的低维主流形的结构，比如，工艺参数随质量指标的流向。 给定高维的观测数据集X=:,本，x},x,∈RP为独立同分布随机样本，分布在光滑的d维流形上， 即在D维欧氏空间中嵌入d维流形，其中d≤D。流形学习就是从观测数据集X中寻找低维的嵌入映 射，从而求得微分同胚的低维主流形。在建立观测点x,局部邻域的流形时，需要从数据集中抽取与该 观测点邻近（或相似）的数据点构建邻近（相似）矩阵，并计算矩阵的特征向量，通过选择若干最大特 征值对应的特征向量作为主向量，且将数据投影到主向量上得到低维的嵌入映射，即主流形。 在实际工业应用中，高维数据中内在的低维主流形常常是未知的。流形学习的目的是从数据集中， 通过嵌入局部邻域的低维主流形来描述整体的流形结构，在不丢失数据内在的本质特征情况下，消 除数据的次要因素和随机噪声，提取出数据低维的本质结构一主流形，图4给出流形学习的示意图。 Observed sample Manifold M ● ● 00 {S(V)} ■4流形标意图 Fig.4 Manifold learning diagram 流形学习过程包括3个步骤： (1)首先，对样本集进行标准化处理，消除变量的不同量纲在计算几何距离时影响，并建立标 签样本集{(：，)(32S),(:S)(xS)},其中S,表示标签样本的状态，即样本在流形空间中位置。 (2)搜索距样本点x,邻近且与其处牙同类状态的邻近点子集{S,(V)},同时选择与x,相邻， 但处于下一个状态的邻近点子集U,)}。 (3)对所有n个样本点建立郊近点集矩阵{N1,N2,,Nn}作为最终的邻近矩阵，其中子矩阵 N,的维数为k,×D,复观测点x邻近点个数，D为样本空间维度。 对每个子矩阵W个求得坊差矩阵C,=NN,再对协方差矩阵进行特征值分解，求得特征值 U,及对应的特征向量 C=U'AU (15) 最大的特征值所对应的特征向量表示流形在x,局部区域的主流形。由于特征向量相互正交，主流 形构成了局部区域的切空间。主流形的提取实现了高维流形向低维主流形的转换，揭示了流形在局部 区域的主要变化趋势（在图4中由箭头表示），并消除数据中的随机噪声和非主流的变化因素。将邻 域矩阵N,投影到局部区域的切空间T T=NU (16) 其中，向量工表示低维主流形演化方向，)为由式(15)求得的d个最大特征值的特征向量。 对每个观测点邻近矩阵分别计算特征向量，可以构建演化矩阵T=[工，T,,T]。演化矩阵的每的低维主流形的结构，比如，工艺参数随质量指标的流向。 给定高维的观测数据集 1 2 { , ,... } X x x x  n , D i x R 为独立同分布随机样本，分布在光滑的 d 维流形上， 即在 D 维欧氏空间中嵌入 d 维流形，其中 d≤D。流形学习就是从观测数据集 X 中寻找低维的嵌入映 射，从而求得微分同胚的低维主流形。在建立观测点 i x 局部邻域的流形时，需要从数据集中抽取与该 观测点邻近（或相似）的数据点构建邻近(相似)矩阵，并计算矩阵的特征向量，通过选择若干最大特 征值对应的特征向量作为主向量，且将数据投影到主向量上得到低维的嵌入映射，即主流形。 在实际工业应用中，高维数据中内在的低维主流形常常是未知的。流形学习的目的是从数据集中， 通过嵌入局部邻域的低维主流形来描述整体的流形结构，在不丢失数据内在的本质特征情况下，消 除数据的次要因素和随机噪声，提取出数据低维的本质结构—主流形，图 4 给出流形学习的示意图。 图４ 流形学习示意图 Fig.4 Manifold learning diagram 流形学习过程包括 3 个步骤： （1）首先，对样本集进行标准化处理，消除变量的不同量纲在计算几何距离时影响，并建立标 签样本集 1 2 {( , ),( , ),...( , )...( , )} i i i j n p x S x S x S x S ，其中 j S 表示标签样本的状态，即样本在流形空间中位置。 （2）搜索距样本点 i x 邻近且与其处于同类状态的邻近点子集{ ( )} S Vi i ，同时选择与 i x 相邻， 但处于下一个状态的邻近点子集{ ( )} S U i i 1 。 （3）对所有 n 个样本点建立邻近点集矩阵 , { ,..., } N N N 1 2 n 作为最终的邻近矩阵，其中子矩阵 Ni 的维数为 i k D ， i k 为观测点 i x 邻近点个数，D 为样本空间维度。 对每个子矩阵 Ni 求得协方差矩阵 T C N N i i i  ，再对协方差矩阵进行特征值分解，求得特征值 Ui及对应的特征向量 λi T C U U i i i i   (15) 最大的特征值所对应的特征向量表示流形在 i x 局部区域的主流形。由于特征向量相互正交，主流 形构成了局部区域的切空间。主流形的提取实现了高维流形向低维主流形的转换，揭示了流形在局部 区域的主要变化趋势（在图 4 中由箭头表示），并消除数据中的随机噪声和非主流的变化因素。将邻 域矩阵 Ni 投影到局部区域的切空间Ti ˆ T N U i i  (16) 其中，向量Ti 表示低维主流形演化方向，Uˆ 为由式（15）求得的 d 个最大特征值的特征向量。 对每个观测点邻近矩阵分别计算特征向量，可以构建演化矩阵 , 1 2 [ ,..., ] T T T T  n 。演化矩阵的每 录用稿件，非最终出版稿