athematical Physics(2016. 10) Chapter 4 Analytic extension, Gamma and Beta functions YLMaaPhys. FDi Chapter4解析延拓r函数和B函数 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 1.零点的定义: 设f(x)在a点及其邻域内解析,如果f(a)=0,则称z=a为f(z)的零点。 设f()=∑c1(-a),(-a<),若f(a)=0,则必有, CO =CI cn1=0,cn≠0.此时,称z=a为f()的m阶零点。 相应地,f(a)=f(a)=…=fm)(a)=0,fm(a)≠0. 零点的阶数都是确定的正整数一在函数的解析区域内,不可能有分数次的零点。 2.零点的孤立性: 解析函数的零点孤立性定理:设z=a为f()的零点,若f()不恒等于0 且在包含=a在内的区域内解析,则必能找到圆=-a=p(p>0),使在圆 内除z=a外,f()无其它零点[在多值非解析函数f(x)=(=-a)"p()中, 二=a虽然为零点,但是又是枝点]。 证明:设二=a为∫(z)的m阶零点,则f(z)=(z-a)叭(z),其中叭()解析, 且d(a)≠0.由以()在z=a连续,即,任给6>0,存在p>0,使得当-d<p 时,例(-)-叫<E.不妨取E=(a/2,由于 a(-k≤()-飘a,则得,间少>()-E=1a)>0 由此即证得f(x)在-a<p内除二=a外无其它零点 推论1:设f()在D:上-d<R内解析,若在D内存在f()的无穷多个零 点{},且lmzn=a,但zn≠a,则f()在D内恒为0 证明:f(=)在D内连续,limf(x-)=f(a).若取→a的一个特殊序列, 即(n},当然仍有,imf(=n)=f(a)而f(zn)=0,故f(a)=0,即z=a为f()Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 4 解析延拓  函数和  函数 一、 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 1. 零点的定义： 设 f (z) 在 a 点及其邻域内解析，如果 f (a) = 0 ，则称 z = a 为 f (z) 的零点。 设 ( ) 0 ( ) , n n n f z c z a  = = −  ( ), z a r −  若 f (a) = 0 ，则必有， c0 = c1 == cm−1 = 0， 0. m c  此时，称 z = a 为 f (z) 的 m 阶零点。 相应地， ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) =  = = = − f a f a f a  m ， ( ) ( ) 0. m f a  零点的阶数都是确定的正整数——在函数的解析区域内，不可能有分数次的零点。 2. 零点的孤立性： 解析函数的零点孤立性定理：设 z = a 为 f (z) 的零点，若 f (z) 不恒等于 0 ， 且在包含 z = a 在内的区域内解析，则必能找到圆 z a − =   ( 0) ，使在圆 内除 z = a 外， f (z) 无其它零点 [在多值非解析函数 ( ) ( ) ( ) 1/ f z z a z m = −  中， z = a 虽然为零点，但是又是枝点]。 证明：设 z = a 为 f (z) 的 m 阶零点，则 f (z) (z a) (z) m = −  ，其中 (z) 解析， 且 ( ) 0. a  由 (z) 在 z = a 连续，即，任给   0 ，存在   0 ，使得当 z − a   时，    ( ) ( ) . z a −  不妨取  = (a) 2 ，由于 (a) − (z)  (z) −(a) ，则得， 1 ( ) ( ) ( ) 0. 2     z a a  − =  由此即证得 f (z) 在 z − a   内除 z = a 外无其它零点。 推论 1：设 f (z) 在 D： z − a  R 内解析，若在 D 内存在 f (z) 的无穷多个零 点 zn  ，且 zn a n = → lim ，但 zn  a ，则 f (z) 在 D 内恒为 0. 证明： f (z) 在 D 内连续， lim ( ) ( ). z a f z f a → = 若取 z →a 的一个特殊序列， 即 zn  ，当然仍有， lim ( ) ( ). n n f z f a → = 而 f (zn ) = 0 ，故 f (a) = 0 ，即 z = a 为 f (z)