第五章四块问题的解 85.1引言 如3.6节所述,通过谱分解可将两块问题和四块问题化为等价的一块问题。而一块问题,作为 Hankel 范数模型逼近问题的一个特例,已在前一章得到彻底解决。这样,四块问题也已解决。但是,由定理315 可以看出,与四块问题等价的一块问题,其形式相当复杂。这样,不易与最初的咒。控制问题联系起来 本章的目的是直接给出四块问题的解。如果把化四块问题为一块问题看作“压缩”的方法,则本章使用的 是一种“扩张( dilation)”的方法。将问题进行压缩,需要四次谱分解,四次求谱因子的逆,并需计算串 联系统的状态空间表达式。而对问题进行扩张时,则只需对原系统进行适当的增广 52矩阵扩张问题的解 考虑(35)定义的矩阵扩张问题。其次优问题为寻找Q,使 12 R21 R 式中R1∈CPxm,R12∈CP1xm2,B21∈CPxm1,R22∈Cxm2均为常矩阵。u→∞时的四块问题就是 一个矩阵扩张问题。记 R1 R1 R 则次优问题等价于‖R-川<y.这可以看做是一块问题,只不过对Q的结构做了限制而已。仿照一块问 题的解法,定义增广矩阵Ra R11R1 R21 R 0000 R 0 00 其(1,2)块为(p1+p2)×(p1+p2)零矩阵,(2,1)块为(m1+m2)×(m1+m2)零矩阵 (5.3) Qazi Q 其中 223Q Q31Q32 QQQ0 333 O 若能找到Qa,使误差系统 Ea= Ra-Qa (5.5) 满足 EREa=y-I
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第五章四块问题的解 且Ea的两个非对角线子矩阵Qa21和Qa12非奇异,则作为4×4分块矩阵Ea的子矩阵,必有 R R1 R21R22-Q 于是,Qa11是矩阵扩张问题的一个解 我们将按上述思路解四块矩阵扩张问题。我们需要两个引理 引理5.1设A,B,C满足条件 1. A'A+C"C=1-1,AA+BB 3.B和C非奇异 a B (5.7) C X 引理52设Qn如(5.,),其中Qa11如(5.4), Q Q31 Q 非奇异方阵,则Q具有(5.2)的形式,当且仅当Q=F1(Qa,Φ),其中 证明:先证充分性。设重具有(5.9)的结构,则 (Qa,)=Q211+Qa12(I-Q22)1Q 32 22 Q 0 Q (I-Q440)- 再证必要性。设Q具有(5.2)的结构。由于Q1和Q21都是非奇异方阵,可定义 W=Q12(Q-Q1)Q=1=4(-Q2)-1 并解出乎=(1+WQ22)-1W.这说明,Q可以表示为(Qa,Φ).容易证明 (Qp-Q22)Q 式中QD是Q的(2,2)块非零子矩阵。从而 ( +wQa22 上述分析说明,任何矩阵Q都可以表示为F1(Qa,重).要使Q具有(5.2)的结构,参数重需具有与Q同样 的结构 定理5.1( ParroT定理)
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§5.2矩阵扩张问题的解 矩阵扩张问题(5.1)可解,当且仅当 [fR1R12]‖l Rl (5.10) R g.若不等式(5.,10)成立,则矩阵扩张问題的通解为 0 o Q 其中‖U‖0 于是存在 Cholesky因子E13∈四×p,满足 2I-(R1Ri1+R12R12)=E13B13台[R1R12E1l[R1R12E1]=?2I EEa=2I等价于EaEa=y2I.后者的(1,1)块为 R1R12E13E14fR11R12E13E14=?2I 比较最后两个式子,可知E14=-Q14为p1×p2零矩阵 同理,由(5.10)第二式,可取E31∈Cm×m为正定矩阵?2-(R1R1+R21f21)的 Cholesky因子, 为m2×m1零矩阵 现在来确定[E42E43]和[E24E34」两个矩阵。EaE=γ2I的(1,4)块为 [R1R12E130 0,[R12E13] (5.13) E43 E4 E4 后一个式子说明[E42E4]cker([R12E13]).因E13是p1×p1非奇异矩阵,ker([R12E13])的维数 且(5.13)的解为 R 若取E42为m2×m2非奇异方阵,则[E42E43]的列向量线性无关。进一步,若取[E42E43]为 ker(R12E13])的直交基,满足 Ea EalI Eia -rl.+ 0 E42 E4 o Eia =rr
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第五章四块问题的解 则有 E42[I+B12(2I-B11-R12R12)-R1 2 E12=y[+12(72T-R1B1-R12l12)-2]-12 (5.15) 与EaEa=y2I的(4,4)块 [0E42E43E4 EA E 相比较,知E4是m2Xp2零矩阵。 同理,由EEa=?2I的(1,4)块和(4,4)块 0 E34 可取 (5.16) E3 (-E31)-R 其中 E24=7[n+21(72T-R1R1-21E21)-1r21-12 (5.17) E 则 的列向量为ker[R21E31]的一组直交基,且E24是p2XP2非奇异方阵。 此,E周边上的12个子矩阵全部已知,未知的是位于中心位置的2×2分块矩阵 E2 E X E 32 E41E4 R,2E E E42E4 E31E3 000 0I00 X 容易验证 于是 EREa=?I a B a B C X
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§53次优四块问题的可解性条件 由A,B,C的定义,知道它们满足引理5.1的条件。于是可由⑤5.7)解出X的元素为 R21(2I-R1R1) E23=-R21(2I-R1R1)-1B1(2I-R1R1-B2l12)4/2 (72I-B1R1-R21R21)2/2(2I-R1l1)-1l1 (5.18) E3 E3=-(72I-R1R1-R21R21)2/2(72I-R1R1)-1R1(72I-R1R1-R12R12)/2 由 得 Q22=R22+R21(2I-R1R1)-2R1R12 显然Qa12和Qa21均为非奇异方阵,所以 是次优矩阵扩张问题(5.1)的一个特解。 现在我们以上述特解为基础,给出四块问题的通解。这包括: 找出所有形如(5.2)的Q 2.使‖R-‖< 由引理52,Q具有(5.2)的结构,当且仅当 0 Q22 Q24.U 由EEa=12I,R-Q=F1(Ea,和引理4.6,‖R 注51若定义 R1R12R130 R21R200 R31000 00 R24 R R42R43R4 其中 R1R1.+R12R2.+R13R13=72I R11R11+R21R 则对給定的Rn,寻找Q。使(5.6)成立,等价于给定Ra,寻找Ba,使误差杀统Eas=Ra-Bna满足 5.3次优四块问题的可解性亲件 原次优四块问题是,对给定的R。传递函数矩阵R= 找 R2R22 Q
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第五章四块问题的解 使‖R-Q<γ.为使这个问题更一般化,我们讨论下述四块问题:寻找Q∈RC(r),使 R1 R R21 R22-Q 由于[R1R1和n/都是/1 的子矩阵,(520)成立,则必有 R21R22-Q R 在前一节中我们看到,当R是常矩阵时,(5.21)也是(5.20)可解的充分条件。然而,当R是传递函数矩 阵时,由于要求Q∈RC(),且r<degR=n,由前一章的知识,我们立即可以看到 Ru R (522) 是(5.20)可解的另一个必要条件。如果不限制Q的结构,则(5.22)也是‖R-Q川l<γ可解的充分条件 但四块问题要求Q具有(5.19)式的结构,此时(5.22)只是(5.20)可解的必要条件。而充分必要条件是定 理315中的传递函数矩阵的稳定部分的σr+1()<1.下面我们将给出(5.20)可解的另一个必要条件 由定理312和3.13,存在谱因子R13∈RHB×P,R31∈RHm1×m,满足 R11R1+R21f21+R31.R R1R11x+R12R12x+R13B1 并可设 (5.25) CI D 其中A,B1,C1取自已知传递函数矩阵R的状态空间表达式 R CI D11 D, C2 D21 D22 我们先给出谱因子R31和R13的状态空间表达式 引理5.3R及其状态空间表达式见(5.20),丑31和R13分别满足(5.3)和(5.24 A. B C B1X+[D11D2 1 D11 I-[Di1 D=1] D A+ BR B1R BI H C1 D C1 R C? C? C (5.27)
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853次优四块问题的可解性条件 2.R3望(A,B3,C1,D3),其中 YC1+[B1B2] 2) 1/2 1/2 D R=2I-[D11 D, D Ric(h) D A+[B1B2] B:B。I R[D11 Di B3 (528) 证明:将(523)改写为 R31x R R1 R R 在定理312中,令G=R1即得1.将(524)改写为 R R13=y2I-[R11R12] 在定理313中,令G=[R11R12]即得2. 记E2=R22-Q,并定义 0I0 31 R RE (5.29) nI 0 R 1R11 R R 则有下面的结果。 引理54令Ea=T1T2T3,则 RRR R12R1 其中 E23=-(R21R1.+E2R12)R13 (531) E3 R3(R1R12+R21E2) E3=R31(R1,R12+R21.E2)R12Ri3.-R31f1Ri3
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第五章四块问题的解 证明:由T1和T3的定义可得 T1 00 yR R13R1-R13R12R13 简单的矩阵运算可得(5.31)和(5.32) E3=R3(R1R12R12.+B1R1B1+B21B21R1-R1.+R2E22B12)R131.(5,34) 由(5.23)可得 R1R1+R2.R21-y2I 代入(5.34)即得(5.33 我们用下面的引理说明‖Els和‖R-Q‖之间的关系 引理55若存在Q∈RC()满足 R11R1 R21R22-Q 则必有‖Ea‖l 证明:第一步,证明存在Q∈RC()使‖f-q0 R21E2 再考虑‖Ea‖k≤γ.这等价于vs=ja I- ELE≥ →12T1,T1-T2T3T32T2≥0,Vs=j 由T;的定义,容易验证 R o 2T R IR 由(5.31)得 R21R11x+E22R12+E23R13x=0
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§53次优四块问题的可解性条件 于是 Ru R12 R R11* R21* T R21 E22 E R E2 R E YR1 R1.R21y2 其中 R21x+E22E22x+E23E23 于是 n2I-EEa≥0,台72I-(R21R21.+E2E22+E23E23)≥0 R21E22」 第二步,证明‖Ea‖ls=γ.这只要注意到 R REE R13 R1 R E 和R1.R1+R21R21+R31,R31=y2I就行了 将Ea分解为 E 10R1 R11120 R11f120 2T2|R21R2033+mx2T2R21R20]T3 +T1 0 R 显然,上述分解中的第一项是与待定参数Q无关的稳定部分。记这一项为Ra下面的引理给出了Ra的 状态空间表达式。 引理5.6设R,R13和R31的状态空问表达式如(5.6)和(5.25,则 aB, B2 B3 SSR C1 DD,2 D Ra= R21 R22 R (5.37) C2D21D220 C3D3100 证明:由定义, R1R120
× Ø Ù Ú④Û✧Ü✰Ý✬Þ✑ß✬à➄á❫â✧ã✵ä✧å✧æ ç ç è✧é ê❂ë ê❈ìîí ï ð ê❈ìîí ï ê❂ë ð⑧ñóòô ôõ✲öí í ö í ë ö í ï ö ë í✕÷ë ë ÷ ë ï øÔù✝úÖú ûü ü ý òô ôõPöí í ð ö ë í ð øÔù ö í ë ð ÷ ë ë ð ú ö í ï ð ÷ ë ï ð ú ûü ü ý ñóòô ôõ ø ë ùþúÿøö í í ú ê❂ë ë ø ö ë í ø ö í í ð ø ö ë í ð ø ë ù ûü ü ý ✁ ✂☎✄ ê❂ë ë ñ ö ë í ö ë í ð✝✆ ÷ ë ë ÷ ë ë ð✝✆ ÷ ë ï ÷ ë ï ð✟✞ è✧é ø ë ù✡✠ ÷☞☛ ÷☞☛ ð✍✌ ú ✏✎✒✑ ø ë ù✍✠✔✓ö ë í ö ë í ð✝✆ ÷ ë ë ÷ ë ë ð✝✆ ÷ ë ï÷ ë ï ð ✕✖✌ ú ✎ñ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✘ ö í í ö í ë ö ë í✕÷ë ë✚✙ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✛✢✜ ø ✞ ✣✥✤✥✦★✧✪✩☎✫✭✬ ÷✚☛ ✬ ✛ ñ ø✟✮✰✯★✱✳✲✁✴✔✵✥✶ òô ôõ ö í í ö í ë ö í ï ö ë í✕÷ë ë ÷ ë ï ö ï í✕÷ï ë ÷ï ï ûü ü ý òô ôõ ù ú ú ûü ü ý ñ òô ôõ ö í í ö ë í ö ï í ûü ü ý ✷ ö í í ð ö í í ✆ ö ë í ð ö ë í ✆ ö ï í ð ö ï í ñ ø ë ù☞✸✥✹✻✺✔✼ ✽ ÷✒☛✡✾✥✿✁❀ ÷✒☛ ñ ê ìîí í ð òô ôõ ö í í ö í ë øÔù ö ë í✕÷ë ë ú øÔù✝ú ö í í ð ûü ü ý ê ìîí ï ð ñ❂❁❄❃✖❅❇❆❈ ❈ ❉ ❈ ❈❊ ê ìîí í ð òô ôõ ö í í ö í ë ú ö ë í ö ë ë ú ú ú ú ûü ü ý ê ìîí ï ð✡❋❈ ❈● ❈ ❈ ❍ ✆✔❁❃ ❅■☎❆❈ ❈ ❉ ❈ ❈❊ ê ìîí í ð òô ôõ ö í í ö í ë ú ö ë í ö ë ë ú úÖú ú ûü ü ý ê ìîí ï ð✍❋❈ ❈● ❈ ❈ ❍ ✆ ê✛ìîí í ð òô ôõ ú ú øÔù ú❑❏ ú øÔù ú ö í í ð ûü ü ý ê❈ìîí ï ð ✓ ▲ ✮ ▼ ◆ ✕ ❖✔P✧❘◗✥❙✾✥✿ ✄✳❚✔✣✁❯✥❱é★❲✔❳★❨✔❩✁❬ ❏❪❭✥❫❚✔❴❨✔❵✾✼❘❛✁✯❯✥❱❀ ö ☛ ✮✰❜✥❝❚✥❞✳❡✁❢★❣ ✺ ö ☛ ❚ ❤✁✐✁❥✁❦❇❧✥♠✥♥✼ ♦✳♣rqts ✉✇✈ ö❘①✢öí ï✒② ö ï í✡③✳④★⑤✁⑥✁⑦✪⑧✥⑨✻⑩✳❶❸❷❹❺ ❻ ❼❽ ② ❷❹❺ ❻❹❽ ①✖❾ ö ☛ ñ✷òô ôõPöí í ö í ë ö í ï ö ë í ö ë ë ö ë ï ö ï í ö ï ë ö ï ï ûü ü ý ✳❿ ❿ ➀ ñ❀ñ òô ô ô ôõ ➁ ➂ í ➂ë ➂ ï ➃ í ➄✛í ír➄✛í ë ➄✛í ï ➃ë ➄ ë ír➄ë ë ú ➃ ï ➄ï í ú ú ûü ü ü ü ý ✓ ▲ ✮ ▼ ➅ ✕ ➆★➇✭➈✁➉ ❨✥➊✧ ö ☛ ñ✥❁❄❃✖❅❇❆❈ ❈ ❉ ❈ ❈❊ ê❈ìîí í ð òô ôõPöí í ö í ë ú ö ë í ö ë ë ú ú ú ú ûü ü ý ê❈ìîí ï ð✡❋❈ ❈● ❈ ❈ ❍ ✓ ▲ ✮ ▼ ➋ ✕
则必有第一步,证 存在使则必有≤先 该上 醫 盛曰 0 且且 蠔奪門嘤谳蔑 且 且 且且且 骸于偯谳 华权 定 取谳甍该醬 且且且且且且且 且且 该 该淑该 餒, 用0 且且 设及取状态空回表达式如郑易“及取状态空间表达式如s蒹神s斜证明神易要证明 C;*就 跳证明1国Bk是将你表示为 上螫谳 且且且 且 AB 该 且 先S见附录 且 SiR I01该 感 当→ 且 A上B气BD感 酸4酸 由串联公式先 SSR (AB、D该 楼上读處 取块4上B蠔是楼则4矩阵 数→上厘”梁(图餐仅 式 謬于(4设都樱
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