第十三章函数列与函数项级数 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I上的函数列{fn(x)},x∈E,设x0∈E,若数列{f(x)}收 敛,则称函数列Gfn(x)}在点x收敛,x称为函数列{(x)}收敛点;若数列 n(x)}发散,则称函数列{fn(x)}在点x0发散。 使函数列Gn(x)}收敛的全体收敛点集合称为函数列f(x)}收敛域(注 意定义域与收敛域的区别)。 若函数列f(x)}在数集DcE上每一点都收敛,则称函数列{(x)}在数 集D上收敛,这时D上每一点x,都有函数列的一个极限值 n→) 2021/2/24
2021/2/24 1 第十三章 函数列与函数项级数 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间 I 上的函数列{ f n (x) }, x E ，设 x0 E ，若数列 { ( ) } 0 f x n 收 敛，则称函数列{ f (x) } n 在点 0 x 收敛， 0 x 称为函数列{ f (x) } n 收敛点；若数列 { ( ) } 0 f x n 发散，则称函数列{ f (x) } n 在点 0 x 发散。 使函数列{ f (x) } n 收敛的全体收敛点集合称为函数列{ f (x) } n 收敛域（ 注 意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列{ f (x) } n 在数集D E 上每一点都收敛，则称函数列{ f (x) } n 在数 集 D 上收敛，这时 D 上每一点x，都有函数列的一个极限值 lim f (x) f (x) n n = →
与之对应,由这个对应关系所确定的函数,称为函数列fn(x)}的极限函数。 逐点收敛(或称为“点态收敛”)的“-N”定义 例1对定义在(-∞,+∞)内的等比函数列f(x)=x",用“g-N”定义 验证其收敛域为(-1,1],且 imfn(x)=imr。∫0,1x|0,存在自然数 N=N(),当n>N时,对E中一切x都有 2021/2/24
2021/2/24 2 与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列{ f (x) } n 的极限函数。 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ − N ”定义. 例 1 对定义在( − , + ) 内的等比函数列 f (x) n = n x , 用“ − N ”定义 验证其收敛域为( −1,1], 且 n→ lim f (x) n = n→ lim n x = = 1, 1. 0 , | | 1, x x 例 2 f (x) n = n sin nx . 用“ − N ”定义验证在( − , + ) 内n→ lim f (x) n = 0 . 函数列的一致收敛性： 设函数列 { f (x)} n 在 E 上收敛于 f (x)，若对任意的 0 ，存在自然数 N = N( )，当 n N 时，对 E 中一切 x都有
Ifn(x)-f(x)N时,f(x)的图 形全部落入这个6-带内。 致收敛情况图示 2021/2/24
2021/2/24 3 f (x) − f (x) n 则称函数列{ f (x)} n 在 E 上一致收敛于 f (x)。 注意 这里的 N 只与 有关，与 x 无关，这一点是一致收敛与逐点收 敛的本质区别。 一致收敛的几何意义 对任给的 -带 { (x, y) ; | y − f (x) | }，总存在一个 N，n N 时， f (x) n 的图 形全部落入这个 -带内。 一致收敛情况图示
对任意E>0,n充分大时,f(x)将全部落入E一带以内。 f(x)}收敛但不一致收敛的几何意义 对任意x∈D,imf(x)=f(x),但存在一个s0>0,对任意的N,都可 找到一个n,尽管n>N,但fn(x)总有一部分落在6带以外。 2021/2/24
2021/2/24 4 对任意 0，n 充分大时， f (x) n 将全部落入 －带以内。 { f (x)} n 收敛但不一致收敛的几何意义： 对任意 x D， lim f (x) f (x) n n = → ，但存在一个 0 0 ，对任意的 N，都可 找到一个 0 n ，尽管 n0 N ，但 ( ) 0 f x n 总有一部分落在 0 带以外。 f(x) fn(x)
例证明函数列f(x) nx 在[.上收敛但不一致收敛 1+n 证明1)函数列在[0,上收敛。 显然对任意的x∈0 →)0 +nx 2)但f(x)不一致收敛于0 2021/2/24 5
2021/2/24 5 例 证明函数列 2 2 1 ( ) n x nx f x n + = 在 [0, 1] 上收敛但不一致收敛 证明 1）函数列在 [0, 1] 上收敛。 显然 对任意的x [0,1] ， ( ) 0 1 2 → + = nx n f x n n 2）但 f (x) n 不一致收敛于 0 f(x) fn(x)
先看一看函数列的图象(图中给出的是n=8,20,50的情况) clf,x0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.2); y2=20*x./(1+400.2); y3=-50*x./(1+2500*x.2); plot(x, y1, x, y2, x, y3, linewidth, 2) hold on plot([-0.1,1],[0,0],b3,[0,0],[0.1,0.6],”b3) azis([-0.1,1,2,-0.1,0.6]) legend(yl,n=83,’y2,n=20,’y3,n=500) 2021/2/24 6
2021/2/24 6 先看一看函数列的图象（图中给出的是 n＝8，20，50 的情况） clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6]) legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
o.6 0.1 0.2 0.4 06 0.8 1.2 可以看出,对于s0<0.5,无论n再大,f(x)的图象总有一部分落在s0 带以外。 事实上存在x0=1, 80 2021/2/24 7
2021/2/24 7 可以看出，对于 0.5 0 ，无论 n 再大，f (x) n 的图象总有一部分落在 0 －带以外。 事实上存在 n xn 1 0 = ， 0 0 0 2. 1 | f (x ) − f (x) |= n n ， 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 y1,n=8 y2,n=20 y3,n=50
所以该函数列是不一致收敛的。 例函数列{x"}在0上不一致收敛,但在a],a<1上一致收敛 先看看该函数列的图象 Clf,x=0:1/100:1; yl=x.4;y2=x.10;y3=x.50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,’ linewidth’,2) 2021/2/24 8
2021/2/24 8 所以该函数列是不一致收敛的。 例 函数列 { } n x 在[0,1]上不一致收敛，但在 [0, ] , 1 上一致收敛。 先看看该函数列的图象 clf,x=0:1/100:1; y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
0.9 0.8 0.4 0.50.6 0.7 0.8 0.9 对于s<1,不管n再大,x"的图象总有一部分落在sn一带以外。 事实上,我们容易看出 -)y→=n充分大时, 所以该函数列在[上不一致收 21/224 9
2021/2/24 9 对于 1 0 ，不管 n 再大， n x 的图象总有一部分落在 0 －带以外。 事实上，我们容易看出 n n e − n → 1 ) 1 (1 充分大时， 3 1 ) 1 (1− n n 所以该函数列在[0,1]上不一致收 敛。 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
再看看该函数列在[0a]a<1上的图象 clf,x=0:1/100:0.7; y1=x.13;y2=x.18;y3=x.20; plot(x,yl,x,y2,x,y3,’b,’ linewidth’,2), hold on plot([0,0.7],[0,0],’r,[0,0],[-0.02,0.02],’r) plot([0,0.7,[0.00,0.0051,’m axis([0,0.71,-0.01,0.02]) 2021/2/24 10
2021/2/24 10 再看看该函数列在 [0, ] , 1 上的图象 clf,x=0:1/100:0.7; y1=x.^13;y2=x.^1 8;y3=x.^20; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b','linewidth',2),hold on plot([0,0.7],[0,0],'r',[0,0],[-0.02,0.02],'r') plot([0,0.7],[0.005,0.005],'m') axis([0,0.71,-0.01,0.02])