因此使spL(0,x)达到上确界之点*，即为使supg(T(x),)达到上确界之点，它必为T(x)的函 数 此性质说明的极大似然估计=*(X1,…,Xn)可表为T(X)的函数即=*(T(X1,…,X) 如例3.3.2一例3.3.8中的极大似然估计皆为充分统计量的函数. 2.极大似然估计与有效估计 设X=(X1,…,Xn)为自分布族{f(z,),0∈Θ}抽取的简单随机样本，若g(0)的有效 估计(X)=(X1,…,Xn)存在，则g(0)的MLEg*(X)=g*(X1,…,Xn)必与(X)重合， 即g(X)=(X): 这一性质的证明放在$3.5，即介绍了有效估计的概念之后，其证明将由例3.5.11给出 3.相合渐近正态性 我们只考虑参数0为一维的情形.设多={f(x),0∈Θ}为一概率函数族，日=(a,b)为R1上 开区间.设f(x,)满足下列条件： (1)对一切0∈日，偏导数 0 log fo(x） 02l0g fo(r)03 log fo(r) 00 002 083 存在 (2)存在定义于实轴上的函数F(z)、F2(x)和H(x),使对一切0∈日和x∈R1有 0f(x)1 <F(z), 82f(x 002 <F2(c), 103fa(x) 003. ≤H(z), 其中 Fi(x)dx oo,i=1,2; H(z)fa(x)dx<M,0∈Θ， 这里M与无关 (3)对一切9∈日有 0<I(0)= fo(r)dr<oo. 关于极大似然估计的相合渐近正态(CAN)性，有下列结果： 定理2.设X=(X1,·,X)为自满足上述条件(1)-(3)的总体中抽取的简单随机样本，且设 对数似然方程 olog fo(i0 0 有唯一根0=(X1,·,Xn),0o为真值，则0为0o的CAN估计.即 va6-w名v(7)月 且9为0o的弱相合估计. 10œd¶sup θ L(θ, x)à˛(.É:ˆθ ∗ , =è¶sup θ g(T(x), θ)à˛(.É:, ß7èT(x)º Í. d5ü`²θ4åq,Oˆθ ∗ = ˆθ ∗ (X1, · · · , Xn) åLèT(X)ºÍ=ˆθ ∗ = ˆθ ∗ (T(X1, · · · , Xn)). X~3.3.2—~3.3.8•4åq,Oèø©⁄O˛ºÍ. 2. 4åq,OÜkO X = (X1, · · · , Xn)èg©Ÿx{f(x, θ), θ ∈ Θ} ƒ{¸ëÅ, eg(θ)k O gˆ(X) = ˆg(X1, · · · , Xn)3, Kg(θ)MLE ˆg ∗ (X) = ˆg ∗ (X1, · · · , Xn) 7Ügˆ(X)­‹, =gˆ ∗ (X) = ˆg(X). ˘ò5üy²ò3§3.5,=0 kOVgÉ￾, Ÿy²Úd~3.5.11â—. 3. É‹ÏC5 ·ÇêƒÎÍθèòëú/. F = {fθ(x), θ ∈ Θ} èòV«ºÍx, Θ = (a, b)èR1˛ m´m. f(x, θ)˜ve^á: (1) ÈòÉθ ∈ Θ,†Í ∂ log fθ(x) ∂θ , ∂ 2 log fθ(x) ∂θ2 , ∂ 3 log fθ(x) ∂θ3 3. (2) 3½¬u¢¶˛ºÍF1(x)!F2(x)⁄H(x), ¶ÈòÉθ ∈ Θ⁄x ∈ R1k    ∂fθ(x) ∂θ    < F1(x),    ∂ 2fθ(x) ∂θ2    < F2(x),    ∂ 3fθ(x) ∂θ3    ≤ H(x), Ÿ• Z ∞ −∞ Fi(x)dx < ∞, i = 1, 2; Z ∞ −∞ H(x)fθ(x)dx < M, θ ∈ Θ, ˘pMÜθÃ'. (3) ÈòÉθ ∈ Θk 0 < I(θ) = E h∂ log fθ(x) ∂θ 2i = Z ∞ −∞ ∂ logfθ(x) ∂θ 2 fθ(x)dx < ∞. 'u4åq,OÉ‹ÏC(CAN)5, ke(J: ½n 2. X = (X1, · · · , Xn)èg˜v˛„^á(1)-(3)oN•ƒ{¸ëÅ, Ö ÈÍq,êß Xn i=1 ∂ log fθ(xi) ∂θ = 0 kçòäˆθ = ˆθ(X1, · · · , Xn), θ0è˝ä, Kˆθèθ0CANO. = √ n( ˆθ − θ0) L −→ N  0, 1 I(θ0)  , Öˆθèθ0fÉ‹O. 10