数学：《群论》第二章 群表示论基础（左维）

第二章群表示论基础 1线性代数基本知识 ■线性空间:定义在数域K上的向量集合{1,V2,V3,…}=V.在 V中定义了加法和数乘两种运算.设v1,V2,V3∈V, a,b,c∈K,向量的加法和数乘具有封闭性,且满 足下列条件: 加法 数乘: V1+V2=V2+V1 V=V v2+v3)=(V1+V2)+v (abv=a(bv) 唯一的O元存在,使v1+0=V1 a(v,+v2)=av,av 对任一向量v1,有唯一逆元 (a+bv=av+bv -v1)存在,使V1+(-v1)=0 则称向量集合V为一个线性空间

第二章 群表示论基础 1 线性代数基本知识 ■ 线性空间: 定义在数域K上的向量集合{v1 , v2 , v3 , …}=V. 在 V中定义了加法和数乘两种运算. 设v1 , v2 , v3∈V, a,b,c ∈K, 向量的加法和数乘具有封闭性, 且满 足下列条件: 加法: v1+v2= v2+ v1 v1+(v2+v3 )= (v1+v2 )+v3 唯一的0元存在, 使v1+0= v1 对任一向量v1 , 有唯一逆元 (-v1 )存在, 使v1+(- v1 )=0 数乘: 1v= v (ab)v=a(bv) a(v1+v2 )= av1+av2 (a+b)v=av+bv 则称向量集合V为一个线性空间

线性空间Ⅴ中线性无关向量的最大数目,称为V的维数。 线性无关:对于Ⅴ中的n个向量v1,yv2,…Vn∈V,如 果不存在n个不全为零的数a1,a2,…,an∈K,使 得 avi+ a2v2 十 +aV,=0 则称这n个向量v1,v2,Vn是线性无关的 线性空间V中的任意一个向量ⅴ∈V可由这n个向量 1,V2,…yVn生成,即 V=XIV+x2V2 t x nvn 其中x1,x2,…,xn∈K.这n个向量v1,v2,…vn称 为线性空间V的一组基向量,通常记为:e1,e2,…,en

线性无关: 对于V中的 n 个向量 v1 , v2 , …vnV, 如 果不存在 n 个不全为零的数 a1 , a2 , …, an K ，使 得 a1v1 + a2v2 + … + anvn =0 则称这n 个向量 v1 , v2 , …vn是线性无关的. 线性空间V中的任意一个向量 v V可由这n 个向量 v1 , v2 , … vn 生成，即 v = x1v1 + x2v2 + … + xnvn 其中x1 , x2 , …, xn K. 这n 个向量 v1 , v2 , … vn称 为线性空间V的一组基向量, 通常记为: e1 , e2 , … en. 线性空间V中线性无关向量的最大数目，称为V的维数

■内积空间:定义了内积的线性空间 内积:设V是数域K上的一个线性空间,V1和V2是V中任意两个 向量,映射甲将V1和v2映射为一个数,即ψ(V1,v2)=(v1|V2)∈K, 且满足下列条件 2 3)+(v2/V 3 Vav alv 2 2 当V1≠O时,(V1|V1)>0, 则数(V1v2)称为向量v1和v2的内积 长度:向量v的长度定义为|v|=(v1|V1)2 正交:如果(v1|v2)=0,则称向量v1和v2正交。 正交归一基:如果内积空间的一组基向量(e1,e2,en)满足 ell)=6;,则称为正交归一基

■ 内积空间: 定义了内积的线性空间. 内积: 设V是数域K上的一个线性空间, v1和v2是V中任意两个 向量, 映射ψ将v1和v2映射为一个数, 即ψ(v1 ,v2 )=(v1|v2 )∈K, 且满足下列条件 (v1+v2| v3 )= (v1| v3 ) + (v2| v3 ) (v1|av2 )= a(v1| v2 ) (v1| v2 )= (v2| v1 )* 当v10时, (v1| v1 )>0, 则数(v1|v2 )称为向量 v1和v2 的内积. 长度：向量v的长度定义为|v|= (v1| v1 ) 1/2 正交：如果(v1| v2 )=0，则称向量v1和v2正交。 正交归一基：如果内积空间的一组基向量（e1 ,e2 ,…en )满足 (ei|ej )=δij ,则称为正交归一基

■线性变换:设V是定义在数域K上的一个线性空间,线性变换 A是将V映入V的线性映射,即对于任意v1,V2∈V,a∈K,有 A(v1)∈V Alav, +v=aA(v+alvo) 则称映射A为线性空间V上的一个线性变换 如果A是一个将V映入V的一一对应的满映射,则存在A的逆变换,记作A-1 ■幺正变换:设U是内积空间V上的线性变换,即对于V中任意 向量v1,V2∈V,U保持V1和v2的内积不变,即 (Uv1|Uv2)=(v1|V2) 则称U是V上的幺正变换 共轭变换:A,A是内积空间V上的线性变换,如果对任意v1,V2∈V,满足 (Av1|v2)=(v1|Atv2),则称A,A互为共轭变换 幺正变换U满足UU=UU=E,E为恒等变换

■ 线性变换: 设V是定义在数域K上的一个线性空间, 线性变换 A是将V映入V的线性映射, 即对于任意v1 , v2∈V, a∈K, 有 A(v1 )V A(av1+v2 )= aA(v1 )+A(v2 ) 则称映射A为线性空间V上的一个线性变换. 如果A是一个将V映入V的一一对应的满映射,则存在A的逆变换, 记作A－1. ■ 幺正变换: 设U是内积空间V上的线性变换, 即对于V中任意 向量v1 , v2∈V, U保持v1和v2的内积不变, 即 (Uv1|Uv2 )=(v1|v2 ) 则称U是V上的幺正变换. 共轭变换: A, A†是内积空间V上的线性变换, 如果对任意 v1 , v2∈V, 满足 (A v1|v2 )=(v1|A†v2 ), 则称A, A†互为共轭变换. 幺正变换U满足 UU† = U†U=E, E为恒等变换

线性空间的子空间 在n维线性空间V中任取m(m≤n)个线性无关的向 量V1,V2,…Vm∈V,由这m个向量作为基向量,可以 生成一个m维线性空间V1,称为V的一个子空间 线性空间的直和 设Ⅴ1和V2是线性空间V的两个子空间,如果V中的任 意一个向量v∈V都可以唯一地表示为V1和V2中向量 之和,即对于任意v∈V,能够找到v1∈Ⅵ1,v2∈V2,V可 唯一地表示为v=v1+v2则称线性空间V是其子空间 V1和V2的直和,记作V=V1V2

在 n 维线性空间V中任取 m (mn) 个线性无关的向 量 v1 , v2 , …vmV, 由这m个向量作为基向量, 可以 生成一个m维线性空间V1 , 称为V的一个子空间. 线性空间的子空间: 线性空间的直和: 设V1和V2是线性空间V的两个子空间, 如果V中的任 意一个向量 vV 都可以唯一地表示为V1和V2中向量 之和, 即对于任意vV, 能够找到v1V1 , v2V2 , v可 唯一地表示为 v=v1+v2 . 则称线性空间V是其子空间 V1和V2的直和, 记作 V=V1⊕V2

矩阵表示:用列矩阵表示线性空间V的一组基向量,即 0 0 0 ●则线性空间V中任意一个向量v可表示为一个列矩阵,即 V=xe1+x2V2+…业/x2 X ●内积:线性空间V上任意两个向量本W=∑xe,n=∑间的内 积可定义为 y (v1|v2)=x*y+x22+…+xn*yn=(x,x2,x)/乃

矩阵表示: 用列矩阵表示线性空间V的一组基向量, 即               =               =               = 1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1 1 2     n e e e ●则线性空间V中任意一个向量v可表示为一个列矩阵, 即 , 2 1 1 1 2 2               = + + + = n n n x x x v x e x v x v   ●内积: 线性空间V上任意两个向量本 间的内 积可定义为 ( | ) * * * ( , ,..., ) , 2 1 * * 2 * 1 2 1 1 2 2 1               = + + + = n n n n y y y v v x y x y x y x x x     = = = = n i i i n i i i v x e v y e 1 2 1 1

●线性空间V上任意一个线性变换A可表示为一个n维方矩阵,即 A=24,A→2x=/42x24142…41 ●内积空间V上任意一个线性变换A的共轭变换表示为At=A* ●n维线性空间V中,当选定一组基后,V中的向量与列矩阵有 对应的关系,V上的线性变换与n维方矩阵一一对应 ●线性变换群:设V是n维复线性空间,V上所有非奇异线性变换, 当定义群的乘法运算为连续两次线性变换时,构成一个群,称 为n维一般复线性群GLn,C) V上线性变换构成的群,称为线性变换群.记为L(V,C) ●n维线性空间V中,当选定一组基后,线性变换就与相应的n阶 矩阵群同构

●线性空间V上任意一个线性变换A可表示为一个n维方矩阵, 即                             =                =  = = = = = = n n i j n n n n n n n i n i n i i j i j i n i i i n j i j i j x x x A A A A A A A A A A x A x A x Ae A e Av Ax e A e x          2 1 , 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 , ●内积空间V上任意一个线性变换A的共轭变换表示为A†=A*T . ●n维线性空间V中, 当选定一组基后, V中的向量与列矩阵有一 一对应的关系, V上的线性变换与n维方矩阵一一对应. ●线性变换群: 设V是n维复线性空间, V上所有非奇异线性变换, 当定义群的乘法运算为连续两次线性变换时, 构成一个群, 称 为n维一般复线性群GL(n,C). V上线性变换构成的群, 称为线性变换群. 记为L(V,C) ●n维线性空间V中, 当选定一组基后, 线性变换就与相应的n阶 矩阵群同构

●相似变换 设e1,e2,…,en}和{el,e2,,en}是线性空间V的两组不同的基,这两组基 之间由非奇异矩阵S相联系,即 ∑eS,e1=∑e(S) 则V中任一向量v在上述两组基下的列矩阵表示由下式联系 ∑xg=∑e(S-)灬x=∑ 则V中任一线性变换A在上述两组基下的矩阵由下式联系 el=∑AeS=∑4pe 1,J ∑Ane=∑AeS=∑ →SA=AS,A=SAS 矩阵A和A的上述关系称为相似变换

● 相似变换 设{e1 , e2 , …, en }和 是线性空间V的两组不同的基, 这两组基 之间由非奇异矩阵 S 相联系, 即 { ' , ' , , ' } 1 2 n e e  e   − = = i i j i ij j i S ij e' e S , e e' ( ) 1 则V中任一向量v在上述两组基下的列矩阵表示由下式联系 v x e e S x x e x S x i j j j j i i j j i i i ' ( ) ' ' ' ( ) 1 , −1 − =  =  =   = 则V中任一线性变换A在上述两组基下的矩阵由下式联系 SA AS A S AS A e A e S A e S Ae Ae S A e S i i j i j j j i j i i j i j i i j i i i j j j j i i j i j i 1 , , , ' , ' ' ' ' ' ' −  = = = = = = =      矩阵A’和A的上述关系称为相似变换

2群表示 ■群表示定义:群G到线性空间V上的线性变换群的同态映射A, 称为群G的一个线性表示,V称为表示空间.即 A(8a) 映射A保持G的乘法规律不变,即对任意g,g8∈G,有 A( 8B)=A(8a)A(8B) ■等价定义:群G到n×n矩阵群的同态映射A,称为群G的一个 n维线性表示.任意群元的表示矩阵应当是非奇异的,即对任 意g,8∈G,有detA(g)≠0 ●忠实表示:如果群G到线性空间V上的线性变换群的映射A 不但同态,而且同构,即A是一一对应的满映射,则表示A称 为忠实表示

2 群表示 ■ 群表示定义: 群G到线性空间V上的线性变换群的同态映射A, 称为群G的一个线性表示, V称为表示空间. 即 ( ) g A g ⎯A → 映射A保持G的乘法规律不变, 即对任意 g , gG, 有 ( ) ( ) ( ) A g g = A g A g ■ 等价定义: 群G到n×n矩阵群的同态映射A,称为群G的一个 n维线性表示. 任意群元的表示矩阵应当是非奇异的, 即对任 意 g , gG, 有det[A(g )]≠0. ●忠实表示: 如果群G到线性空间V上的线性变换群的映射A 不但同态, 而且同构, 即A是一一对应的满映射, 则表示A称 为忠实表示

●例 1)对任何一个群G,一阶单位矩阵都是它的一个表示,称为一维恒等表示 2)任何一个矩阵群G本身是它自己的一个忠实表示 3)空间反演群{,I在三维实坐标空间笛卡尔坐标系中的表示为 100 A(E)=010A(1)=0-10 001 00-1

● 例: 1) 对任何一个群G, 一阶单位矩阵都是它的一个表示, 称为一维恒等表示. 2) 任何一个矩阵群G本身是它自己的一个忠实表示. 3) 空间反演群{E,I} 在三维实坐标空间笛卡尔坐标系中的表示为           − − − =           = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 , ( ) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A(E) A I