证明思路我们先不管条件，记Ln(0)=A∑-1 log fo((z),9∈6，由大数律知 Ln(0)=∑1ofo(e)-→Ea,.logfo((X=L(0,n→o. =1 其中L(0)=E。log fo(X)=∫log fo(z)f(r)dx.显然L(O)与样本无关，且易知0o为其最大值 点.这是由于 L(0)≤L(0o),∀0∈Θ. 且等号成立当且仅当P(f(X)=f(X)=1.事实上，由于对任意的t>0都有1ogt≤t-1, 因此 L0-L(o）=E,of(X)-E,logo(X）=Ea,l1of fo(X) ≤ Eeo 因此，由于9为Ln()的最大值点，而Ln()收敛到L(0),o为L()的最大值点，因此收敛 到9o,即0是0的相合估计. 对渐近正态性，记(0)=9，由Taylor展开式 0=1(0=(0o)+(0-0o)1'(8 其中0∈0,0ol.所以 va(6-o)=-vn() 1'(0) 注意到由中心极限定理有 -v-去∑LA名N7高》 其中I(0)=Era1osX]12 另外，由大数律知对所有的9∈日有 Y1ogK-→EP1ogoX=-l0 1< n 002 002 右边等式是因为 2log fo(Xi) 002 以及Ef”=0. 因此，结合6→0o以及0∈6,0ol知道 1(©-→-I(0o）. 从而由Slutsky定理得证. 例11.设X1,…,Xn是取自正态总体N(,o2)的样本.证明例3.3.4给出的a和σ2的MLE分别 具有渐近正态性 11y²g¥ ·Çkÿ+^á, PLn(θ) = 1 n Pn i=1 log fθ(xi), θ ∈ Θ, dåÍÆ Ln(θ) = 1 n Xn i=1 log fθ(xi) −→ Eθ0 logfθ(X) = L(θ), n → ∞. Ÿ•L(θ) = Eθ0 log fθ(X) = R log fθ(x)fθ0 (x)dx. w,L(θ)ÜÃ', Ö¥θ0èŸÅåä :. ˘¥du L(θ) ≤ L(θ0), ∀θ ∈ Θ. Ö“§·Ö=P(fθ(X) = fθ0 (X)) = 1. Ø¢˛, duÈ?øt > 0—klog t ≤ t − 1, œd L(θ) − L(θ0) = Eθ0 log fθ(X) − Eθ0 log fθ0 (X) = Eθ0 log fθ(X) fθ0 (X) ≤ Eθ0  fθ(X) fθ0 (X) − 1  = 0. œd, duˆθèLn(θ)Ååä:, Ln(θ)¬ÒL(θ), θ0 èL(θ)Ååä:, œdˆθ¬Ò θ0, =ˆθ¥θ0É‹O. ÈÏC5, Pl(θ) = ∂Ln(θ) ∂θ , dTaylor–m™ 0 = l( ˆθ) = l(θ0) + (ˆθ − θ0)l 0 ( ˜θ) Ÿ•˜θ ∈ [ ˆθ, θ0]. §± √ n( ˆθ − θ0) = − √ nl(θ0) l 0( ˜θ) . 5ød•%4Žnk − √ nl(θ0) = − 1 √ n Xn i=1 ∂ log fθ(Xi) ∂θ    θ=θ0 L −→ N(0, 1 I(θ0) ) Ÿ•I(θ) = E[ ∂ log fθ(X) ∂θ ] 2 . , , dåÍÆȧkθ ∈ Θk l 0 (θ) = 1 n Xn i=1 ∂ 2 log fθ(Xi) ∂θ2 −→ E ∂ 2 log fθ(Xi) ∂θ2 = −I(θ) m>™¥œè ∂ 2 log fθ(Xi) ∂θ2 = f 00 f −  f 0 f 2 ±9Ef00 = 0. œd,(‹ˆθ → θ0 ±9˜θ ∈ [ ˆθ, θ0]  l 0 ( ˜θ) −→ −I(θ0). l dSlutsky½ny. ~11. X1, · · · , Xn¥goNN(µ, σ2 ). y²~3.3.4â—a⁄σ 2MLE©O ‰kÏC5. 11