第六章H∞控制问题的解 4,5两章给出了广义距离问题的解。本章的目的是应用这些结果求出∞控制问题的通解。我们将分两 步解决这个问题。第一步,用4,5两章的结果以线性分式映射的形式给出所有使 R1 R21R22-Q 的 Youla参数Q.由45两章的分析可知,Q可以表示为某一中心参数Q和一个范数有界的RH。参 数的线性分式映射(qo,U).第二步,以线性分式映射的形式给出。控制问题的通解。由第二章的 Youla参数化公式,S(G22)=F1(K0,Q).将四块问题的解Q=所(Q,U)代入此式,应用串联LFT公 式,消去KaQ可得。控制问题的通解为F1(Ks,U §6.1。控制问题的可解性亲件 由第3章,如果 (A)可镇定,且矩阵4-B2对任何山都满列秩 D 2.(C2,A)可检测,且矩阵 A- jwI B 对任何u都满行秩 则在互质分解时可取状态反馈阵F和输出注入阵H,使得T和TR为方的内矩阵。进而把模型匹配问 题(31)化为广义距离问题(375).上述条件只有当D12的行数不少于其列数、D21的列数不少于其行数 式才有可能得到满足。此时可对G作预处理,使得 Di2 并能找到D1和D⊥,使[D⊥D12]和 21/为正交矩阵。为计算方便起见,我们暂时假设D1=0.此 YlB,D Ril XB1Bi R D⊥ Fy B2 这里 AH=A+ HC2, AF=A+B2F, ClF=C1+ D12F, Blh= B1+H Del 63) 其中 (BX+D12C1),H=-(YC2+B1D21) 分别是(AF,C1,F)和(AH,B1,H)的可观测性和可控性 Gramian,满足 XAF+AFX+ClFC1, F HY+YAH+B1,HBi、H 由 R1 R R R。∈R%,Q。∈R,可以看到这是以R。为已知R%。传函矩阵、以Q.为待求量的四块问题。由 第5章,可求出谱因子R31,和R13,满足 R11R1+R21.R21+B31R31=y2I R11R11x+R12R1 Rar 111
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第六章∞控制问题的解 定义 R11R21R31 rax R12x R22* R (6.6) R13x R2 33 若(R2n)<,则存在Q∈R满足R-qlv由(0.2)可以看到,[R1.B21R1 Ry 状态空间均是2n维的。这样,需解两个2n维的ARE才能得到R34和R13,从而使计算趋于复杂。为 了使计算尽可能简单,我们将不直接用[R11R21,]和 R 的状态空间表达式进行计算,而是利用 Ry Rj的定义以及TL和TR的全通性质求解谱因子 先考虑谱因子丑31,(6.6)等价于 R31R31=2I-[B1R21] R 由(3.70)得 R。=TPT11T M11T1 T 于是 R ]=T⊥T1.T R31xR n2I-(T⊥T11 再考虑R13,将(6.6)式等价地写做 R R13R 1 R R (T11.T1).(T11.T1) 下面我们给出TT11.和T11.T⊥的状态空间表达式 引理6.1T⊥T11和T11T⊥的状态空间表达式为 TIT Ci BiY T11T⊥5s2 XCRD (6.9) 证明:由 11 Bi Bi 应用串联公式,得 BI B1,H Bi A F D⊥B1YtD1B1D⊥B
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861H。控制问题的可解性条件 引入线性变换 0I0 这里Y是(AH,B1H)的可控性 gramian,满足(6.5)第二式,则 A(1,2)A(1,3)B(1) T SsR F"B3 -AHF"Di D1BYC(2)c(3)0 式中 A(1, 2)= B1, H B1+YAF-YF B2+ AHY B1.H BlH-B1H D 1A+YAH+ AHY+Y(AF-AH-YFB2 (B1D21+YC2+H)H=0 A(1, 3)= B1.H BiH+YAH+ AHY=0 B(1) YF Dia+YCl=YCi C(2)=D⊥B1(I-YY)=0 )=D⊥Bi,H-D 消去不可观测模态 B3 -AH 得(6 类似地,由 C1 应用串联公式,得 AF 0 C1 FB2 -AH F Di2 F" D12D ACiD Bi BiH 引入线性变换 X 这里X是(AF,C1p)的可观测性 gramian,满足(6.5)第一式,则 1.3)B() ngFB2一442,3 XICKD Bi B BiX
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第六章化∞控制问题的解 式中 (CKF C1 F+AFX+ XAF A(2, 3)= F"Di2CL, F+F B3X=F"(F+ Di2C1+ B2X)=0 B(1) ClFDi +XrC 消去不可控模态 F"B, 得(6.9) 我们先设X和Y可逆。此时x=X-1,Y=Y-1.引理6.1给出的状态空间表达式可简化为 T SR AFI-CiD B1 由定理312和3.13可得 引理621R31,的1正交算起问见假0为 A D⊥B1 H tXY=F i(|, 里 2B1DI DIBi 2⊥R13的]正交算起间见假0为 (6.13) Ds CIX A D1DICI BiBi 注x,由mAz和Ai稳定,由定理3n知,|闺霍i,|禺 ≥0 (|里 量谱,R的因个子现可2是 BiDI -YC2 ArBR.1 B (6.14) DiC10 F B。X 由引理62,我们可3给出Ra的因个子现 引理6Ra的]正实现是 A h -Y-BLH B BIDS CD⊥XB R12.R22R B1D⊥B1 R3 D21B1 DI 0
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§61H。控制问题的可解性条件 115 由引理62和6.3,我们可以求出Rax的可观测性和可控性 Gramian.将R2的数据代入这两个 Gramian 的ARE(5.27)和(5.28),得 BR ARYy-Y AR+rY, BR 1BR1Y+ [cr1 Cr,2 (6.17) 下面的引理说明用X和,再加上x和Y,就可以给出ARE(6.16)和(617)的解X1和Y1 引理64若(6.10)和(6.17)存在半正定的镇定解X,和Y,则 0 X Y=TR Ⅰ0 证明:第一步,证明X,和Y分别满足(6.16)和(6.17).先证明x满足(6.16).将X1代入(6.16).左端 的(1,1)块为 Y AH +AHY +B1DI D1B1+YC2C2Y H+B1D⊥D⊥B1+YC2C2Y Y(A-B1D21 C2)+(A-B1D21 C2Y-YC2C2Y+B1DI DIBi 这正是ARE(3.63)的左端。于是(1,1)块为零。(1,2)块为 Bi+ BiDiDiBi-YC2 B1B1-HD21Bi+ B1DiDi Bi-rC2D21 B B1D21D21B1-HD21Bi-YC2D21Bi -(B1D21+YC1)D21B1-HD21B1 (2,2)块为 XAF+AFX+X(r-2GiDiDIC1)X+B1D1D1B1+B1 D21 D21B1 XAF+AFX+X(CiDIDIC1)X+BBi=0 所以,X满足(6.16) 再证Y满足(617).将Y1代入(6.17),左端为 TRYOTR-TRY,OTRA TrBR1BD BY0T 将上式左乘(T)-1,右乘T,得 [(TR)-IARTR Y,0-Y,0[(TR)-ARTR+y-Y, 0TRBR, 1BR1TRY, 0+(TR-[CR1 CR21
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算便起见假0为[|Yx 里 +n知量 n看+已m传面n待+看 谱 传个 别趣 谱 观 观。传 +影界知+1子,评”谐 的 3实 n品已邀n传 产得已2子观:2观1 知b程已传调已。鸡1知 如, +已m传函 +nx31 传 传不 传 传、,观 这正3“多 观子观 传 观子观 是镇定解。先考 是镇定解,当且仅当 是潘渐?稳 由于n看稳定 再考虑 +注为传知+传传懂山2是 程是际 世些吧得谐 后观已特制 稳定,当且仅当 问题的可解性条件 要是逻处是两个正矩 与或H有关。显然 控制问题是否有解应仅取决于G和g下面我们将里明,可以通过相似变换 把1和Ⅱ消去,从而得出仅由G的参数和是表示的可解性条件 传传 知 个量 满足条件12.则对任何是量存在控制器K镇定线性分式映射亲统且满足約束|,C。|假≤是当 且仅当
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118 第六章∞控制问题的解 这个式子说明丑y与J相似。将上式两端右乘 0 Y 4Y 其中T=A+y-B1D1D1B1Y.记Y,=Y Y,Ys,2=1,则(6.23)和(6.24)成立 3.证明,p(XY1)0是x1Y1的特征值,当且仅当det1=0.X和Y与γ无关,而x,Y的方程与y有 关。当γ→∞时,ARE趋近于 Lyapunov方程。由于AF和AH均稳定,x,Y都趋近于半正定常 矩阵。此时Ⅱ>0.随着y的减小,Ⅱ将由正定变为不定。由特征值随γ变化的连续性,必有 使detI。=0.所以,次优问题可解,当且仅当p(x1Y1)0,÷→(6.25) 现在可以证明定理中给出的条件是次优问题可解的充要条件了。Ⅱ1>0,必有X,1=X-1-y2X>0, Yx,=Y-1-y-2Y>0.于是Xx=Xx,2X1=Ric(H),Y=Y,Ys=Ric(J).Ⅱ,可表示为 I1>0,<→p(XY)<?2.这就是我们所需的结果 §6.2次优H。控制器的参数化 找到Ha控制问题的可解性条件后,下一个任务就是求次优x。控制器的通解了。我们把这个过程 分为两步:第一步,求出所有次优 Youla参数Q;第二步,由 Youla参数化公式求出所有次优ha控制器 621次优 Youla参数的参数化 将R。进一步扩张为 R320 R
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§6.2次优H。控制器的参数化 则要寻找 0Q22.Q32.Q4 A Q23.Q33Q 使Ea,=Ra,-Qa,是全通的。由(4.62),(4.61)和(464)得 y[X,(Caa,,)+ Baa, ,Da,ey] ArZy+ Baa, y Ba 由(6.15)知 LH -YB1,H BI B1D⊥0 D⊥XB B CY D 0y-2D⊥C1X I000 0000 我们先确定Dm对Dn,的要求是Dm,-Dn,]Dnm-Dn=2,且两个非对角线子矩阵非 奇异。显然可取 I000 0 将Da,代入公式计算Ba,,得 YB XH-YYCR XXCID XXC1D⊥YXB2 计算Ca,,得 Daa,ey Baa,, )(Zx Ba XX Y(I-y-YY)D1Bi -Y-D1Bi 1D21 B1 由A=(-21An+Ban,Ba,)(21)-1和(6.26),可得 Q22Q24 Q42 Q \CQ,4
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第六章化∞控制问题的解 这里 FY BXX 0 &Y ?D21B1 -CR2X. 0 F BXX TBR ()-1/7n XH-YYC2 yF . XH YXB [-Y1,TBBn,2T(T)-C:2] y-YYC2 CiD H B2 A Q,22 其中 Y) YYCaC2 AQ,12=-(A-B2Di2C1-B1D2C2)2+C1D1D1C1(-2X-x-1)+(2-Y-)B1DD1B1 2-2XX)X-I-r-B2BSXX YYCa CiD, 1 XX Ca 21B1 (6.29) A A A Q为Q0的状态向量,则由 B 可得Q0的 descriptor状态空间表达式 由定理53,可得次优Youa参数的通解 引理65a0的状志空问表达式如10则‖BR2 <,当且仅当Q=万(Q0,U),其 R21R22+ 中U∈RHa,|U≤1/
➘ ➴ ➷ ➬✄➮✄➱❐✃✁❒✭❮✄❰✄Ï✄Ð✄Ñ✄Ò Ó✄Ô Õ✏Ö➚×qØ Ù Ö➚×qØ Ú➵ÛÝÜ ÕßÞ❑àâá➸ãÙ ä➌åä æ✇çÖ➚Ù à ç➏èÙ é á➸ãé Û Õ✕à✕ê é ➷ ➷ ç ê é ë Û Ü Õ æ Ö✇ìqØ Ù ä➸í ç á➸ãìqØ Ù Û Õ✕à✕ê é ➷ ➷ ç ê é ë Û Ü ÕßÞ ç ê é á➸ãÙ ä➌åä æ✇çÖ➚Ù è Ù é á➸ãé Û î á☛×qØ Ùïá☛×qØ Ú ð Ü æ❑ñç➏òí➏ó ê é Õ ç ê é ë ➷ ➷ ä ê é Û Õ ë❆ë ➷ ë Û Õ ä➵ô æ à✼à✼Ö➸ã å Ù ç Þ➸ã æ ä➵ô ç äá☛Ù Û Ü ñç➏òí➂ó ê é Õ ç ê é ë ➷ ➷ ä ê é Û➻õ æ àí Ø ö ÷➂ìøá➚ìqØ Ù çqñ÷ì✇ó ã ê é ÖìqØ ã Ù ù Ü ñç➏òí➂ó ê é Õ ç ê é à✼à✼Ö➸ã å Ù Ö➸ãé è é Ù ô æ✇çá☛Ù Û ú × Ü ñç➏òí➂ó ê é Õ ú ×qØ é é ú ×qØ é Ù ú ×qØ Ù é ú ×qØ Ù Ù Û û✄ü ú ×qØ é é Ü ç à✏ê é ñ ë æ➻ç ê Ù à àå ó ú☛ý æ➵ç ê é à➸à✕Ö➸ã å Ù Ö➚Ùqþ ú ×qØ é Ù Ü æ❑ñú æ á☛Ù è ãé Ù Ö☛é æ á❑é è Ùã é Ö➚Ù ó ãøÿ❧Ö➸ãé è✁❤è ã Ö☛é ñç ê Ù äå æ ä ê é ó ÿ ñç ê Ù àå æ à✕ê é ó á❑é ✂è ã ✂è✁ á➸ãé þ ú ×qØ Ù é Ü ú þ ú ×qØ Ù Ù Ü çú☎✄ ñ ë æ➻ç ê Ù ä➵ä➵ó å ä ê é æ➻ç ê é á☛Ù á➸ãÙ ä➌åä ✆ ✝ á ✞ ✟ ✠ Ü Õ ç ê é à➸à✼Ö➸ã å Ù Ö➸ãé è é Ù ô æ✇çá☛Ù Û Ö ✞ ✟ ✠ Ü ÕßÞ ç ê é á➸ãÙ ääå æ✇çÖ➚Ù è Ù é á➸ãé Û ú ✞ ✟ ✠ Ü Õ ú ×qØ é é ú ×qØ é Ù ú ×qØ Ù é ú ×qØ Ù Ù Û è✞ ✟ ✠ Ü Õ ➷ ç ë ç ë ➷ Û ñ ✡ ☛ ➴ ☞ ó ✌ × ✍✏✎ö ✑✓✒✕✔✗✖✙✘✛✚✙✜✣✢ ✤ ✌ × Ü ñç➏òí➂ó ê é îú ✞ ✟ ✠ ✌ ×✁ÿ❧á✞ ✟ ✠ ✥ ×qð ✦ × Ü Ö ✞ ✟ ✠ ✌ ×✁ÿ è✞ ✟ ✠ ✥ × ✧✩★ ✎ ö ✑✫✪✬ ✭ ✮ ✯ ✰✱✲ ✳✯✴✒✕✔✕✵✕✶✸✷✺✹✺✻ ç➏òí ✤ ✌ × Ü ú ✞ ✟ ✠ ✌ ×✁ÿ❧á✞ ✟ ✠ ✥ × ✦ × Ü Ö ✞ ✟ ✠ ✌ ×➵ÿ è✞ ✟ ✠ ✥ × ñ ✡ ☛ ✼ ➷ ó ✢✙✽✩✾❀✿ ☛ ✼ ❁ ✧✩★✺❂✺❃❅❄✳❆❇❈✁❉✺❊✛✑✓❋✺●✛❍ ■✓❏▲❑◆▼ ❖P✎ö ◗✩❘✗❙✛❚✛❯✸❱✕❲✗❳✩❨❬❩❭ ❪ ❫❴❵ ❪✴❛❝❜❜ ❜ ❜ ❜ Õ ❞ é é ❞ é Ù ❞ Ù é ❞ Ù Ù❤ÿ ✎ Û ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❒ ❡ ç❣❢✐❤✙❥✺❦❧❤ ✎ Ü ♠✴♥ ñ ✎ ö þ ♦ ó ❢q♣ r ♦❧s✉t✕✃❒ ❢✇✈ ♦ ✈ ❒P① ➘ ②ç ❪