附录一串联及逆系统和LFT的状态空间表达式 8A1串联系统的状态空间表达式 考虑图A.1中两子系统的串联。设G1,G2的状态空间表达式为 A1:1+B1 A2a2+ B2y C22+D2y1 则G2G1的状态空间表达式为 A.1:两个子系统的串联 A10 B1 B2C1 A B2D1 DD 或 A2 B2C1 0A1 B1 y=[C2 D2C1 D,D 8A.2反馈系统的状态空间表达式 在图116所示的系统中,设P(s)和C(8)的状态空间表达式分别为(A,B,C,D),(A,B,C,D,即 act bce d 由最后两式可解出 -D。I I D 容易求出 -D。I (I+ DD)-d(I+DDc) (+DD)-(I+DD)-D
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§A.3逆系统的状态空间表达式 于是,以[,可为输入、以[e,u为输出的闭环系统的状态空间表达式为 Bc D A-B(I+DD)-iDC B(I+DD)-IC B(I+ DD)-IC A-B(I+ DD)-lDCe (I+DD)-1 D B(I+DD B(I+DD. B(I+DD -id (A.3) (1+DD)C -(1+ DD) DCc (I+DD)-IDC (I+D D)-ICc (I + DDe)--(I+ DD (I+DD)-D. (I+DD) 8A.3逆系统的状态空间表达式 现在给出系统G=C(I-AB+D在D可逆情况下逆系统G-的状态空间表达式。由 (A -- C)a+ BD D-ICa+d-y 于是 G-1 SSR_(A-BD-IC)BD-1 由串联和逆系统的状态空间表达式可以得到特殊情况下G2G11的状态空间表达式。设 B G1 CdI C2D2 且D1可逆。则 G2GISSP_A-BD C2-D2D-IC1D2Di 证明:由逆系统公式(A4)可得 Gr1SSRA-BDIIC1BD1I C1 Di
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附录一串联及逆系统和LFT的状态空间表达式 应用串联公式,可得 A-BD SSR D2D-C C -BD-C1 A-BD C1 BD- D2Di C1 C2-D2D C1 消去不可控部分,得 A-BD- C1 BD G。C 1S5 C2-BD5: 类似的,设 Di Ds R A-B,D-C,D-D I B1 (A.7) 若GL满足GnG=1,则称G是G的左逆系统。GL1的状态空间表达式为 B(DD)-DC B(D" D) 若GR满足GGRr=I,则称GR是G的右逆系统。GRr的状态空间表达式为 GRI SSR -A-BD(DD")-C1-BD(DD")-1 8A.4 Redheffer星形积的状态空间表达式 考虑图A2所示的系统。该系统由两级LFT组成:T=F(F,Q),Tm:=F(G,Ty)消去中间变 量y和u,则Tm=F(T,Q).我们称T为G和F的 Redheffer星形积( star product),-见图A.3.本小 节的目的是确定T的状态空间表达式 Q 图A.2:两级LFT系统 令G和F的状态空间表达式分别为 Aa+ B1U+ B2 Aa Biy+ B27 a+ d
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8A.4 Redheffer星形积的状态空间表达式 229 G 图A.3:G和F的 Redheffer星形积 则T的状态方程为 B10 B20 0 0 B? BL 输出方程为 C10 D, 0 C2|企 D 而中间变量u和v满足 C20 D21 于是 D 将(A.12)代入(A.10)和(A11)消去中间变量u和y可得 B 这里 A 0 B20 I D11 0B1 ? I C20 B20 D 11 0D1 B2 C10 C1 0 D, 容易求得 D D22D I+ D22 DDu DoD
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附录一串联及逆系统和LFT的状态空间表达式 其中D=(-D1D2)-1.将(A.14)代入(A.13),得 B,D B1C2 A BID22D 注意到(A.13)中A,B,C,D在形式上的相似性,仿照求A的方法,代入相应的数据可得 BD DiD D21 D22D D D1D 1D21D D21 D22D A.5可控性、可观测性分析 3A5,1可控性、可观测性判据 定理A1( Popo- Belevitch- Hautus判据).记n=dim(A) 1.(A,B)可控,当且仅当λ∈C, ank[AI-A B]=n g.(C,A)可观测,当且仅当Vλ∈C, AI-A 把C改为C+,则可判定可镇定性以及可检测性 8A5,2LFT的可控、可观测性分析 考虑图117所示的LFT系统。设 Gu G12SSRC Du D12 K CcDc 设上述系统均是最小的。F(G,K)的自然实现为 A+B2DcD2C2 B2(I+ DcD2 D22)Cc B1+ B2DcD2D21 (G,K)当 Ac+ Bc CC (A.15) C1+ D12Dc D2C2 D12(I+ Dc, D22)Cc D+ D12 Dc D2D21 其中D2=(I-D2Dc)-1.关于(A.15)中F(G五)的可控、可观测性,我们有下述引理。 引理A.11.λ是(GK)的不可观测模态,仅当矩阵 不满列秩
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A.5可控性、可观测性分析 231 图A4:Tm=Fi(G,K)的框图 2.λ是(G,K)的不可控模态,仅当矩阵 A-AI Bl C D 不满行秩 证明:只证1,因为2.的证明是完全类似的。设A是F(G,K)的不可观测模态,则存在非零向量[a] 满足 A+ B2Dc D2C2-A B2(I+ Dc D2 D22)Ce BcD2 C2 Ac+BcD2D2CC-入 0 (A.16) C1+ D12DcD2C2 D12(I Dc D2D22Cc 定义 y=DcD2 C2u+(I+ DcD2 D22)Ccu 则(A.16)的第一行和第三行可改写为 若能证明[u”]≠0必有[uy]≠0·就行了。用反证法。设[uy“]"=0∵.则有 (I+ Dc)CCu=0 Ccu=0 这是因为I+DD2D2=(I-DcD2)-1.(A.16)的第二行是 (Ac+ Bc D2D22Cc-AI)U=(Ac-AI)U=0 将最后两个式子写在一起,得 U=0 这意味着(Cc,Ac)不可观测。与(Ac,Bc,Cc)的最小性矛盾。于是[uy]≠0° 引理A.1说明,不可观测的模态只能是G12的传输零点,而不可控的模态只能是G21的传输零点 注意到 F(G, K)=Tu:= G1+G12(I-KG22)KG2 从其结构图A4可理解零、极相消的性质。图中R=(I-KG2)-1K
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参考文献 [1]R. E. Kalman. Contribution to the theory of optimal control. Bol. Soc. Mat. MeT.,5: 102-119, 1961 Vladimir Kucera. A contribution to matrix quadratic equations. IEEE Trans. Automat. Control, 17(6): 344-347, K. Martensson. On the matrix Riccati equation. Informa. Sci., 3: 17-49, Jan. 1971 4]J E. Potter. Matrix quadratic solutions. SIAM J. Appl. Math., 14: 496-501, May 1966 5] R Redheffer. On a certain linear fractional transformation. Journal of Mathematical
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