(二十一)数学分析期终考试题 叙述题:(每小题5分,共15分) 1开集和闭集 2函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann可积的充分必要条件 二计算题:(每小题7分,共35分) 2、求x2+(y-b)2=b2(0<a≤b)绕x轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数∑(1+)x"的收敛半径和收敛域 4、lim x→0 +x-+ 5、f(x,y,)=x+xy2+yz2,1为从点(2,-1,2)到点(-1,1,2)的方向,求f(2) 三讨论与验证题:(每小题10分,共30分) 1、已知(x)=J(x+y)m-1 x2+y2≠0 ,验证函数的偏导数在原 0,y 点不连续,但它在该点可微 2、讨论级数∑h"+的敛散性。 3、讨论函数项级数 x∈[-1,]的一致收敛性。 nn 四证明题:(每小题10分,共20分) 1若f(x)k收敛,且f(x)在【x+a)上一致连续函数,则有mnf(x)=0 2设二元函数f(x,y)在开集DcR2内对于变量x是连续的,对于变量y满足 Lipschitz条件:|(xy)-(xy≤p-y其中(xy)(x,y)∈D,L为常数证 明f(x,y)在D内连续。 参考答案 1、若集合S中的每个点都是它的内点,则称集合S为开集:若集合S中包含了它 的所有的聚点,则称集合S为闭集
（二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题 5 分，共 15 分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题 7 分，共 35 分） 1、 − 9 1 3 x 1 xdx 2、求 ( ) (0 ) 2 2 2 x + y − b = b a b 绕 x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n = + 1 2 ) 1 (1 的收敛半径和收敛域 4、 1 1 lim 2 2 2 2 0 0 + + − + → → x y x y y x 5、 2 2 f (x, y,z) = x + xy + yz ，l 为从点 P0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求 fl(P0) 三 讨论与验证题：（每小题 10 分，共 30 分） 1、已知 = = + + + = 0 0, 0 0 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y ，验证函数的偏导数在原 点不连续，但它在该点可微 2、讨论级数 = − + 1 2 2 1 1 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数 ) [ 1,1] 1 ( 1 1 − + − = + x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题 10 分，共 20 分） 1 若 + a f (x)dx 收敛，且 f（x）在[a,+∞）上一致连续函数，则有 lim ( ) = 0 →+ f x x 2 设二元函数 f (x, y) 在开集 2 D R 内对于变量 x 是连续的，对于变量 y 满足 Lipschitz 条件： ' '' ' '' f (x, y ) − f (x, y ) L y − y 其中 (x, y ),(x, y ) D, L ' '' 为常数证 明 f (x, y) 在 D 内连续。 参考答案 一、1、若集合 S 中的每个点都是它的内点，则称集合 S 为开集；若集合 S 中包含了它 的所有的聚点，则称集合 S 为闭集
2设函数项级数∑un(x)满足(1)un(x)n=12…)在[a,b连续可导 ∑un(x)在[a,b]点态收敛于S(x) ∑u(x)在a,b]一致收敛于a(x) 则S()∑n(x)在[a,b可导,且2∑n(x)=∑n(x) 3、有界函数f(x)在[a,b]上可积的充分必要条件是,对于任意分法,当 =max(△x1)→0时 Darboux大和与 Darboux小和的极限相等 、1、令1=Ⅵ1-x(2分)「xM1-xd=-3(1-)2动=_468(5分) 2、y1=b+ 2=6-02 x2,(2分)所求的体积为 (y2-y2)dx=2zab(5分) 3、解:由于im( ) ]=-收敛半径为一(4分),当 (1 n+1 =时,(1+)(y(±1)→1≠0(n→∞),所以收敛域为(-,)(3分) (x2+y2Xy1+x2+y2+1) h+x2+y2-10(1+x2+y2-0(1+x2+y2+ +1)=2(7 分) 5、解:设极坐标方程为f1(2,-12)=2,f(2,-12)=0f(2,-12)=-4(4分) f(2,-1,2) (3分) 2x(sin COS x2+y2≠0 、1、解、fx= (4分)由于 =0
2 设函数项级数 =1 ( ) n n u x 满足（1） u (x)(n =1,2, ) n 在[a，b]连续可导 a) =1 ( ) n n u x 在[a，b]点态收敛于 S(x) b) =1 ' ( ) n u x n 在[a，b]一致收敛于 (x) 则 S(x) = =1 ( ) n n u x 在[a，b] 可导，且 = = = 1 1 ( ) ( ) n n n n u x dx d u x dx d 3、有界函数 f (x) 在[a，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当 max( ) 0 1 = → i i n x 时 Darboux 大和与 Darboux 小和的极限相等 二、1、令 3 t = 1− x （2 分） 7 468 1 3 (1 ) 2 0 3 3 9 1 3 − = − − = − − x xdx t t dt （5 分） 2、 2 2 2 2 2 1 y = b + a − x , y = b − a − x ，（2 分）所求的体积为： y y dx a b a a 2 2 2 2 2 ( 1 − ) = 2 − （5 分） 3、解：由于 e n n n n n n n n 1 ] ) 1 1 (1 1 ) ) 1 1 (1 ) 1 (1 lim[( 1 1 = + + + + + → + + 收敛半径为 e 1 (4 分），当 e x 1 = 时， ) ( 1) 1 0( ) 1 ) ( 1 (1 2 + → n → n e n n n ，所以收敛域为 ) 1 , 1 ( e e − (3 分） 4、 lim ( 1 1) 2 ( 1 1)( 1 1) ( )( 1 1) lim 1 1 lim 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 = + + + = + + − + + + + + + + = + + − + → → → → → → x y x y x y x y x y x y x y y x y x y x （7 分） 5、解： 设极坐标方程为 f x (2,−1,2) = 2, f y (2,−1,2) = 0. f z (2,−1,2) = −4 （4 分） 13 6 f l (2,−1,2) = （3 分） 三、1、解、 + = + + + − = + 0 0 ) 0 1 cos 1 1 2 (sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x f x （4 分）由于
当趋于(0,0)无极限。所以不连续,同理可的厂,也不连续,(2分 2、解:mn1=1(5分)∑2,收敛,所以原级数收敛(5分) 3、解:部分和Sn(x)=x (3分),VE>0,取N ,n>N时有 n+1 S,(x)-x ≤-0.VXax6>X,使得(x≥50,(3分)又因为在f(x) 在[a∞)上一致连续函数,36∈(01Yxx>a,只要x-x1X,,不妨设∫(x)>0,则对任意满足|x-x|人27>0取A和A分别等于x0-°0和x 则 J03>24有,由Cm收敛定理,f(不收矛盾(4分) 2、证明:V(x0,y)∈D,由 Lipschitz条件 If(x,y)-f(o, yo)sIf(x, y)f(x,yo)+f(x, yo)-f(xo, yo) ≤ly-yo+/(x,y)-f(x,y0)(1,(6分)又由二元函数∫(x,y)在开集DcR2内 对于变量x是连续的,(1)式的极限为0,f(x,y)在(x03y)连续,因此f(x,y)在D内连 (二十二)数学分析期末考试题 叙述题:(每小题5分,共15分)
2 2 2 2 1 cos 1 x + y x + y 当趋于（0，0）无极限。所以不连续，同理可的 y f 也不连续，（2 分） 2、解： 1 1 2 1 1 ln lim 2 2 2 = − − + → n n n n （5 分） =1 − 2 1 2 n n 收敛，所以原级数收敛（5 分） 3、解：部分和 1 ( ) 1 + = − + n x S x x n n （3 分）， 0, 取 = 1 N ， n N 时有 + − = + n n x S x x n n 1 1 ( ) 1 ，所以级数一致收敛（7 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、证明：用反证法 若结论不成立，则 0 0,X.a,x0 X ，使得 0 0 f (x ) ，（3 分）又因为在 f（x） 在 [a,∞ ） 上 一 致 连 续 函 数 ， x x a ' '' 0 (0,1), , ， 只 要 0 ' '' x − x ， 有 2 ( ) ( ) ' '' 0 f x − f x ，（3 分）于是 A0 a,令X = A0 +1 ，取上述使 0 0 f (x ) 的点 , x0 X ， 不 妨 设 f (x0 ) 0 ， 则 对 任 意 满 足 − 0 0 x x 的 x ， 有 0 2 2 ( ) ( ) 0 0 0 − f x f x 取 A 和 A ‘ 分 别 等 于 2 0 0 x − 和 2 0 0 x + ， 则 0 0 2 ( ) ' A A f x dx 有，由 Cauchy 收敛定理， + a f (x)dx 不收敛，矛盾（4 分） 2、证明： (x0 , y0 ) D ，由 Lipschitz 条件 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 f x y − f x y f x y − f x y + f x y − f x y ( , ) ( , ) 0 0 0 0 L y − y + f x y − f x y （1），（6 分）又由二元函数 f (x, y) 在开集 2 D R 内 对于变量 x 是连续的，（1）式的极限为 0， f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 连续，因此 f (x, y) 在 D 内连 续（4 分） （二十二）数学分析期末考试题 一 叙述题：（每小题 5 分，共 15 分）
1 Darboux和 2无穷限反常积分的 Cauchy收敛原理 Euclid空间 计算题:(每小题7分,共35分) Vn! n→1n 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 2 Jn=e-x"ax(n是非负整数) 4、设u=f(x2+y2+2,xyz),f具有二阶连续偏导数,求 5、求∫(x)=e的幂级数展开式 三讨论与验证题:(每小题10分,共20分) 1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明;对 否定的结论,给出反例 讨论级数∑ cos nX 00,证明g(x)= f(0)a 在[0,+∞)上 f(odt 单调增加 2设正项级数∑x收敛,{xn}单调减少,证明 I lim nx=0 3 f(,y) ,证明:lmf(x,y)不存在 参考答案 、1、有界函数f(x)定义在[ab]上,给一种分法b,a=x0<x<…<xn=b和 M,=supf(x), [x-l, x, ]), m, = inf f(x).[x-1,x,]) 则 S(P)=∑MAx,S(P)=∑mAx1分别称为相应于分法b的 Darboux大和和
1 Darboux 和 2 无穷限反常积分的 Cauchy 收敛原理 3 Euclid 空间 二 计算题：（每小题 7 分，共 35 分） 1、 n n n n ! lim →+ 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 = = 2 2 2 2 y x y x 3、 I e x dx x n n + − = 0 (n 是非负整数） 4、设 u f (x y z , xyz), f 2 2 2 = + + 具有二阶连续偏导数，求 z x u 2 5、求 x f (x) = e 的幂级数展开式 三 讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分） 1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对 否定的结论，给出反例 2、讨论级数 (0 ) cos 1 = x n nx n p 的绝对和条件收敛性。 四 证明题：（每小题 10 分，共 30 分） 1 f（x）在[0，+∞）上连续且恒有 f（x）>0，证明 = x x f t dt tf t dt g x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在[0，+∞）上 单调增加 2 设正项级数 n=1 n x 收敛， xn 单调减少，证明 lim = 0 → n n nx 3 x y y f x y + = 2 ( , ) ，证明： lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在 参考答案 一、1、有界函数 f (x) 定义在 [a,b] 上，给一种分法 P ，a = x0 x1 xn = b 和 记 Mi = supf (x),[xi−1 , xi ],mi = inf f (x),[xi−1 , xi ] ， 则 = = = = n i i i n i i i S P M x S P m x 1 1 ( ) , ( ) 分 别 称为 相应 于分 法 P 的 Darboux 大和 和
Darboux小和。 G>03N>a使得ym>D>N,成[(x 3、R"向量空间上定义内积运算(x,y)=xy1+…+xyn构成 Euclid空间 、1、由于 lim In =lm-(∑hi)-nhn)=lm∑h--=hxax=-1( n→ni= 分) 2、解:两曲线的交点为(2,2),(0,0),(2分) 所求的面积为:「(√2x =-(5分) 解:1n= e-x dx ∫exd∫"e”xrd(6分 n=n(1分) ax 2fx+(分)83=2x(2+m1)+y2+(2%y+xy2)(4 azax 分) 5、解:由于余项/(xs、ch x→0(n→∞),(3分)所以 n ex=1+x+2 (4分) 1、解、可微必可偏导和连续,证明可看课本133页(4分),可偏导不一定连续和可微 例子可看课本135页(6分) 2、解:当p>1时,级数绝对收敛,(4分)当00(8分) f(r)dt) f(rdr) 所以函数单调增加(2分)
Darboux 小和。 2、 0.N a 使得 m n N ，成立 n m f (x)dx 3、 n R 向量空间上定义内积运算 n n = x y ++ x y x,y 1 1 构成 Euclid 空间 二、1、由于 ln 1 1 (( ln ) ln ) lim ln 1 lim ! lim ln 1 0 1 1 = − = = = − = → = → → xdx n n i i n n n n n n i n n i n n n （7 分） 2、解：两曲线的交点为（2，2），（0，0），（2 分） 所求的面积为： 3 4 ) 2 ( 2 2 0 2 − = dx x x （5 分） 3、 解： I e x dx x n n + − = 0 = − + − 0 | n x x e + n e x dx x n + − − 0 1 = nI n−1 e x dx x n − 1 0 + e x dx x n + − 1 （6 分） I n! n = (1 分） 4、： x u = 2 1 2 f x + yzf （3 分） 2 (2 ) (2 ) 11 12 2 21 22 2 x zf xyf yf yz zf xyf z x u = + + + + （4 分） 5、解： 由于余项 0( ) ( 1)! ( ) 1 → → + + x n n e r x n x n ，（3 分）所以 = + + + + 2! ! 1 2 n x x e x n x （4 分） 三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本 133 页（4 分），可偏导不一定连续和可微 例子可看课本 135 页（6 分） 2、解：当 p 1 时，级数绝对收敛，（4 分）当 0 p 1 ，由 Dirichlet 定理知级数收敛， 但 p p p p n nx n n nx n nx 2 cos 2 2 cos cos 1 2 = + ，所以 =1 | cos | n p n nx 发散，即级数条件收敛（4 分）， 当 p 0 时，级数的一般项不趋于 0，所以级数不收敛（2 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 30 分） 1 证明： 0 ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 ' 0 0 − = − = x x x x x f t dt f x x f t tf t dt f t dt x f x f t dt f x tf t dt g x （8 分） 所以函数单调增加（2 分）
2证明:vmn>m,有(n-m)0可取定m使得xmnn0时 有 n0时,有0<mx,<2E,得证(2分) 3、证明:lmf(x,y)=lm =1 lim f(x, y)=lin +x22,所以 imf(x,y)不存在(10分) (二十三)数学分析期末考试题 叙述题:(每小题5分,共15分) 1微积分基本公式 2无穷项反常积分 3紧几合 计算题:(每小题7分,共35分) 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 3、求∑m(n+2)x”的收敛半径和收敛域 4、设l=xe+e-+y,求偏导数和全微分 5、lim 三讨论与验证题:(每小题10分,共30分) 1讨论f(x,y) 的二重极限和二次极限 2讨论女 的敛散性 In
2 证明： m, n m ，有 m n m n − m x + x x ( ) +1 由此得 n m x n m n nx − ，（4 分）由 级数收敛，故 0 可取定 m0 使得 m0 x ，又 lim 1 0 = → n − m n n ，故 0 n 使得 n n0 时， 有 2 n − m n ，（4 分）于是当 n n0 时，有 0 2 nxn ，得证（2 分） 3 、 证 明 ： lim ( , ) lim 1 2 0 0 = + = → = → x x x f x y x y x x 2 1 lim ( , ) lim 2 2 2 0 0 2 = + = → = → x x x f x y x y x x ，所以 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在（10 分） （二十三）数学分析期末考试题 一 叙述题：(每小题 5 分，共 15 分） 1 微积分基本公式 2 无穷项反常积分 3 紧几合 二 计算题：(每小题 7 分，共 35 分） 1、 ] 1 1 [ 2 1 4 0 4 2 + + + x dx t dt dx d x 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 = + = 2 2 y x y x 3、求 = + 1 ( 2) n n n n x 的收敛半径和收敛域 4、设 u xe e y yz z = + + − ，求偏导数和全微分 5、 xy xy y x 1 1 lim 0 0 + − → → 三 讨论与验证题：(每小题 10 分，共 30 分） 1 讨论 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) x y x y x y f x y + − = 的二重极限和二次极限 2 讨论 e p x x dx 1 0 ln 的敛散性
3、讨论函数项f(x)=x”-x"(0≤x≤1)的一致收敛性 四证明题:(每小题10分,共20分) 1设r(D连续,证明[(0x-h=h 2证明n=y0(x2-y2)满足y2+xa=xn 参考答案 、1、设∫(x)在[a,b]连续,F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则成立 f(xdx= F(b)-F(a 2、设函数f(x)在[a,+∞)有定义,且在任意有限区间[a,上可积。若极限 im[f(x)d存在,则称反常积分收敛,否则称反常积分发散 3、如果S的任意一个开覆盖{}中总存在一个有限子覆盖,即存在{}中的有 限个开集{叫k,满足UUnS,则称S为紧集 4+14x么 (7分) 1+t 2、解:两曲线的交点为(-2,4),(1,1),(2分) 所求的面积为:「(2-x-x2)dx=(5分 imym(n+2)=1,收敛半径为1(4分),由于x=士1时,级数不收敛, 所以级数的收敛域为(-1,1)(3分) au ax du=edx+(xce+1)dy+(xye+e- ) dE(3) +l) (7分) x(√1+xy+1) 0k≠1 、1、解、由于沿y=kx趋于(0,0)时,im 所以
3、讨论函数项 ( ) (0 1) 1 = − + f x x x x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：(每小题 10 分，共 20 分） 1 设 f（x）连续，证明 f u x u du f x dxdu x x u − = 0 0 0 ( )( ) ( ) 2 证明 ( ) 2 2 u = y x − y 满足 u y x y u x x u y = + 参考答案 一、1、设 f (x) 在 [a,b] 连续， F(x) 是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则成立 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 。 2、设函数 f (x) 在 [a,+) 有定义，且在任意有限区间 [a, A] 上可积。若极限 → A A a lim f (x)dx 存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散 3、如果 S 的任意一个开覆盖 U 中总存在一个有限子覆盖，，即存在 U 中的有 限个开集 k i i U =1 ，满足 U S i k i = 1 ，则称 S 为紧集 二、1、 ] 1 1 [ 2 1 4 0 4 2 + + + x dx t dt dx d x = 0 4 8 1 2 1 2 x x t dt dx d x + = + （7 分） 2、解：两曲线的交点为（-2，4），（1，1），（2 分） 所求的面积为： 2 9 (2 ) 1 2 2 − − = − x x dx （5 分） 3 ： lim ( + 2) =1 → n n n n ，收敛半径为 1（4 分），由于 x = 1 时，级数不收敛， 所以级数的收敛域为（-1，1）（3 分） 4： x u = yz e y u = +1 yz xze z u = yz z xye e − + （4 分） du e dx xze dy xye e dz yz yz yz z ( 1) ( ) − = + + + + （3 分） 5、解： 2 1 ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim 1 1 lim 0 0 0 0 = + + + − + + = + − → → → → x y x y x y x y x y x y y x y x （7 分） 三、1、解、由于沿 y = kx 趋于（0，0）时， = = → + − 1 1 0 1 ( ) lim 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) k k x y x y x y x kx ，所以
重极限不存在(5分) limlim =0.limlim =0,(5分) x2y2+(x-y)2 2:01,由 于x →+∞(x→>+∞)(4分)故 收敛, In x x' hn x ln 发散(2分)。 3、lmfn(x)=0=f(x)(3分), lim supl/ (x)-f(x)=lim sup/x"-x"=lim(1)"( 0,所以函数列 n+1 致收敛(7分) 四、证明题(每小题10分,共20分) 1证明: (a)x-ah(0分) 证明:n O by=0(x-y)-2(x-y)(6分) axo=x(x2-y2)=n(4分)
重极限不存在（5 分） 0 ( ) 0,lim lim ( ) lim lim 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 0 = + − = → → + − → → x y x y x y x y x y x y x y y x ，（5 分） 2：0 p 1 ，由于 0( 0) ln 1 2 1 → → + + x x x x p p 故 e p x x dx 1 0 ln 收敛（4 分）； p 1 ，由 于 ( ) ln 1 2 1 → + → + + x x x x p p （4 分）故 e p x x dx 1 0 ln 收敛， p = 1， = − e x x dx 1 0 ln ， 发散（2 分）。 3、 lim f (x) 0 f (x) n n = = → （3 分）， ) 0 1 ) (1 1 lim sup ( ) ( ) lim sup lim ( 1 = + − + − = − = → + → → n n n n f x f x x x n n n n x n n n ，所以函数列 一致收敛（7 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1 证明： f x dxdu x u 0 0 ( ) = − = − x x x x u u f x dx uf u du x f u du uf u du 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = − x f u x u du 0 ( )( ) （10 分） 2 、证明： 2 ( ) ' 2 2 xy x y x u = − ， ( ) 2 ( ) 2 2 2 ' 2 2 x y y x y y u = − − − （ 6 分 ） u y x x x y y u x x u y = − = + ( ) ' 2 2 （4 分）