适当增加高等代数发展历史过程中的有趣实例和高等代数前言知识。适当介绍应用数学软 件的功能。具体建议如下: 1.介绍九章算术中解线性方程组的实例。 2.介绍复数域与全体2×2矩阵构成的线性空间的一个子空间之间的一一对应关系 3.介绍一型和二型数学归纳法。 4.介绍数学家笛卡儿(R· Descartes,1596-1650)和费马(P· de fermat,1601-1665)以 及代数中的几何类比,了解代数与几何的相互影响。 5.介绍定理中的结构与形式,介绍证明定理的反证法。 6.以矩阵的等价、向量组的等价等推广到一般等价关系和和集合的分类(近世代数) 7.介绍斐波那器那契数列的极限与矩阵的相似标准形之间的关系,体会相似标准形的应用 8.介绍若当标准形在矩阵分解中的应用和在矩阵方程中的应用 9.介绍函数逼近中的最小二乘法,以及与欧几里得空间中内积的关系。 10.根据内积的性质证明许瓦兹不等式,最少介绍三种不同的内积对应常用的许瓦兹不等 式 11.介绍相关的数学类计算机应用软件的主要功能,例如 Matlab、 Lingo等软件。 教学方法建议 考虑到一年级学生对大学的学习有些不习惯,不容易接受抽象的和形式化的理论,根据高 等代数课程的特点,具体在讲解定义和定理时,可注意以下几点 1.举特例加强对定义的印象,提高学生的兴趣和主动性 在《高等代数》课程讲授过程中,每讲一个定义,都应举例以加强理解。有些定义还应多 举例以增强印象,但若同类形的例子举几个的话,容易引起学生的疲劳感,所以应设法举各种 特例。比如讲矩阵定义时,可举行矩阵、列矩阵、零矩阵、上下三角矩阵、对角矩阵等例子。 讲矩阵相乘时,也应举两个特殊矩阵相乘的例子以及矩阵分块的特例,特别举乘积矩阵中某单 个元素的来源、某行元素的来源、某列元素的来源。讲线性空间时,可举零空间、有限向量空 间、有限维线性空间、无限维线性空间的例子,讲多项式构成的线性空间、矩阵构成的线性空 间、n维向量构成的线性空间、线性方程组的解空间等例子。讲数域时举有理数域、实数域、 复数域、形如a+bV的数构成的数域等。讲行列式计算时,可举有零行的,有零列的,上三 角、下三角、对角行列式的例子。讲逆矩阵时,可举单位矩阵、对角矩阵和各种初等矩阵的例 子。用初等变换把矩阵化成行最简形时也应举不同秩的矩阵的例子。讲n维向量组线性相关时 可举一个向量的情形,有零向量的情形,部分向量线性相关的情形。讲矩阵的特征值和特征向 量时可先举单位阵、对角阵、上三角矩阵、零矩阵的例子。讲矩阵的秩时,应举零矩阵、单位 矩阵、各行元素均相同的矩阵的例子。总之照此思路对各种定义发掘特例,启发学生举更多的 特例,这样也能提高学生的兴趣和主动性。 2.先讲例子和反例,后讲定义 《高等代数》中有些定义描述起来不是很顺畅,逐字逐句讲起来学生不易接受,但实际含 义并不复杂。此时应先举例,再用语言描述定义较好。另外这些定义往往有一些反例,即有 些不符何定义条件的对象容易混淆。所以举例时注意正反两方面的例子。例如讲排列的逆序时, 1在前5在后,不是逆序;相反则是逆序。类似地还有线性相关与线性无关、特征值和特征向 量、集合的影射、线性空间的直和、线性变换的核与象集、σ不变子空间、多项式的整除等, 都容易举出正反两方面的例子。抽象化和形式化是数学的基本特征,现行的教材和教学过分强 调这一点,忽视了丰富的数学思维过程,结果挫伤学生的积极性。因此,应推广有些专家提出 来的“在数学教学中要返璞归真,从源头讲起,讲清楚问题产生和发展的过程,讲明道理,再 讲推理,然后再抽象化和形式化。”例如先讲向量的来源和应用,再讲向量的一般形式。适当增加高等代数发展历史过程中的有趣实例和高等代数前言知识。适当介绍应用数学软 件的功能。具体建议如下： 1.介绍九章算术中解线性方程组的实例。 2.介绍复数域与全体 2×2 矩阵构成的线性空间的一个子空间之间的一一对应关系。 3.介绍一型和二型数学归纳法。 4.介绍数学家笛卡儿（R·Descartes,1596-1650）和费马（P·de Fermat,1601-1665）以 及代数中的几何类比，了解代数与几何的相互影响。 5.介绍定理中的结构与形式，介绍证明定理的反证法。 6.以矩阵的等价、向量组的等价等推广到一般等价关系和和集合的分类（近世代数）。 7.介绍斐波那器那契数列的极限与矩阵的相似标准形之间的关系，体会相似标准形的应用。 8.介绍若当标准形在矩阵分解中的应用和在矩阵方程中的应用。 9.介绍函数逼近中的最小二乘法，以及与欧几里得空间中内积的关系。 10. 根据内积的性质证明许瓦兹不等式，最少介绍三种不同的内积对应常用的许瓦兹不等 式。 11. 介绍相关的数学类计算机应用软件的主要功能，例如 MatLab、Lingo 等软件。 三、教学方法建议 考虑到一年级学生对大学的学习有些不习惯，不容易接受抽象的和形式化的理论，根据高 等代数课程的特点，具体在讲解定义和定理时，可注意以下几点。 1.举特例加强对定义的印象，提高学生的兴趣和主动性 在《高等代数》课程讲授过程中，每讲一个定义，都应举例以加强理解。有些定义还应多 举例以增强印象，但若同类形的例子举几个的话，容易引起学生的疲劳感，所以应设法举各种 特例。比如讲矩阵定义时，可举行矩阵、列矩阵、零矩阵、上下三角矩阵、对角矩阵等例子。 讲矩阵相乘时，也应举两个特殊矩阵相乘的例子以及矩阵分块的特例，特别举乘积矩阵中某单 个元素的来源、某行元素的来源、某列元素的来源。讲线性空间时，可举零空间、有限向量空 间、有限维线性空间、无限维线性空间的例子，讲多项式构成的线性空间、矩阵构成的线性空 间、n 维向量构成的线性空间、线性方程组的解空间等例子。讲数域时举有理数域、实数域、 复数域、形如 a+b 2 的数构成的数域等。讲行列式计算时，可举有零行的，有零列的，上三 角、下三角、对角行列式的例子。讲逆矩阵时，可举单位矩阵、对角矩阵和各种初等矩阵的例 子。用初等变换把矩阵化成行最简形时也应举不同秩的矩阵的例子。讲 n 维向量组线性相关时 可举一个向量的情形，有零向量的情形，部分向量线性相关的情形。讲矩阵的特征值和特征向 量时可先举单位阵、对角阵、上三角矩阵、零矩阵的例子。讲矩阵的秩时，应举零矩阵、单位 矩阵、各行元素均相同的矩阵的例子。总之照此思路对各种定义发掘特例，启发学生举更多的 特例，这样也能提高学生的兴趣和主动性。 2.先讲例子和反例，后讲定义 《高等代数》中有些定义描述起来不是很顺畅，逐字逐句讲起来学生不易接受，但实际含 义并不复杂。此时应先举例，再用语言描述定义较好。另外这些定义往往有一些反例，即有一 些不符何定义条件的对象容易混淆。所以举例时注意正反两方面的例子。例如讲排列的逆序时， 1 在前 5 在后，不是逆序；相反则是逆序。类似地还有线性相关与线性无关、特征值和特征向 量、集合的影射、线性空间的直和、线性变换的核与象集、σ不变子空间、多项式的整除等， 都容易举出正反两方面的例子。抽象化和形式化是数学的基本特征，现行的教材和教学过分强 调这一点，忽视了丰富的数学思维过程，结果挫伤学生的积极性。因此，应推广有些专家提出 来的“在数学教学中要返璞归真，从源头讲起，讲清楚问题产生和发展的过程，讲明道理，再 讲推理，然后再抽象化和形式化。”例如先讲向量的来源和应用，再讲向量的一般形式