(十)《数学分析1》考试试题 、叙述题 1叙述闭区间套定理 2用肯定的形式叙述函数f(x)在数集D上无上阶; 3叙述 Rolle微分中值定理 、计算题 1求极限m(+1 x=t-sin t 2求摆线 0≤t≤2r,在t=处的二阶导数“的值 3设/(1x)≈e,求不定积分门f(x) 求不定积分e*2 arctan ve2-ldx 三、讨论题 讨论函数f(x) x>0 在x=0点处的左、右导数 2设∫n(x)= 1+n2x ,x∈[e,(0x0时,数列{f(xn)}都收敛于同一极限.则函数∫(x)在点x0连续() 3设函数y=∫(x)在点x的某邻域内有定义.若存在实数A,使△x→>0时, f(x+Ax)-f(x0)-A△x=(△x),则f(x0)存在且f(x0)=A 4若f(x1)=f(x2)=0,f(x1)f(x2).()
（十）《数学分析 1》考试试题 一、叙述题 1 叙述闭区间套定理； 2 用肯定的形式叙述函数 f (x) 在数集 D 上无上阶； 3 叙述 Rolle 微分中值定理； 二、计算题 1 求极限 x x x x ) 1 1 lim ( − + → ； 2 求摆线 = − = − y t x t t 1 cos sin 0 t 2 ， 在 t = 处的二阶导数 2 2 dx d y 的值； 3 设 x f (x ) = e 2 ，求不定积分 dx x f (x) ； 4 求不定积分 − + e e dx x x arctan 1 2 ； 三、讨论题 1 讨论函数 f (x) = 0 , 0 , 0 1 sin x x x x 在 x = 0 点处的左、右导数； 2 设 2 2 1 ( ) n x nx f x n + = ，xe.A ，(0 e A +) （n =1、2、） ，讨论 f (x) n 在 e.A 上的单调性的最大值点； 四、证明题 1 用定义证明 2 1 2 1 1 lim = − + → x x x ； 2 证明：方程 3 0 3 x − x + c = ，（其中 c 为常数）在 0,1 上可能有两个不同的实根； 3 若数列 xn 收敛于 a （有限数），它的任何子列 nk x 也收敛于 a 。 （十一） 一年级《数学分析》考试题 一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题： 1 设数列 { }n a 递增且 （有限）. 则有 sup{ } a = an . ( ) 2 设函数 f (x) 在点 0 x 的某邻域 ( ) 0 U x 内有定义. 若对 ( ) 0 x U x n ,当 0 x x n → 时, 数列 { ( )} n f x 都收敛于同一极限. 则函数 f (x) 在点 0 x 连续. ( ) 3 设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某邻域内有定义. 若存在实数 A ,使 x →0 时, ( ) ( ) ( ), 0 0 f x + x − f x − Ax = x 则 ( ) 0 f x 存在且 f (x0 ) = A . ( ) 4 若 ( ) ( ) 0, ( ) 0 ( ), 1 2 1 2 f x = f x = f x f x 则有 ( ) ( ). 1 2 f x f x ( )
5设∫f(x)x=F(x)+c,∫g(x=G(x)+c则当F(x)≠Cx)时 有f(x)≠g(x) 二(满分15分,每小题3分)填空题 9n2+k 2函数f(x)= 的全部间断点是 3.f(x)=h(1+x2),已知lm f(x0)-f(x-2h)6 4.函数f(x)=x3-3x2-9x+1的既递减又下凸的区间是 f(x)dx ∫xf(xdh (满分36分,每小题6分)计算题: /⊥1 1 lim vr+ 2求函数∫(x)=4x-(5x+1)5的极值 dx x2+1 +3 6在边长为a的正三角形的三个角上剪去长为x的四边形(如右上图),然后 折起来做成底为正三角形的盒子.求最大体积 三(满分7分)验证题:用“E-δ”定义验证函数f(x)=++4 在点x0=2连续 四(满分32分,每小题8分)证明题 1设函数∫在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a).试证明 彐c∈[0,a],使f(c)=f(c+a) 2设函数f(x)在区间I上可导,且导函数f(x)在该区间上有界,试证明
5 设 f (x)dx = F(x) + c, g(x)dx = G(x) + c . 则当 F(x) G(x) 时, 有 f (x) g(x) . ( ) 二（ 满分 1 5 分，每小题 3 分）填空题: 1 = + = → + = n n n k n a n k a . lim 9 1 6 1 1 2 . 2 函数 ln | 3 | 3 ( ) − − = x x f x 的全部间断点是 . 3. ( ) ln(1 ) 2 f x = + x , 已知 5 ( ) ( 2 ) 6 lim 0 0 0 = − − → h f x f x h h , x0 = . 4. 函数 ( ) 3 9 1 3 2 f x = x − x − x + 的既递减又下凸的区间是 . 5. f (x)dx = sin x + c, xf (x)dx = 2 . 二 （ 满分 3 6 分，每小题 6 分）计算题: 1 1 1 1 1 lim 3 0 + − + − → x x x . 2 求函数 5 4 f (x) = 4x − (5x +1) 的极值 . 3 +1 2 x x dx . 4 ln( x + 1+ x )dx 2 . 5 − + + dx x x x 2 5 3 2 . 6 在边长为 a 的正三角形的三个角上剪去长为 x 的四边形(如右上图),然后 折起来做成底为正三角形的盒子. 求最大体积 . 三 （ 满分 7 分）验证题: 用“ − ”定义验证函数 5 2 4 ( ) 2 − + = x x f x 在点 x0 = 2 连续 . 四 （ 满分 3 2 分，每小题 8 分）证明题: 1 设函数 f 在区间 [ 0 , 2a ] 上连续 , 且 f ( 0 ) = f ( 2a ) . 试证明 : c [ 0 , a ] , 使 f ( c ) = f (c + a) . 2 设函数 f (x) 在区间 I 上可导, 且导函数 f (x) 在该区间上有界 .试证明
函数f(x)在区间I上一致连续 3设函数f(x)在区间[0,a]上二阶可导,且f(a)=0.F(x)=x2f(x) 试证明:彐ξ∈(0,a),使F"()=0 4试证明:对x1x2…xn∈R,有不等式 x1+x2+…+x (十二)一年级《数学分析》考试题 判断题(正确的记(√),错误的记(×))(共18分,每题3分 1.设∫(x)在[a,b]上连续,M与m分别是f(x)的最大值和最小值,则对 于任何数c(m≤C≤M),均存在∈[a2b],使得∫()=C 2.设f(x)g(t)在(a2b)内可导,且f(x)>g(x),则 f"(x)>g'(x) 3.设{xn}的极限存在,{yn}的极限不存在,则{xn+yn}的极限未必不存 在 4.如x=x是函数f(x)的一个极点,则f(x。)=0 证明:欧氏空间的收敛点列必是有界的。(10分) 三证明:R中任意有界的点列中必有收敛的子点列。(10分) 四计算下列极限:(9分) lim sin( xl (x,y)→>(0,0) lim(x+y (X,y)>(O,O)
函数 f (x) 在区间 I 上一致连续 . 3 设函数 f (x) 在区间 [ 0 , a ] 上二阶可导,且 f ( a ) = 0 . ( ) ( ) 2 F x = x f x . 试证明: ( 0 , a ) , 使 F( ) = 0 . 4 试证明: 对 x1 , x2 , , xn R , 有不等式 n x x x n x x xn n 2 2 2 2 1 2 1 + + + + ++ . （十二） 一年级《数学分析》考试题 一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共 18 分，每题 3 分）： 1. 设 f (x) 在 [a,b] 上连续， M 与 m 分别是 f (x) 的最大值和最小值，则对 于任何数 c(m c M ) ，均存在 [a,b] ，使得 f ( ) = c 。 （ ） 2. 设 f (x), g(t) 在 (a,b) 内 可 导 ， 且 f (x) g(x) ， 则 f '(x) g'(x) 。 （ ） 3. 设 {xn } 的极限存在， {yn } 的极限不存在，则 {xn + yn } 的极限未必不存 在。 （ ） 4. 如 x = x0 是函数 f (x) 的一个极点，则 f '(x0 ) = 0 。 （ ） 二 证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。（10 分） 三 证明： n R 中任意有界的点列中必有收敛的子点列。（10 分） 四 计算下列极限：（9 分） 1 x xy x y sin( ) lim ( , )→(0,0) ； 2 2 4 lim ( ) 2 2 ( , ) (0,0) x y x y x + y → ；
lim log(x+e) (x,y)→>(1,O) 五计算下列偏导数:(10分) x(x-- (1)Z Og(x1+x2+…+xn) 六(10分)计算下列函数∫的 Jacobian Jf (1)f(,y,s)=x sin( yz) (2)f(x1,x2…,xn)=(x2+x2+…+x2)2 七(10分)设隐函数y(x)由方程 2x arctan 2 (x≠O) 定义,求y及y 十 八(11分)在椭球 内嵌入有最大体积的长方体,问长方体的尺寸如何? 十 九、(10分)求椭球面 过其上的点P=(xo。1o2二0)处的切平面的方程 十、(10分)设函数f(x,y)g(x,y)是定义在平面开区域G内的两个函数,在 ∫动)云O G内均有连续的一阶偏导数,且在G内任意点处,均有 又设有界闭D∈G,试证:在D中满足方程组的点至多有有限个
3 ( , ) (1,0) 2 2 log( ) lim x y x e x x y + + → ； 五 计算下列偏导数：（10 分） （1） ( ) 2 2 2 x x y z u e + + = ； （2） log( ) z x1 x2 + xn = + + ； 六（10 分）计算下列函数 f 的 Jacobian Jf ： （1） ( , , ) sin( ) 2 f x y z = x y yz ； （2） 2 2 1/ 2 2 2 1 2 1 ( , , , ) ( ) n n f x x x = x + x + + x ； 七 （10 分）设隐函数 y(x) 由方程 定义，求 y' 及 y'' 。 八（11 分）在椭球 内嵌入有最大体积的长方体，问长方体的尺寸如何？ 九、（10 分）求椭球面 过其上的点 ( , , ) p = x0 y0 z0 处的切平面的方程。 十、（10 分）设函数 f (x, y), g(x, y) 是定义在平面开区域 G 内的两个函数，在 G 内均有连续的一阶偏导数，且在 G 内任意点处，均有 又设有界闭 D G ，试证：在 D 中满足方程组的点至多有有限个。 x y y = 2x arctan 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 0 • − • x g y f y g x f = = ( , ) 0 ( , ) 0 g x y f x y (x 0)
(十三)一年级《数学分析》考试题 判断题(正确的记(√),错误的记(×))(共18分,每题3分): 1设f(x)在[a,b]上连续,M与m分别是f(x)的最大值和最小值,则对 于任何数C(m≤C≤M),均存在∈[a2b,使得f()=C 5.设f(x)g(t)在(a2b)内可导,且f(x)>g(x) f"(x)>g'(x) 6.设{xn}的极限存在,{yn}的极限不存在,则{xn+yn}的极限未必不存 7.如x=xo是函数f(x)的一个极点,则∫(x0)=0。 8.存在这样的函数,它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点。 对于函数 x+ cos x ,由于lm +cosx) =lim(1-sinx)不存在,根据洛必达法 → 制,当x趋于无穷大时,x+C0sx的极限不存在 二计算下列极限:(18分) 1 lim(nsin 2 lim (sin n) 3 lim( n+ n n+√n lin sInx 5 Im x(In(x+a)-hn x) 6 lim cosxx-e 计算下列函数的导数:(20分) (1)f(x)=(e+ log, x)arcs x: (2)f(x)=h2(2x-1);
（十三）一年级《数学分析》考试题 一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共 18 分，每题 3 分）： 1 设 f (x) 在 [a,b] 上连续， M 与 m 分别是 f (x) 的最大值和最小值，则对 于任何数 c(m c M ) ，均存在 [a,b] ，使得 f ( ) = c 。 （ ） 5. 设 f (x), g(t) 在 (a,b) 内 可 导 ， 且 f (x) g(x) ， 则 f '(x) g'(x) 。 （ ） 6. 设 {xn } 的极限存在， {yn } 的极限不存在，则 {xn + yn } 的极限未必不存 在。 （ ） 7. 如 x = x0 是函数 f (x) 的一个极点，则 f '(x0 ) = 0 。 （ ） 8. 存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点。 （ ） 9. 对于函数 x x + cos x ，由于 lim (1 sin ) ' ( cos )' lim x x x x x x = − + → → 不存在，根据洛必达法 制，当 x 趋于无穷大时， x x + cos x 的极限不存在。 （ ） 二 计算下列极限：（18 分） 1 ) 1 lim ( sin n n n→ 2 sin ) 1 lim ( n n→ n ； 3 ) 1 ... 2 1 1 1 lim ( n n n n n + + + + + → + ； 4 x x o x sin lim → + ； 5 lim x(ln( x a) ln x) x + − → ； 6 4 2 0 2 cos lim x x e x x − → − 。 三 计算下列函数的导数：（20 分） （1） f x e x x x ( ) = ( + log 3 ) arcsin ； （2） f (x) = ln (2x −1) x ；
(3)2ysnx+xhy=0,求 dx (4)x=t t (5)设f(x)二次可导,求(f( arctan x)y' 四计算不定积分(12分) (1)(x-1Xx+2)ax (2)x+sin x (3)「esn2xthx 1+e 五(8分)求函数∫(x)=e在x=0处的5次 Taylor多项式: 六(8分)用 Lagrange中值定理证明:如果函数f(x)在([a,+∞)可微,并且imf(x)=0, 则mn(x) x 七(8分)证明:若函数∫(x)在[a,+∞)上连续,且lmnf(x)=A(有限数),则f(x)在 [a,+∞)上一致连续 八(8分)求母线为l的圆锥之最大体积
（3） 2 2 2 sin ln 0, dx d y y x + x y = 求 ； （4） = = cos ; sin , 2 2 y t t x t t （5）设 f (x) 二次可导，求 ( f (arctan x))' '。 四 计算不定积分（12 分）： （1） x x dx − + 20 ( 1)( 2) ； （2） dx x x x + + 1 cos sin ； （3） e xdx x 2 sin ； （4） dx e dx x + 2 (1 ) 。 五 （8 分）求函数 x f x e sin ( ) = 在 x = 0 处的 5 次 Taylor 多项式： 六（8 分）用 Lagrange 中值定理证明：如果函数 f (x) 在 ([a,+) 可微，并且 lim '( ) = 0 →+ f x x ， 则 0 ( ) lim = →+ x f x x 。 七 （8 分）证明：若函数 f (x) 在 [a,+) 上连续，且 f x A x = →+ lim ( ) （有限数），则 f (x) 在 [a,+) 上一致连续。 八 （8 分）求母线为 l 的圆锥之最大体积