数学：《群论》第四章 转动群（左维）

第四章转动群 41一些基本概念 ■连续群( continuous):群元可由一组独立实参量描述,其中至 少有一个参量在一定区域是连续变化的 设连续参量的数目为r(1≤r≤n),记为a={a1,a2…,.r r称为该连续群的阶.r个独立实参量的变化区域称为群参数空间 连续群G的群元g,可由r个连续实参量表征,即 g=g(a)=g(a1,a2…,) 单位元素可用一组零参量来表征,即 e=g(0,0,,0

第四章 转动群 ■ 连续群(continuous): 群元可由一组独立实参量描述, 其中至 少有一个参量在一定区域是连续变化的. 设连续参量的数目为r(1≤r≤n), 记为 r称为该连续群的阶. r个独立实参量的变化区域称为群参数空间 1 2 { , ,..., }     = r 4.1 一些基本概念 连续群G的群元g, 可由r个连续实参量表征, 即 1 2 ( ) ( , ,..., ) r g g g = =     单位元素可用一组零参量来表征, 即 e g = (0,0,...0)

李群 设一个集合G的元素g可由r个实参量来表征,即 8=g(a=g(ai,a,, .,a) 如果g(x)满足下列条件: 1)集合G中存在一个单位元素e=g(oo),对任意元素g()∈G,有 g(a)g(oo)=g(ao)g(a)=g(a) 通常取αo={0,0,…,O} 2)逆元:对任意α,存在α,使 glag(a)=g(ag(a)=g0) 即对于任意元素g(a)∈G,存在逆元素g(a)=8()

设一个集合G的元素g可由r个实参量来表征, 即 如果g()满足下列条件: 1) 集合G中存在一个单位元素e=g (0 ), 对任意元素g()G,有 李群 1 2 ( ) ( , ,..., ) r g g g = =     0 0 g g g g g ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      = = 2) 逆元: 对任意, 存在  , 使 g g g g g ( ) ( ) ( ) ( ) (0)     = = 通常取0={0,0, …, 0} 即对于任意元素g()G,存在逆元素 1 g g ( ) ( )   − =

3)封闭性:对于任意两个元素g(o),g(β)∈G,其乘积仍属于G.即 在参数空间中能够找到一个参数y,使 g(y)=g(a)8(B)∈G Y是a,B的实函数,即y=f(c,B) 4)结合律:对任意α,β,y,有 lg(a)g(b)lg()=g(alg(b)g(r) 或(2,B)2y]=f[a,f(B,y) 5)γ=f(αβ)是αβ的解析函数(连续可微),α是α的解析函数 则连续群G称为李群.y=f(a,B)称为李群的结合函数

3) 封闭性: 对于任意两个元素g(), g()G, 其乘积仍属于G. 即 在参数空间中能够找到一个参数, 使 g g g G ( ) ( ) ( )    =  4) 结合律: 对任意, , , 有 [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] g g g g g g       = 是,的实函数, 即 则连续群G称为李群.    = f ( , ) 或 f f f f [ ( , ), ] [ , ( , )]       = 5) =f(,)是,的解析函数(连续可微),  是的解析函数.    = f ( , ) 称为李群的结合函数

■连通性如果从连续群的任意一个元素出发,经过r个参量的 连续变化,可以到达单位元素,或者说如果连续群中的任意两 个元素可以通过r个参量的连续变化连结起来,则称此连续群 是连通的.这样的李群称为简单李群,否则称为混合李群. ■紧致李群:如果李群的参数空间由有限个有界的区域组成, 则称该李群为紧致李群,否则称为非紧致李群 ■例 1)所有实数以数的加法为群的乘法构成一个一阶李群 群参数为群元本身.结合函数为γ=+β.一阶非紧致简单李群 2)空间平移群:三维实空间中的所有平移变换T(a)r=r+a 构成一个李群,群元由三个独立的实参量(a2n2a2)表征 三阶非紧致简单李群

■ 连通性:如果从连续群的任意一个元素出发, 经过r个参量的 连续变化, 可以到达单位元素, 或者说如果连续群中的任意两 个元素可以通过r个参量的连续变化连结起来, 则称此连续群 是连通的. 这样的李群称为简单李群, 否则称为混合李群. ■ 紧致李群: 如果李群的参数空间由有限个有界的区域组成, 则称该李群为紧致李群, 否则称为非紧致李群. 1) 所有实数以数的加法为群的乘法构成一个一阶李群. 群参数为群元本身. 结合函数为=+. 一阶非紧致简单李群 ■ 例: 2)空间平移群: 三维实空间中的所有平移变换 T a r r a ( ) = + 构成一个李群, 群元由三个独立的实参量 ( , , ) x y z a a a 表征. 三阶非紧致简单李群

3)二维特殊酉群SU(2):所有行列式为+1的二维酉矩阵构成 的群.即 ab满足条件 uu=e, det(u)=1 a b SU(2)的群元可写为L= b a*/,|a2+|b 或写为Lt e cosn - e sinn e sinn e n 其中ξ,,n为实参量 SU(2)是一个三阶紧致简单李群

3) 二维特殊酉群SU(2): 所有行列式为+1的二维酉矩阵构成 的群. 即 SU(2)是一个三阶紧致简单李群 其中,,为实参量. a b u c d   =     满足条件 † uu E u = = , det( ) 1 SU(2)的群元可写为 2 2 * * , | | | | 1 a b u a b b a   = + =     − 或写为 cos sin sin cos i i i i e e u e e         − −   − =    

4)三维实正交群O\3:所有三维实正交矩阵构成的连续群. 群元由3个实参数标记.群元满足正交条件 OO=O0=E O3保持实二次形x2+x2+x2不变 三维实特殊正交群SO(3:所有行列式为+1的3维实正 交矩阵构成的连续群,群元由3个实参数标记. SO(3)={O∈O(3)de(O)=1} SO3群对应于三维实空间保持原点不变的三维转动 群,群元为转动矩阵C(),由三个实参量0Vπ, 0θπ,0φ<2π来表征.三阶紧致简单李群 三维实正交群O3=SO(3∞{E,}.由行列式分别为±1的互 不连通的两叶构成,其参数空间包含两个互不连通的区 域,是三阶紧致混合李群

4) 三维实正交群O(3): 所有三维实正交矩阵构成的连续群. 群元由3个实参数标记. 群元满足正交条件 三维实特殊正交群SO(3): 所有行列式为 +1 的3维实正 交矩阵构成的连续群, 群元由3个实参数标记. t t O O OO E = = O(3)保持实二次形 222 1 2 3 xxx + + 不变 SO O O O (3) { (3) | det( ) 1} =  = SO(3)群对应于三维实空间保持原点不变的三维转动 群,群元为转动矩阵 , 由三个实参量0  , 0  , 0  <2 来表征. 三阶紧致简单李群. ( ) k C  三维实正交群O(3)=SO(3){E,I}. 由行列式分别为1的互 不连通的两叶构成, 其参数空间包含两个互不连通的区 域, 是三阶紧致混合李群

42转动群SO(3)与二维特殊酉群SU(2) ■空间转动群:三维实坐标空间R3保持原点不变的所有转动变 换构成的群,对应于特殊实正交矩阵群SO(3) SO(3)群的参数化 1)SO(3群的群元可用绕过原点方位角为(,q)的转动轴k的 转过v角的转动变换C1(v)表示在笛卡尔坐标系中,绕三个 坐标轴x,y,z的转动元素分别为 coSy 0 sin y C()=0 cOS y -sin C,(y) 0 sin y cos y siny 0 coS y

■ 空间转动群: 三维实坐标空间R3保持原点不变的所有转动变 换构成的群, 对应于特殊实正交矩阵群SO(3). 1) SO(3)群的群元可用绕过原点方位角为(,)的转动轴k的 转过角的转动变换Ck ()表示. 在笛卡尔坐标系中, 绕三个 坐标轴x,y,z的转动元素分别为 SO(3)群的参数化: 4.2 转动群SO(3)与二维特殊酉群SU(2) 1 0 0 cos 0 sin ( ) 0 cos sin , ( ) 0 1 0 0 sin cos sin 0 cos C C x y                   = − =             −

cosy-Sin y P(x,y) C(y)= sin y coS y 0 (x) 3 x'(rcos(9+u)cosy -siny(x y'rsin(9+v))siny cosy/y 2)SO(3)群的群元也可用三个欧拉角αβ,γ来标记.SO(3)转 动元素由相继三个转动变换生成:(1)绕z轴转α角,O≤α<2π; (2绕新的y轴(y轴)转β角,O≤阝≤π;(3绕新的z轴(z轴)转γ 角,0≤y<2兀.即 R(a,B,r)=C(rCu (B)c-(a C(a)C (rc(aC(a)C, (B)C(a).(a) =C:(a)C,(B)C()C,(-B)C(=a)C:(a)C,(C(-a)C(a) C(aC, (B)C-r

cos sin 0 ( ) sin cos 0 0 0 1 Cz        −   =         ( , ) P x y P x y '( ', ') ' cos( ) cos sin ' sin( ) sin cos x r x y r y                + −        = =        + 2) SO(3)群的群元也可用三个欧拉角,,来标记. SO(3)转 动元素由相继三个转动变换生成: (1) 绕z轴转角,0<2; (2)绕新的y轴(y’轴)转角, 0; (3)绕新的z轴(z’’轴)转 角, 0 <2. 即 '' ' ' ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z y z z z z z y z z z y z y z z y z z z y z R C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C                          = = − − = − − − =

cos a cos B cos y-sin asin y -cos a cos Bsin y-sin a cos y cos asin B R(a,B, r)= sin a cos B cos y +cos asin y -sin a cos Bsin y+ cos a cos y sin asin B sin B cosy sin Briny B ■二维特殊酉群SU(2):所有行列式为+1的二维酉矩阵构成 的群.三阶紧致简单李群,群元由三个实参数表示 b ,|a|2+|b|=1 b 或 e'is cosn -e sinn e sinn e cosn

cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin ( , , ) sin cos cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin sin cos R                                   − − −   = + − +       − ■ 二维特殊酉群SU(2):所有行列式为+1的二维酉矩阵构成 的群. 三阶紧致简单李群, 群元由三个实参数表示 2 2 * * , | | | | 1 a b u a b b a   = + =     − cos sin sin cos i i i i e e u e e         − −   − =     或

■SU(②2群与SO(3群的关系: 对于SU(2)中的任意一个元素u∈SU2),可定义一个三维实坐标 空间中一个变换R如下 X x stay =(x2O,)为泡利矩阵是三个独立二阶零迹厄米矩阵 定义 R.F则R满足 1)R是三维实坐标空间中实正交变换,即 detlu(ro u ]=-det(r-o)=-det(ro) (R2r|R2r)=(r|r)

■ SU(2)群与SO(3)群的关系: 1 1 ' ' ' ( ) ' ' ' ' z x iy z x iy u r u u u x iy z x iy z r   − −     − − = =         + − + − = 对于SU(2)中的任意一个元素uSU(2), 可定义一个三维实坐标 空间中一个变换Ru如下: ( , , )     = x y z 为泡利矩阵. 是三个独立二阶零迹厄米矩阵. 定义: ' u r R r = 则Ru满足 1) Ru是三维实坐标空间中实正交变换, 即 1 det[ ( ) ] det( ' ) det( ) ( | ) ( | ) u u u r u r r R r R r r r    − − = − = − = =