0≤t<10 13.设()={1+t,10≤t≤20,求x(0,x(5),x(10),x(15),x(20),x(25,x(30,并画出这个函数的图形 t-10,20<t≤30 解:由已知,得x()=0,x(5)=0,x(10)=101,x(15)=226,x(20)=401,x(25)=15,x(30)=20 14.邮资y是信件重量x的函数按照邮局的规定,对于国内的外埠平信,按信件重量,每重20克应付邮资8分,不 足20克者以20克计算当信件的重量在60克以内时,试写出这个函数的表达式,并画出它的图 解:由已知,得y=f()={16,20<x≤40 24,40<x≤60 15.脉冲发生器产生一个三角波,其波形如图1-9,写出函数关系u=u(t)(0≤t≤20) 1.t,0≤t≤10 由已知及图,得u=()={30-15,10<t≤20 16.下列函数∫和y是否相等,为什么? (1)f(x)=x,y(x)=1 (2)f(x)=x,y(x)=√z2 (3)f(r)=1, (r)=sin2a+cos2r (1)因∫的定义域为(-∞,0)U(0,+∞),p的定义域为(-∞,+∞),故这两个函数不相等 (2)因f(x)=x,y(x)=|r,故这两个函数的函数表达式不一样,则这两个函数不相等 (3)因y(x)=sin2x+cos32x=1恒成立,故这两个函数相等 17.证明对于直线函数f(x)=ax+b,若自变数值x=xn(n=1,2,…)组成一等差数列,则对应的函数 值vn=f(xn)(n=1,2,…)也组成一等差数列 证明:设xm-1,xm,xm+1是xn中任意3个相邻的数(2≤m≤n) 据题意,得2xm=xm-1+xm+1 又vn=f(xn)=axn+b,则ym-1=axm-1+b,m=arm 2aTm +2b, ym+1 +ym-1 =aTm+1+b+arm-1+b=2arm +2b, 从面2+2 axm+1+b,于是2ym 又xm-1,xm,xm+1是xn中任意3个相邻的数,则ym-1,ym,ym+1是vn中任意3个相邻的数,于是vn=f(xn)(n= 1,2,…)也组成一等差数列 18如果曲线y=/()上的任一条弦都高于它所限的弧(图1-10),证明不等式(x)+(x2)7/(22)对 于所有的x1,x2(x1≠x2)成立(凡具有上述特性的函数叫做凸函数) 证明:在曲线上任取两点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),连接AB,取其中点C(xc,y),则∫(x1)+f(x2)= 又曲线上xD=2所对点的纵坐标为yD=f(21+z2),则x=ED 又曲线y=f(x)上的任一条弦都高于它所限的弧且x1,x2为弦与弧的交点,则>D即(2)+fe2)> (2)对于所有的x,2(1≠n)成立 ∫(x) 9.证明下列各函数在所示区间内是单调增加的函数 (1)y=x2(0≤x<+∞) (2)y=sinr(≤x≤需 证明5 13. x(t) =    0, 0 6 t < 10 1 + t 2 , 10 6 t 6 20 t − 10, 20 < t 6 30 ߶x(0), x(5), x(10), x(15), x(20), x(25), x(30)ßøx—˘áºÍ„/. )µdÆßx(0) = 0, x(5) = 0, x(10) = 101, x(15) = 226, x(20) = 401, x(25) = 15, x(30) = 20 14. e]y¥&á­˛xºÍ.UÏe¤5½ßÈuIS ײ&ßU&á­˛ßz­20éAGe]8©ßÿ v20鈱20éOé.&á­˛360é±Sûߣ—˘áºÍLà™ßøx—ß„/. )µdÆßy = f(x) =    8, 0 < x 6 20 16, 20 < x 6 40 24, 40 < x 6 60 15. Û¿u)Ï)òánÅߟÅ/X„1-9ß—ºÍ'Xu = u(t)(0 6 t 6 20). )µdÆ9„ßu = u(t) =  1.5t, 0 6 t 6 10 30 − 1.5t, 10 < t 6 20 16. eºÍf⁄ϕ¥ƒÉßèüoº (1) f(x) = x x , ϕ(x) = 1 (2) f(x) = x, ϕ(x) = √ x2 (3) f(x) = 1, ϕ(x) = sin2 x + cos2 x )µ (1) œf½¬çè(−∞, 0) S (0, +∞)ßϕ½¬çè(−∞, +∞)ߢ¸áºÍÿÉ. (2) œf(x) = x, ϕ(x) = |x|ߢ¸áºÍºÍLà™ÿòßK˘¸áºÍÿÉ. (3) œϕ(x) = sin2 x + cos2 x = 1ð§·ß˘¸áºÍÉ. 17. y²ÈuÜǺÍf(x) = ax + bßegCÍäx = xn(n = 1, 2, · · ·)|§òÍßKÈAºÍ äyn = f(xn)(n = 1, 2, · · ·)è|§òÍ. y²µxm−1, xm, xm+1¥xn•?ø3áÉÍ(2 6 m 6 n) ‚Køß2xm = xm−1 + xm+1 qyn = f(xn) = axn + bßKym−1 = axm−1 + b, ym = axm + b, ym+1 = axm+1 + bßu¥2ym = 2axm + 2b, ym+1 + ym−1 = axm+1 + b + axm−1 + b = 2axm + 2bßl 2ym = ym−1 + ym+1 qxm−1, xm, xm+1¥xn•?ø3áÉÍßKym−1, ym, ym+1¥yn•?ø3áÉÍßu¥yn = f(xn)(n = 1, 2, · · ·)è|§òÍ. 18. XJ­Çy = f(x)˛?ò^u—puߧÅl£„1-10§ßy²ÿ™ f(x1) + f(x2) 2 > f  x1 + x2 2  È u§kx1, x2(x1 6= x2)§·£Ö‰k˛„A5ºÍ⇺ͧ. y²µ3­Ç˛?¸:A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2))ßÎABߟ•:C(xC , yC )ßKf(x1) + f(x2) = 2yC , x1 + x2 = 2xC q­Ç˛xD = x1 + x2 2 §È:pãIèyD = f  x1 + x2 2  ßKxC = xD q­Çy = f(x)˛?ò^u—puߧÅlÖx1, x2èuÜl:ßKyC > yD= f(x1) + f(x2) 2 > f  x1 + x2 2  Èu§kx1, x2(x1 6= x2)§·. ✲ ✻ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ 0 x1 x2 x A C B xD y f(x) 19. y²eàºÍ3§´´mS¥¸NO\ºÍµ (1) y = x 2 (0 6 x < +∞) (2) y = sin x  − π 2 6 x 6 π 2  y²µ