bezout方程(2.21)的一个解,根据(2.27)就可确定S(G2). 227)式虽然给出了S(G2),但由于涉及的所有变量均为传递函数矩阵,直接用它求解S(G2)仍然 有困难,至少很繁琐。下面我们将给出 Double bezout方程的状态空间解 由(A,B2)可镇定,(C2,A)可检测,存在状态反馈阵F和输出内射阵H使得AF:=A+B2F和 A+HC2均稳定。定义CF=C2+D2F,BH:=B2+HD2,则有下述结果 引理2.4 SSR H D Y 证明:因为H和H均已给出,只需验证它们满足(2.19)和(2.20)就行了。(2.19)说明,Hr和H 互为逆矩阵。由于H和H均为传递函数矩阵,HHr是两个子系统的串联。第一步,验证串联系统 HHr的传函是单位阵。将附录A.1中子系统的串联公式应用于HHr,得 a+ B2F B H Dr-XI SsR-B2 F+HC3 A+HC2-B,H N Y 在总系统的状态空间中引入线性变换T 又有 a+ B2F B2 -h Yr X D-XI R A+HC20 0 显然,这个状态空间表达式的可控部分完全不可观测,而可观测部分完全不可控。从而系统动态部分C(s H1Hr=I.Beot方程成立
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第二章控制系统的内稳定性 第二步,验证G=N,Dr1=D 由 AFB3 和附录A.3中的逆系统串联公式(A.5,可得 N. D-1SSR_AF-B2F B2 CF-D22FD 同理可证 DTN a B2 上述引理给出了 Bezout方程的状态空间解法,但S(G2)的意义仍不明朗。下面我们将把S(G2)改 写为一种与(2,27)等价的、但物理意义十分明确,因而很容易记忆的形式。为讨论问题方便起见,将镇 定器K也改写为LFT的形式。由 Bezout恒等式YDn+XN=I,得D=Y71(I-X,N).代入 Youla参数化公式,并用Y-1X,=X1Y11化简,可得 K XI-D Q-X(I+Y N Q) (YrQ-XIYINQ-X1(I+YINQ YQ(I+YI N,Q) 式中 Ko1 K 于是,S(G22)可以表示为图2.2的形式 Q 图2.2:S(G2)的LFT形式 引理2.5K0的一个状态空间表达式为 +B2F+HC2+HD22FIH-B A+B2F+HC2+HD22FI-H B
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82.5化H、控制问题为模型匹配问题 证明:由 Bezout方程可得 Y:X XIYI D+ XIYIN 因为 AFB CF D22 I H FI 0 具有相同的系统矩阵和输入矩阵,由(A.5)可得 其中A=Ar+HCF=AH+BHF=A+B2F+HC2+HD2 由Ko的状态空间表达式和图22,可得S(G2)的方程如下 U=-Cr2c+y-D2277 它等价于 Aac+ B2 y 根据(2.33式和关系式n=Q可得所有镇定器的结构图23.该图表明,S(G2)由 Youla参数Q和一 个带状态观测器的状态反馈两部分组成 25化。控制问题为模型匹配问题 把图2.2接入H。控制问题的一般框架,可得图24.消去变量u和y,可将该图简化为图25,其中 T是G和K0的星形积T=G★K0,-见附录A.4,.关于T,我们有下述结果。 引理2.6T的状态空间表达式为 A+ B2F B F BI B2 12S5R C1+ D12F -D2F D21
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第二章控制系统的内稳定性 图23:所有镇定器的结构图 图24:将S( G)Youla参数化后。控制问题的一般框架 证明:在附录A4的LFT星形积状态空间表达式的计算中令F=K0,并将(2.32)中K0的数据代入 可得G大五0的状态空间表达式。由D11=0得D=I F HC A F hdo? HC2 A+ B2F+H HD B2+ hD HD? F C,-D2oF D22 D D 门 D 化简后的问题
❣ ❤ ✐✠❥☛❦♠❧☎♥✝♦☛♣✕q☎rts✝✉☎✈ ✇ ①② ④ ③ ③ ⑤ ③ ① ③ ⑥ ⑦⑨⑧ ⑥② ⑥ ⑩ ⑥ ❶❷⑧ ⑥② ⑥② ③ ⑥ ❸✂⑧ ⑧ ❹ ③ ❺ ❹ ❻ ❼ ❼❾❽ ❿✭➀ ➁ ➂ ➃➅➄t➆t➇➉➈➋➊❵➌➎➍t➏✽❿ ⑥ ✇ ③➑➐ ➒ ➓✠➔ ③ ❻ ⑥ ❽ ➣ ⑥ → ⑥ ↔ ❿✭➀ ➁ ↕ ➃✘➙✩➛▲➜ ➝✂➞➟➡➠➢➤➥➧➦t➨t➩t➫✱➭✂➯✠➲t➳❖➵✂➸❵➌➋➺➋➻t➼t➽ ➾✕➚➶➪❵➹✭➘✽➴➬➷✸➮ ➱➋✃➶❐❮❒❮❰✝Ï✠Ð☎Ñ☎Ò✝Ó✝Ô✝Õ✽Ö☎×☎Ø✕✃✽Ù☎Ú✴Û❵ÜÞÝ✕ß ➓☛➔ à á☎âäã ❤ ➮ ❣ ❤ å Û ➓✠➔ ✃☛æ☎ç☎è☎é✕ê ë☛ì →☎í ➓☛➔ ✃✽Ò☎Ó☎Ô☎Õ❖Ö☎×✠Ø✕î☎ï✤ð❸➎ñ ñ ß☎ò➧ìôó❸ ß✠õ à ⑤ö ßø÷ ⑤ ò ❼ ❺❶❷⑧ ⑤✫ù➋ú ó ÷ ⑦⑨⑧ ❼ ❺❸✂⑧ ⑧ ù✕û ò ④⑨ü ß✵÷ ⑤ ⑦⑨⑧ ④ ❼ ❺❶❷⑧ ⑤ ú ⑦⑨⑧ ④ ú ❺❶❷⑧ ù ö⑦ ßø÷ ⑦➧ñ ò ❼ ❺❸✂⑧ ñý⑦⑨⑧ ú ❺❸✂⑧ ⑧ ù➎ú ÷ ⑦⑨⑧ ❼ ❺❸✂⑧ ⑧ ù✭ûò➬õü ßþ÷ ⑦➧ñ ⑦⑨⑧ ❼ ❺❸✂⑧ ñý⑦⑨⑧ ù ö❶ ßø÷ ❶⑨ñ ò ❶❷⑧ ❼ ❶❷⑧ ❼ ❸✂⑧ ⑧ ④ ù➋ú ÷ ❸➎ñ ⑧ ❸✂⑧ ⑧ ù✕û ò ④⑨ü ß✵÷ ❶⑨ñý❸➎ñ ⑧ ④ ❶❷⑧ ❼ ❶❷⑧ ù ö❸ ßø÷ ❸➎ñ ñ ò ❸✂⑧ ñ ❼ ❸✂⑧ ⑧ ù➋ú ÷ ❸➎ñ ⑧ ❸✂⑧ ⑧ ù✭û ò➶õü ßþ÷ ❸➎ñ ñý❸➎ñ ⑧ ❸✂⑧ ñ ò ù ✇ ③ ⑥ ⑥ ➣ ➐ ↔ ÿ ➒ ⑥ ❿✭➀ ➁ ➃✘➩✂✁➋➫❵➌➉➵✂➸
