求解并注意的下界即得到n的MLE为 方=max, n 再由8=1-=五得到的MLE为 2 6=1-1-2场 2 ▣ 例10.设从总体 X012 P0/2039/21-389 抽取的一个简单样本X1,·,X10的观察值为(0,3,1,1,0,2,0,0,3,0) (1)求9的矩估计量日M和极大似然估计量9L,并求出估计值。 (2)上述估计量是否为无偏的？若不是，请作修正 (③)比较修正后的两个估计量，指出那个更有效. 在有些问题中，p1,…,pk都是另一些参数01，·，，(r≤)的函数，这时去掉(1.6)中 与01，·，0，无关的部分后，得对数似然函数为 101,…,0r:x)=x,logp.(01,·,0,) i▣1 对0：求偏导数得似然方程组 0=0,i=1,2…,r al (1.8) 若似然方程之解1，·，为01，·，0n的MLE,则p1,…,p的MLE分别是1(1，…，)…， pk(©1，…，).但有时似然方程组(1.8)无显式解，就只能用数值方法。 三、极大似然估计的性质 前面例子中已指出极大似然估计不一定是无偏的.至于相合性问题，远没有矩估计那么 简单.极大似然估计的相合性问题，引起许多统计学者的兴趣，直到现在都不能说己彻底解决 了.1946年Cramer在一些条件下，证明了似然方程有一根是参数0的弱相合估计.由于似然方 程的根不一定是极大似然估计，这个结果还是没有解决似然估计的相合性问题.直到1949年， Wald才首次证明了极大似然估计的强相合性，但所要求的条件很复杂.此后有一些学者继续 进行研究，希望在较少的条件下证明相合性.这些结果，不便在此一一细述. 存在反例，说明极大似然估计可以不相合，有兴趣的读者可查看参考文献[②]Ps1的反例. 下面来介绍极大似然估计的几条性质： 1.极大似然估计与充分统计量 设X=(X1,…,Xn)为自总体{f(x,),0∈Θ}中抽出的简单随机样本，T=T(X1,…,Xn)是 参数的充分统计量，如果的极大似然估计存在，则它必为T的函数， 由因子分解定理可知样本X的概率函数，亦即似然函数可表为 L(0,x)=f(z,)=g(T(x),)h(x). 9¶)ø5øηe.=ηMLEè ηˆ = max{ n1 n , 1 2 } 2dθ = 1− √ 1−2η 2 θMLEè ˆθ = 1 − √ 1 − 2ˆη 2 ~10. loN X 0 1 2 3 P θ/2 θ 3θ/2 1 − 3θ ƒòá{¸X1, · · · , X10* äè(0, 3, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 3, 0)ß (1) ¶θ›O˛ˆθM⁄4åq,O˛ˆθLßø¶—Oä" (2) ˛„O˛¥ƒèƺeÿ¥ßûä?. (3) '?￾¸áO˛ßç—@áçk. 3k ØK•, p1, · · · , pk—¥,ò ÎÍθ1, · · · , θr (r ≤ k)ºÍ, ˘ûK(1.6)• Üθ1, · · · , θrÃ'‹©￾, ÈÍq,ºÍè l(θ1, · · · , θr; x) = X k i=1 xi log pi(θ1, · · · , θr) Èθi¶†Íq,êß| ∂l ∂θi = 0, i = 1, 2, · · · , r. (1.8) eq,êßÉ)ˆθ ∗ 1 , · · · , ˆθ ∗ r èθ1, · · · , θrMLE, Kp1, · · · , pkMLE©O¥pˆ1( ˆθ ∗ 1 , · · · , ˆθ ∗ r )· · · , pˆk( ˆθ ∗ 1 , · · · , ˆθ ∗ r ). kûq,êß|(1.8)Ãw™), “êU^Íäê{. n!4åq,O5ü∗ c°~f•Æç—4åq,Oÿò½¥Ã†. ñuÉ‹5ØK, vk›O@o {¸. 4åq,OÉ‹5ØK, ⁄ÂNı⁄Oƈ,, Üy3—ÿU`Æî.)˚ . 1946cCramer3ò ^áe, y² q,êßkòä¥ÎÍθfÉ‹O. duq,ê ßäÿò½¥4åq,O, ˘á(JÑ¥vk)˚q,OÉ‹5ØK. Ü1949c, Wald‚ƒgy² 4åq,OrÉ‹5, §á¶^áÈE,. d￾kò ƈUY ?1Ôƒ, F"3^áey²É‹5. ˘ (J, ÿB3dòò[„. 3á~, `²4åq,Oå±ÿÉ‹, k,÷ˆåwΩz[2] P81á~. e°504åq,OA^5ü: 1. 4åq,OÜø©⁄O˛ X = (X1, · · · , Xn)ègoN{f(x, θ), θ ∈ Θ} •ƒ—{¸ëÅ, T = T(X1, · · · , Xn)¥ ÎÍθø©⁄O˛, XJθ4åq,O3, Kß7èTºÍ. dœf©)½nåXV«ºÍ, ½=q,ºÍåLè L(θ, x) = Yn i=1 f(xi , θ) = g(T(x), θ)h(x). 9