当趋于(0,0)无极限。所以不连续,同理可的厂,也不连续,(2分 2、解:mn1=1(5分)∑2,收敛,所以原级数收敛(5分) 3、解:部分和Sn(x)=x (3分),VE>0,取N ,n>N时有 n+1 S,(x)-x ≤-<E,所以级数一致收敛(7分) 四、证明题(每小题10分,共20分) 1、证明:用反证法 若结论不成立,则360>0.VXax6>X,使得(x≥50,(3分)又因为在f(x) 在[a∞)上一致连续函数,36∈(01Yxx>a,只要x-x1<6,有 /(x)-/x)<2,(3分)于是v42a令X=4+1,取上述使(x)2的点 x>X,,不妨设∫(x)>0,则对任意满足|x-x|<0的x,有 f(x)>人27>0取A和A分别等于x0-°0和x 则 J03>24有,由Cm收敛定理,f(不收矛盾(4分) 2、证明:V(x0,y)∈D,由 Lipschitz条件 If(x,y)-f(o, yo)sIf(x, y)f(x,yo)+f(x, yo)-f(xo, yo) ≤ly-yo+/(x,y)-f(x,y0)(1,(6分)又由二元函数∫(x,y)在开集DcR2内 对于变量x是连续的,(1)式的极限为0,f(x,y)在(x03y)连续,因此f(x,y)在D内连 (二十二)数学分析期末考试题 叙述题:(每小题5分,共15分)2 2 2 2 1 cos 1 x + y x + y 当趋于（0，0）无极限。所以不连续，同理可的 y f 也不连续，（2 分） 2、解： 1 1 2 1 1 ln lim 2 2 2 = − − + → n n n n （5 分）   =1 − 2 1 2 n n 收敛，所以原级数收敛（5 分） 3、解：部分和 1 ( ) 1 + = − + n x S x x n n （3 分），   0, 取       =  1 N ， n  N 时有    + − = + n n x S x x n n 1 1 ( ) 1 ，所以级数一致收敛（7 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、证明：用反证法 若结论不成立，则  0  0,X.a,x0  X ，使得 0 0 f (x )   ，（3 分）又因为在 f（x） 在 [a,∞ ） 上 一 致 连 续 函 数 ，   x x  a ' '' 0  (0,1), , ， 只 要 0 ' '' x − x   ， 有 2 ( ) ( ) ' '' 0  f x − f x  ，（3 分）于是 A0  a,令X = A0 +1 ，取上述使 0 0 f (x )   的点 , x0  X ， 不 妨 设 f (x0 )  0 ， 则 对 任 意 满 足 − 0   0 x x 的 x ， 有 0 2 2 ( ) ( ) 0 0  0 −     f x f x 取 A 和 A ‘ 分 别 等 于 2 0 0  x − 和 2 0 0  x + ， 则 0 0 2 ( ) '     A A f x dx 有，由 Cauchy 收敛定理，  + a f (x)dx 不收敛，矛盾（4 分） 2、证明： (x0 , y0 ) D ，由 Lipschitz 条件 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 f x y − f x y  f x y − f x y + f x y − f x y ( , ) ( , ) 0 0 0 0  L y − y + f x y − f x y （1），（6 分）又由二元函数 f (x, y) 在开集 2 D  R 内 对于变量 x 是连续的，（1）式的极限为 0， f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 连续，因此 f (x, y) 在 D 内连 续（4 分） （二十二）数学分析期末考试题 一 叙述题：（每小题 5 分，共 15 分）