赋范线性空间上微分学——变分计算 复旦力学谢锡麟 016年4月21日 1知识要素 2一般理论 自变量为函数或向量值映照,因变量为实数的映照也称为泛函;计算泛函的微分即为计算变 分.本部分基于方向导数来计算泛函的变分 2.1一阶变分 2.1.1多元函数 设有(x)∈6(2;R)为多元连续函数,其中!2cRm,研究泛函 a():1(3;R)3d→(d)全 f(a, o(a), Vo(a))da 计算 dd(o(0)=Ded(o\. wa (q+A6)-x() 引入映照 B():R3入→B()全(+A0)=/f(x,0(x)+(x),Vo(am)+vbx)da, 则有 d(9)(0)=,imB()-B(0)_dB 入→0∈R (x,(x),Vo(x)(x)+ avis(z, p(a),Vp(c)A(a))da 进一步,考虑 (, o(), Vo())o(a)da Alo( af\(a)axi\ avio/()0(a)da avio 0/f novi(,p(),V(ae)0()do Oc (ovis)(z)e(az)dz (a)e()da,赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学——变分计算 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 2 一般理论 自变量为函数或向量值映照, 因变量为实数的映照也称为泛函; 计算泛函的微分即为计算变 分. 本部分基于方向导数来计算泛函的变分. 2.1 一阶变分 2.1.1 多元函数 设有 ϕ(x) ∈ C 1 (Ω; R) 为多元连续函数, 其中 Ω ⊂ R m, 研究泛函: A (ϕ) : C 1 (Ω; R) ∋ ϕ 7→ A (ϕ) , ∫ Ω f(x, ϕ(x), ∇ϕ(x))dx. 计算 dA dϕ (ϕ)(θ) = DθA (ϕ) , lim λ→0∈R A (ϕ + λθ) − A (ϕ) λ . 引入映照 B(λ) : R ∋ λ 7→ B(λ) , A (ϕ + λθ) = ∫ Ω f(x, ϕ(x) + λθ(x), ∇ϕ(x) + λ∇θ(x))dx, 则有 dA dϕ (ϕ)(θ) = lim λ→0∈R B(λ) − B(0) λ = dB dλ (0) = ∫ Ω ( ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x), ∇ϕ(x))θ(x) + ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) ∂θ ∂xi (x) ) dx. 进一步, 考虑 ∫ Ω ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) ∂θ ∂xi (x)dx = ∫ Ω [ ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ θ ) (x) − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ ) (x)θ(x) ] dx = I ∂Ω n i ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x), ∇ϕ(x))θ(x)dσ − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ ) (x)θ(x)dx = − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ ) (x)θ(x)dx, 1